Differential Equations (McGraw-Hill International Editions) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:McGraw Hill Higher Education

作者:George F. Simmons

出品人:

页数:655

译者:

出版时间:1991-10-01

价格:USD 75.17

装帧:Hardcover

isbn号码:9780071128070

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 数学
• 高等教育
• 麦格劳-希尔
• 工程数学
• 科学计算
• 数学分析
• 国际版
• 教科书
• 应用数学

探索无尽可能：微积分的精妙旅程 本书旨在带领读者深入探索微积分的迷人世界，揭示其在描述和理解自然界、工程科学乃至经济社会等诸多领域中所扮演的关键角色。我们不局限于基础概念的传授，更着重于培养读者运用微积分思维解决实际问题的能力。 第一部分：变化的语言——导数 本部分将从“变化”这一核心概念出发，逐步引入导数的思想。我们将回顾函数、极限和连续性的基础，为导数的定义奠定坚实基础。通过丰富的几何和物理直观理解，我们将阐释导数作为瞬时变化率的意义，并探讨其在图形分析中的作用，如确定函数的单调性、凹凸性以及求解切线方程。 极限与连续性回顾： 巩固对极限概念的理解，包括左极限、右极限、无穷远极限以及极限的运算法则。深入分析函数在某点连续的条件，以及间断点的分类。 导数的定义与几何意义： 严谨定义导数，并将其与割线斜率的极限联系起来，直观展示导数作为切线斜率的几何意义。 求导法则与技巧： 系统学习基本函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的导数。重点讲解和、差、积、商的求导法则，以及链式法则在复合函数求导中的应用。 高阶导数与隐函数求导： 探索二阶及以上导数，理解它们在描述曲率、加速度等方面的意义。学习如何处理隐函数，并运用隐函数求导法求解其导数。 导数的应用： 函数分析： 利用一阶导数判断函数的单调性、求极值；利用二阶导数判断函数的凹凸性、求拐点，从而实现对函数图像的精确描绘。 优化问题： 将导数方法应用于解决各类优化问题，例如在给定周长下求最大面积的矩形，或在给定体积下求最小表面积的容器。 物理应用： 讲解导数在描述运动学（速度、加速度）、动力学（力、冲量）、电学（电流、电压）等问题中的直接应用。 第二部分：累积的力量——积分 在理解了“变化”的意义后，本部分将转向“累积”的概念，引入定积分和不定积分。我们将从几何角度出发，理解定积分作为曲线下面积的含义，并掌握牛顿-莱布尼茨公式这一连接微分与积分的桥梁。同时，我们将深入研究各种积分技巧，并拓展积分在计算面积、体积、弧长以及解决物理问题中的广泛应用。 不定积分： 定义不定积分作为导数运算的逆运算，介绍基本积分公式，并讲解通过逆向运用求导法则来求解不定积分。 定积分： 从黎曼和的概念出发，理解定积分作为曲线下方区域面积的几何意义。详细讲解牛顿-莱布尼茨公式，展示定积分与不定积分之间的深刻联系。 积分技巧： 换元积分法： 讲解两种主要的换元方法，以及如何根据被积函数的特征选择合适的代换。 分部积分法： 详细介绍分部积分法的原理和应用，帮助读者处理由乘积形式组成的被积函数。 有理函数的积分： 介绍部分分式分解的方法，从而将复杂的有理函数分解为易于积分的基本形式。 三角代换与三角函数的积分： 讲解当被积函数包含根式或三角函数时，如何运用三角代换或特定的积分公式来简化计算。 积分的应用： 几何应用： 面积计算： 计算平面图形的面积，包括由两条曲线围成的区域面积。 体积计算： 运用截面法、旋转法（圆盘法、圆环法）和壳层法计算旋转体的体积。 弧长计算： 学习如何计算平面曲线的弧长。 物理应用： 功的计算： 在变力作用下计算功。 质心计算： 确定不规则物体的质心位置。 流体压力： 计算液体对浸没表面的总压力。 第三部分：超越经典——更多高级主题 在掌握了基础的微分和积分之后，本部分将进一步拓展读者的视野，介绍一些更高级和更具挑战性的微积分概念，这些概念在现代科学和工程中至关重要。 无穷级数： 引入数列和级数的概念，深入探讨级数的收敛性与发散性判断，包括基本判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法以及比数判别法。重点讲解交错级数的莱布尼茨判别法。 幂级数与泰勒级数： 学习幂级数的性质，并理解泰勒级数和麦克劳林级数作为函数展开的方法。掌握利用泰勒级数进行函数近似计算以及求解微分方程的应用。 微分方程初步： 基本概念： 介绍微分方程的定义、阶数、线性与非线性、齐次与非齐次等基本概念。 可分离变量的微分方程： 学习求解可分离变量的微分方程。 线性一阶微分方程： 掌握求解线性一阶微分方程的积分因子法。 高阶线性常系数微分方程： 学习求解二阶及以上高阶线性常系数齐次和非齐次微分方程的方法，包括特征方程法和待定系数法、常数变易法。 多变量微积分入门： 多元函数： 介绍多元函数的概念、定义域和图像。 偏导数： 定义偏导数，并讲解其几何意义。 方向导数与梯度： 引入方向导数和梯度，理解它们在描述函数在特定方向上的变化率和变化率最快方向上的作用。 多元函数的极值： 学习求解多元函数的极值（局部极值和最值）的方法，包括使用二阶偏导数判别法。 重积分初步： 介绍二重积分的概念，以及在直角坐标系下的计算方法，为进一步学习线积分、面积分等奠定基础。 本书的编写风格力求清晰、严谨，并辅以大量精心设计的例题和练习题，以帮助读者巩固所学知识，并培养独立思考和解决问题的能力。我们相信，通过对这些内容的深入学习，读者将能更深刻地理解微积分的强大力量，并将其灵活运用于未来的学习和实践中。

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这本书的排版设计也相当用心。清晰的字体，合理的间距，以及大量图示的辅助，都极大地提升了阅读体验。在讲解一些涉及到函数图像的微分方程时，作者配有大量的图形，这些图形能够直观地展示解的性质，比如稳定性、振荡等。这些图示不仅仅是装饰，更是理解概念的重要辅助。我常常会一边看着图，一边对照着文字讲解，感觉就像在和作者一起探索数学的奥秘。 书中的一些章节还涉及到了一些更高级的主题，例如稳定性理论和摄动方法。这些内容虽然对初学者来说可能稍有挑战，但作者的讲解依旧是循序渐进，并且提供了大量的参考文献，供有兴趣的读者进一步深入研究。这让我感觉到，这本书不仅仅是一本教材，更是一个通往更广阔数学世界的门户。它能够满足我从入门到进阶的不同学习需求。

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这本书的习题设计是其一大亮点。它并非简单地重复讲义内容，而是通过各种不同形式和难度的题目，将抽象的理论知识转化为具体的应用能力。我尤其欣赏那些需要综合运用多种概念的题目，它们迫使我跳出思维定势，尝试不同的分析角度。有些题目虽然看似简单，但需要对概念有非常透彻的理解才能顺利解答。在解答这些题目的过程中，我常常会反复回顾书中的讲解，有时甚至会发现自己之前理解的某些地方不够深入。这种“在实践中学习”的过程，让我对微分方程的掌握更加牢固。 在数值方法的部分，作者还配有了一些编程练习的建议。虽然我不是一名专业的程序员，但尝试用代码实现一些数值算法，让我对算法的执行过程有了更直观的感受。看到自己写的程序能够模拟出方程的解的轨迹，那种成就感是无与伦比的。这不仅加深了我对数值方法的理解，也培养了我用计算工具解决数学问题的能力。这本书让我意识到，数学学习不仅仅是纸笔上的演算，更是与计算工具的协同作战。

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让我印象深刻的还有作者对数学史的穿插介绍。在讲解某个重要概念或方法时，作者会简要回顾其发展历程，以及相关数学家的贡献。这些历史的片段，让冰冷的数学公式变得有血有肉，充满了人性的光辉。我了解到，这些伟大的成果并非凭空出现，而是经历了漫长的探索和思考。这让我对数学这门学科产生了更深的敬意。 书中的语言风格也值得称道。它既保持了数学领域的严谨性，又避免了过于晦涩的术语堆砌。作者善于使用类比和形象的比喻来解释抽象的概念，这对于我这样非数学专业背景的学生来说，帮助巨大。当我遇到困难时，重读那些比喻性的描述，常常能获得新的启发。

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这本书在介绍相平面分析时，提供了大量的相图示例。这些相图清晰地展示了不同初始条件下，动力系统的演化轨迹。我通过分析这些相图，能够直观地理解系统的长期行为，比如是否存在吸引子、周期轨道等。这比单纯的数值计算更加具有洞察力。 作者在分析相图时，还会引导读者去思考这些图形背后所代表的物理意义。例如，在分析阻尼振子时，相图的螺旋形轨迹就形象地展示了能量的耗散过程。这种结合图形和实际意义的讲解，让相平面分析不再枯燥。

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这本书给我最深刻的印象是它所传递的“数学是关于理解”的理念。它不是简单地教授解题技巧，而是引导读者去理解微分方程背后的数学思想和逻辑。作者通过层层递进的讲解，以及大量精心设计的习题，帮助我建立起一个扎实的数学基础。 我还发现，这本书不仅仅是一本教科书，更像是一位良师益友。在学习过程中，我常常会带着问题去阅读，而作者总能在我需要的时候，给出清晰的解答和启示。这种学习的体验，让我对数学的学习充满了热情和信心。

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本书在介绍“特征值和特征向量”时，不仅仅给出了定义和计算方法，还深入探讨了它们在理解线性系统行为中的重要作用。例如，在分析多维动力系统时，特征值可以揭示系统的稳定性，而特征向量则指明了系统演化的方向。 我尤其欣赏作者在解释“特征值分解”时所做的类比。他将一个复杂的变换比作是将一个物体沿着特定的方向（特征向量）进行拉伸或压缩（特征值），从而将一个复杂的运动分解为一系列简单的运动。这种生动的比喻，帮助我更好地理解了抽象的代数概念。

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这本书让我真正体会到了数学的魅力。它不仅仅是解题的工具，更是理解世界的一种方式。通过学习微分方程，我能够更好地理解物理现象、工程问题，甚至一些社会现象的背后逻辑。这种跨学科的联系，让我觉得学习微分方程的价值远超出了课程本身。 我特别喜欢书中关于“稳定性”的讲解。它不仅仅是在数学上定义稳定性，更是通过例子说明了为什么稳定性如此重要。例如，在描述振动系统时，系统是否稳定直接关系到其能否正常工作。这种对实际意义的强调，让我在学习过程中充满了动力。

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这本书给我的感觉就像一位经验丰富的老教授，他不仅仅是传授知识，更是在引导你如何思考。翻开第一页，我就被它那种严谨而又不失温度的讲解方式所吸引。那些晦涩的概念，在作者层层剥茧的梳理下，逐渐变得清晰可见。我特别喜欢作者在讲解一些经典模型时，那种从实际问题出发，逐步构建数学模型的思路。比如，在介绍人口增长模型时，他没有直接抛出公式，而是先探讨了现实中人口数量变化的因素，然后才抽象出微分方程来描述这一过程。这种“由表及里”的教学方法，让我觉得数学不再是空中楼阁，而是与我们生活息息相关的工具。 书中对各种求解方法的介绍也极为详尽。无论是初等解析方法，还是数值解法，作者都给予了足够的篇幅。对于初等解析方法，作者不仅提供了求解步骤，还深入剖析了每一步的原理和适用条件，这对于我理解这些方法的“为什么”至关重要。当我遇到一些复杂的方程，不知道该用哪种方法时，书中提供的判别指南就显得尤为宝贵。而对于数值解法，作者并没有仅仅停留在介绍算法本身，他还探讨了不同数值方法的优缺点，以及它们在精度和收敛性方面的差异。这让我能够根据具体问题选择最合适的数值方法，并且对数值计算的局限性有了更深的认识。

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书中关于“边值问题”的讲解也十分透彻。与初值问题不同，边值问题通常没有一个普适的解析解法，而这本书提供了多种处理边值问题的数值方法，比如打靶法和有限差分法。作者详细解释了这些方法的原理和实现步骤，并且讨论了它们的收敛性和精度。 我尝试着运用书中所学的有限差分法来解决一个具体的物理问题，例如求解一个梁在特定边界条件下的挠度。虽然一开始遇到了一些困难，但在反复阅读书中的讲解并参考了附录中的提示后，我最终成功地得到了一个符合预期的结果。这种亲身实践带来的成就感，让我更加肯定了这本书的实用价值。

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在讨论“傅里叶级数和傅里叶变换”时，这本书也提供了非常精彩的讲解。它不仅介绍了如何将周期函数分解为三角函数之和，还展示了如何将非周期函数看作是无穷多个周期函数的极限。这些工具对于分析周期性现象至关重要。 作者在讲解傅里叶变换时，还强调了它在信号处理和物理学中的广泛应用，例如在分析波动现象、热传导等问题时，傅里叶分析能极大地简化问题的求解。这让我看到了微分方程与更广泛的科学领域之间的紧密联系。

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