高等数学(下)本科少学时(第二版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787040081039

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数学分析导论：概念与应用 本书面向对象： 对于初次接触微积分核心理论、希望建立扎实数学基础的本科生、自学者，以及需要回顾和深化理解高等数学核心概念的工程技术人员。 内容定位： 本书旨在系统地介绍微积分学的基本概念、理论框架和经典应用，侧重于对极限、连续性、导数、积分的深刻理解，并辅以必要的几何直觉和物理背景。它致力于搭建从中学代数向更抽象、更严谨的数学分析过渡的桥梁。 --- 第一部分：极限与连续性——分析的基石 第一章 预备知识与实数系统 本章首先回顾了高中阶段涉及的函数、指数、对数和三角函数的性质，为后续分析打下必要的代数基础。随后，我们将深入探讨实数系统的结构： 有序域的完备性： 重点介绍戴德金截分割（Dedekind Cuts）或最值原理（Completeness Axiom），解释为什么实数系 $mathbb{R}$ 能保证所有有界实数集都有上（下）确界，这是后续极限论证的逻辑起点。 区间与邻域： 严格定义点集的邻域概念，理解 $epsilon$ 语言在描述“无限接近”中的作用。 有界性与收敛性初步： 引入数列的基本概念，并初步讨论数列的界限和收敛的直观含义。 第二章 极限的严格定义与运算 本章是全书的逻辑核心，力求用最清晰的方式阐述微积分学的“发动机”——极限。 数列的极限 ($epsilon-N$ 语言)： 详细剖析 $lim_{n o infty} a_n = L$ 的严格定义，并通过实例（如 $1/n$ 趋于 $0$）进行充分练习，确保读者能熟练运用该定义进行证明。 函数在某点处的极限 ($epsilon-delta$ 语言)： 发展到函数极限的定义，强调 $delta$ 如何依赖于 $epsilon$。本节将重点剖析极限的代数运算律，证明如果极限存在，则它们遵循加、减、乘、除和复合运算的规则。 极限的性质与存在准则： 深入讨论单调有界定理（Monotone Convergence Theorem），这是证明许多数列极限存在性的强大工具。随后介绍夹逼定理（Squeeze Theorem）及其在处理复杂极限中的应用。 无穷极限与侧向极限： 讨论函数趋于无穷大或自变量趋于无穷远的情况，以及左极限和右极限的概念，为连续性分析做铺垫。 第三章 函数的连续性 基于第二章对极限的深刻理解，本章将“局部稳定性”的概念形式化为连续性。 连续性的定义： 定义函数在一点连续以及在区间上连续，并将其与极限定义联系起来。 连续函数的性质： 证明初等函数（多项式、有理函数、三角函数等）的连续性。重点阐述闭区间上连续函数的两大核心定理： 介值定理 (Intermediate Value Theorem, IVT)： 说明连续函数能够“取到”其端点值之间的所有值。 最值定理 (Extreme Value Theorem, EVT)： 保证在闭区间上连续的函数一定能达到其最大值和最小值。 一致连续性： 引入一致连续性的概念，将其与局部连续性进行对比，解释为什么在紧致集上，连续性具有更强的全局性质。 --- 第二部分：微分学——瞬时变化率的度量 第四章 导数的概念与计算 本章将变化率的概念从平均变化率提升到瞬时变化率——导数。 切线与平均变化率： 从几何上引入导数的概念，将其定义为割线斜率的极限。 导数的定义与基本法则： 严格定义导数 $f'(x)$。系统推导和证明导数的线性法则、乘法法则、除法法则以及最重要的链式法则 (Chain Rule)。链式法则的掌握程度是后续一切复杂函数求导的基础。 初等函数的导数： 计算多项式、指数函数 $exp(x)$、对数函数 $ln(x)$ 以及三角函数和反三角函数的导数。 高阶导数： 介绍二阶及更高阶导数的概念及其物理意义（如加速度）。 第五章 导数的应用 导数是分析函数行为的有力工具，本章集中展示其在函数分析、图像描绘及实际问题中的应用。 中值定理： 严格证明并理解罗尔定理 (Rolle's Theorem) 和拉格朗日中值定理 (Mean Value Theorem, MVT)。MVT 是连接导数和函数增减性的关键桥梁。 导数在函数分析中的应用： 单调性与极值判断： 利用一阶导数判断函数的增减区间和局部极值点。 凹凸性与拐点： 利用二阶导数判断函数的凹凸性，并找到拐点。 利用洛必达法则 (L'Hôpital's Rule)： 系统地应用洛必达法则求解不定式极限（$frac{0}{0}$ 和 $frac{infty}{infty}$ 型）。 函数的图像绘制： 综合利用上述所有工具，完整分析并绘制复杂函数的图形。 优化问题： 解决简单的最大值和最小值应用题。 --- 第三部分：积分学——累积与总量 第六章 定积分的概念与基本性质 本章引入定积分，将“求和”的概念精确化，用于计算曲线下面积、体积等累积量。 黎曼和的构建： 从几何问题出发，通过划分区间、构造上和与下和，引入定积分的直观概念。 黎曼可积性： 严格定义黎曼可积性，并证明连续函数在闭区间上必定是黎曼可积的。 定积分的基本性质： 讨论积分的线性性、区间可加性以及积分的比较性质。 第七章 微积分基本定理 这是连接微分学与积分学的核心桥梁，也是微积分学最伟大的成就之一。 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）： 阐述定积分与不定积分（原函数）之间的内在联系。 求原函数的方法： 系统介绍积分技巧，包括： 换元法（Substitution Rule）： 积分中的链式法则逆用。 分部积分法 (Integration by Parts)： 积分中的乘法法则逆用。 定积分的应用： 利用定积分计算平面区域的面积、旋转体的体积（圆盘法、薄壳法）以及平均值。 附录 A：基础函数回顾与证明的严谨性 本附录提供对指数函数、对数函数以及三角函数（基于 $sin x$ 和 $cos x$ 的定义）的解析式定义和基本性质的快速回顾，确保读者对后续章节中用到的所有初等函数有清晰的认识。同时，也包含对 $epsilon-delta$ 证明中常见陷阱的解析，强化分析思维。 --- 本书特色： 1. 平衡性： 努力在数学的严谨性（证明的完整性）和直观理解（几何和物理的联系）之间找到最佳平衡点。 2. 概念驱动： 强调“为什么”而不是仅仅“怎么做”，确保读者深刻理解极限、导数和积分的本质含义。 3. 示例详尽： 配备大量的例题和习题，覆盖从基础运算到复杂理论验证的各个层面。

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这本《高等数学(下)本科少学时(第二版)》真是让我又爱又恨！刚拿到手的时候，就被它厚实的封面和严谨的排版吸引了，感觉是一本相当有分量的教材。翻开第一页，我就被那密密麻麻的公式和定理吓得不轻。不得不说，它的内容确实非常扎实，涵盖了微积分的许多核心概念，比如多重积分、向量场、微分方程等等。讲解过程逻辑清晰，每一步推导都力求严谨，对于想要深入理解数学原理的同学来说，这绝对是一笔宝贵的财富。我花了大量的时间去啃那些定理证明，感觉自己的逻辑思维能力得到了极大的锻炼。每次攻克一个难题，那种成就感都让我觉得之前的付出是值得的。而且，书中的例题也相当丰富，有基础题，也有一些比较有挑战性的题目，能够很好地检验我是否真正掌握了所学的知识。当然，对于我们这种学时不多的本科生来说，有时候会觉得内容稍显“劝退”，感觉自己像是被数学的海洋淹没了一样，需要花费比别人更多的时间去消化吸收。但是，静下心来，一点一点地钻研，你会发现数学的魅力所在。

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这次拿到的是《高等数学(下)本科少学时(第二版)》，说实话，刚开始接触这本书的时候，我有点头疼。感觉它更像是为数学专业或者对数学有特别深入追求的学生准备的，而不是我们这种“少学时”的本科生。书里的概念铺垫很足，很多推导过程都写得非常细致，这对于初学者来说，可能反而不是一件好事，因为你可能会在一些基础的细节上花费太多时间，反而失去了对整体概念的把握。我记得有一次，为了弄懂一个关于线积分的定理，我翻来覆去看了好几遍，又对照着好几个例题，才勉强理解了它的意思。而且，书里的习题，尤其是后面的综合题，难度系数有点高，很多都需要花费相当长的时间去思考，甚至还需要查阅其他的参考资料。有时候，我甚至觉得这本书在“考”学生，而不是在“教”学生。但换个角度想，如果真的能把这本书的内容吃透，那么将来在其他课程的学习或者工作中的数学应用，应该都能轻松应对了。只是，对于很多非数学专业的学生来说，如何在有限的时间内，有效地吸收书中的精华，确实是一个挑战。

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不得不说，《高等数学(下)本科少学时(第二版)》的编排方式给我留下了深刻的印象。它采用了先理论后应用，再深入讲解的模式。一开始，你会感觉它像是一本理论纯粹的数学著作，充斥着各种抽象的定义和严谨的证明。但是，当你坚持下去，你会发现它在每个章节的末尾，都会给出一些相当有代表性的例题，这些例题不仅能够帮助你巩固刚学到的知识点，而且很多都能够让你感受到数学在解决实际问题中的强大力量。我记得在学习微分方程这一章的时候，书中的例子就涉及到了人口增长模型、电路分析等，虽然讲解不深，但足以激发我进一步探索的兴趣。而且，书中的习题设计也很巧妙，从基础的计算题到需要一定分析能力的综合题，层次分明。当然，也正是因为这种“循序渐进”的模式，使得前面的理论铺垫显得格外长，有时会让人觉得有点枯燥。如果能把理论和应用更紧密地结合起来，或许能在学习过程中增加更多的趣味性。

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我最近在学习这本《高等数学(下)本科少学时(第二版)》，感觉它是一本非常“硬核”的教材。里面的数学推导非常严谨，逻辑链条环环相扣，几乎找不到任何可以跳过的地方。对于我这种更偏向于理解“为什么”的学生来说，它的细节处理做得非常好，每一次公式的转换、定理的证明，都写得清晰明了。特别是关于级数的部分，书中的展开和收敛性的判断，都进行了非常详尽的分析。让我印象深刻的是，它在讲解黎曼积分的时候，花了很大的篇幅去阐述积分的几何意义，以及积分和面积的关系，这让我对积分有了更深刻的认识。但是，它的缺点也很突出，对于我们这种学时有限的学生来说，这本书的讲解速度可能有点太快了，很多概念的引入显得比较突然，需要学生具备一定的预备知识。而且，书中的练习题，虽然质量很高，但数量相对较少，有时会觉得不够练手。如果能增加一些不同难度层次的练习，或者提供一些解题思路的提示，对于提升学习效率会更有帮助。

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这本《高等数学(下)本科少学时(第二版)》带给我一种“老派”数学教材的严谨感。它的语言风格非常正式，几乎看不到任何口语化的表达，公式推导也是一丝不苟，没有任何省略。这种风格的好处是，你可以非常确定地知道每一步是怎么来的，不会产生“为什么会这样？”的困惑。我喜欢它在讲解每一个新概念之前，都会先给出一个清晰的定义，然后通过一系列的命题和定理来逐步构建起这个概念的数学框架。特别是关于多元函数微积分的部分，比如梯度、散度、旋度这些概念，书中的介绍非常有条理，一步步引导你去理解它们在几何和物理上的意义。我尤其喜欢它在讲解拉格朗日乘数法的时候，给出的几何解释，让我对约束最优化问题有了一个直观的认识。然而，它的缺点也很明显，对于时间紧迫的学生来说，这种“慢节奏”的学习方式可能不太适应。很多时候，我感觉自己像是跟不上它的步调，需要不断地回过头去复习前面的内容，才能理解后面的概念。如果能够有一些更简洁明了的讲解，或者一些更贴近实际应用的案例，或许对我们这种“少学时”的学生会更友好一些。

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