A数学(文科)学生用书/优化学与练 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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探索未知领域：深度解析与创新实践 图书系列：《前沿科学与工程实践》 子系列：《理论物理学导论：量子场论的现代视角》 作者团队： 首席研究员： 张宏伟 教授 (理论物理研究所) 核心成员： 王静 博士 (高等研究院)、李明 工程师 (应用数学中心) --- 卷首语：超越经典，迎接新范式 在人类认知不断拓展的今天，我们正站在一个科学革命的门槛上。经典物理学的宏伟框架虽然为我们理解宏观世界奠定了坚实基础，但在微观粒子、高能物理以及宇宙起源等领域，其解释力已显现出局限性。本书系《前沿科学与工程实践》的开篇之作，聚焦于当前物理学界最具挑战性与活力的领域之一——量子场论（Quantum Field Theory, QFT）。 我们深知，量子场论是一门理论体系庞大、数学工具复杂的学科。传统教材往往在介绍基本概念时，过分侧重于数学推导的完整性，而忽视了对物理图像和核心思想的深入剖析，使得初学者望而却步。本书的宗旨，正是要以一种更加直观、与现代实验观测紧密结合的方式，构建起读者对QFT的系统认知。我们力求在保持理论严谨性的同时，突出其作为描述自然界基本粒子的“通用语言”的强大能力。 --- 第一部分：基础重构——从经典场到量子化 本部分旨在为读者打下坚实的理论基础，并清晰阐述从经典场论（如拉格朗日力学和哈密顿力学在场论中的推广）过渡到量子场论的必要性和逻辑步骤。 第一章：经典场论的回顾与推广 1.1 场与作用量原理： 深入探讨连续介质中的拉格朗日密度，强调了其对描述粒子和相互作用的普适性。详细解析了欧拉-拉格朗日方程在场论中的应用，重点关注了守恒量与诺特定理（Noether's Theorem）的深刻联系。 1.2 相对论性要求与闵可夫斯基时空： 考察场方程在洛伦兹变换下的协变性要求，引入了四维时空概念。讨论了自由标量场（Klein-Gordon场）和自由旋量场（Dirac场）的运动方程，并讨论了它们的物理意义，如能量和动量密度。 1.3 约束与哈密顿表述： 从拉格朗日量导出正则动量，并建立哈密顿量。本章将详细讨论场论中的“约束问题”，为后续的正则量子化铺平道路。 第二章：正则量子化与粒子诠释 2.1 玻色子场（标量场）的正则量子化： 这是通往QFT的核心步骤。我们采用对易关系（Commutation Relations）的方法，引入“产生算符”($a^dagger$)和“湮灭算符”($a$)。关键在于构建Fock空间，清晰展示如何从真空态出发，产生出具有特定能量和动量的粒子。 2.2 费米子场（旋量场）的量子化： 针对狄拉克场，讨论其必须满足的反易关系（Anti-Commutation Relations），这是保证费米子服从泡利不相容原理的数学根源。详细分析了狄拉克旋量与反粒子（正电子）的出现，揭示了相对论性量子力学自然包含反物质的深刻物理图像。 2.3 场、粒子与相互作用的初步认识： 本章总结了量子化过程的物理意义：场不再是场的算符，而是产生和湮灭粒子的算符。初步探讨了如何将多个场耦合起来，暗示相互作用的引入。 --- 第二部分：微扰论与散射——费曼图的魔力 一旦场被成功量子化，描述粒子如何相互作用和散射就成为核心任务。微扰论（Perturbation Theory）是解决强相互作用的有力工具，而费曼图则是这种理论的直观表现。 第三章：相互作用的引入与S矩阵 3.1 相互作用绘景与时间演化： 重新审视薛定谔绘景到相互作用绘景的转换，引入S矩阵（Scattering Matrix）作为连接初始态和末态的桥梁。 3.2 相互作用拉格朗日与微扰展开： 聚焦于最简单的相互作用——$phi^4$理论（作为描述玻色子相互作用的原型）和QED（量子电动力学）的拉格朗日密度。展示如何将S矩阵表示为相互作用拉格朗日量的级数展开。 3.3 费曼图的构建规则： 系统地介绍如何根据微扰展开的每一项，绘制出对应的费曼图。详细解释了图中的线（传播子）和顶点（耦合常数）所代表的数学量。这是本书对物理图像最直观的贡献部分。 第四章：散射过程的计算与路径积分的视角 4.1 简单散射过程的计算实例： 以两粒子对两粒子的弹性散射（如$phi^3$理论中的过程）为例，展示如何将费曼图转化为具体的数学积分表达式，计算微分截面。 4.2 路径积分表述（Path Integral Formulation）： 介绍路径积分作为量子场论的另一种基本表述。虽然数学上更为抽象，但它在处理非微扰效应和某些规范场论中具有不可替代的优势。重点讨论场论中的经典作用量如何转化为路径积分的指数因子。 4.3 传播子（Propagators）的物理意义： 深入解析传播子在时空中的含义，即粒子从一点传播到另一点的概率幅。对比狄拉克传播子、克莱因-戈登传播子以及费曼图中的内部线。 --- 第三部分：重整化与现代物理学的基石 量子场论在计算中常常遇到无穷大的问题。重整化（Renormalization）是QFT成功的关键，它不仅是数学技巧，更是深刻的物理思想，揭示了物理定律的尺度依赖性。 第五章：无穷大与发散的根源 5.1 圈图与紫外发散： 详细分析为什么在费曼图的高阶修正（即“圈图”）中会出现无穷大。区分动量积分中的“紫外发散”（高能/短距离）和“红外发散”（低能/长距离）。 5.2 截断与维数正则化： 介绍处理无穷大的实用技术。重点讲解维度正则化（Dimensional Regularization）——一种在现代物理学中应用最为广泛的正则化方法，它保持了理论的洛伦兹协变性和酉性。 第六章：重整化群与物理的有效性 6.1 物理量的重整化： 阐述“裸常数”与“物理常数”的区别。通过重整化过程，将计算中出现的无穷大吸收进对原始场和耦合常数的重新定义中。 6.2 重整化群方程（RG Equation）： 介绍这一革命性的概念。重整化群揭示了物理定律（如耦合常数）如何随观测能量尺度发生变化。这直接导致了“渐近自由”等现代粒子物理学的核心结论。 6.3 有效场论（Effective Field Theory, EFT）： 将重整化群的思想应用于实际问题。解释为什么我们不需要知道所有尺度的细节（如普朗克尺度），即可在特定能量范围内精确描述物理现象。这为高能物理实验的解释提供了统一的框架。 --- 结语：展望与挑战 本书的完成，旨在为有志于深入研究粒子物理、凝聚态物理甚至量子引力领域的读者提供一份扎实的理论指南。我们已经构建了QFT的基本工具箱，并探讨了其在计算相互作用时的核心方法。 接下来的挑战，如非微扰效应的探索、非阿贝尔规范场的引入（如标准模型的基础）以及量子引力的探索，都需要读者在掌握本书内容的基础上，进一步拓展视野。我们相信，通过严谨的学习和深入的思考，读者将能更好地理解我们宇宙的基本构件和作用方式。

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总的来说，这本书给我带来的最大感受是“系统性”和“完整性”，它构建了一个非常坚固的知识框架，让我不再觉得数学知识是零散的碎片，而是一张相互关联的精密网络。特别是对于基础概念的引入和反复强调，作者采取了多角度、多层次的阐释方法，确保每一个知识点都被牢牢地刻在了脑海里。我发现，当我尝试去解决更复杂的综合题时，那些看似很久以前学过的基础定理，总能恰到好处地在我的脑海中浮现，并且能够被灵活调用，这说明这本书在知识点的巩固和迁移应用方面做得极为出色。它没有为了追求所谓的“高难度”而堆砌偏题怪题，而是专注于如何让学生真正掌握核心能力。这本书让我对即将到来的大考充满了信心，因为我知道，我已经不仅仅是“学会了”这门学科的皮毛，而是真正开始理解其背后的精髓和力量。对于任何一位渴望在数学上有所突破的学生来说，这本书都是一个不可多得的宝藏。

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这本书的封面设计得非常吸引人，那种深沉的蓝色调配上简洁的字体，让人一眼就能感受到它蕴含的知识深度。我抱着试试看的心态翻开了第一章，原本以为会是枯燥乏味的公式堆砌，没想到作者在引言部分就用一种非常接地气的方式，将复杂的数学概念与我们日常生活中的现象巧妙地联系起来。比如，讲解概率论时，他没有直接抛出复杂的公式，而是从掷硬币、摸彩票这些小故事入手，让初学者也能很快理解背后的原理。更让我惊喜的是，书中的例题设计得极为巧妙，它们不仅仅是公式的简单套用，很多题目都设置了现实场景，需要读者进行一定的分析和判断，这极大地锻炼了我的应用能力。我记得有一道关于优化路径的题目，我花了很长时间才想出解法，但当最终得出答案时，那种成就感是无可替代的。这本书的排版也很舒服，字间距和行距都恰到好处，即便是长时间阅读也不会感到视觉疲劳。对我这个数学基础相对薄弱的学生来说，它就像一位耐心又高明的导师，一步步引导我跨越了那些曾经让我望而却步的知识鸿沟。

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这本教材的配套资源丰富程度简直超出了我的预期，单是书本身的内容就已经足够扎实，但它提供的辅助学习工具更是锦上添花。我最喜欢的是书中穿插的那些“拓展视野”小栏目，它们的内容往往会涉及现代科学研究中对数学工具的应用，比如金融建模、数据可视化等方面，这让我对所学知识的实际价值有了更清晰的认识。它让我明白，我们学习的这些看似基础的公式和定理，其实是构建现代科技大厦的基石。另外，书中的图表绘制得非常精美和专业，无论是函数图像还是立体几何的剖面图，都清晰到让人一目了然，这对于理解那些依赖视觉辅助的概念至关重要。很多其他教材的图示往往模糊不清，需要反复揣摩，但这本书在这方面做得非常到位，极大地提高了我的自学效率。我经常会花额外的时间去研究那些图示，因为它们本身就是一种高效的语言，比长篇的文字描述更有说服力。

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我对这本书的结构安排真是深感佩服，它完全打破了我对传统教材那种“先理论后习题”的刻板印象。这本书更像是一个循序渐进的探险旅程，每一节内容的衔接都过渡得极其自然流畅，几乎没有生硬的跳跃感。我特别欣赏作者在引入新概念时所采用的“先感知，后定义”的教学思路。举个例子，在学习微积分的基础知识时，作者先是通过描述“变化的速度”和“曲线下的面积”这两个直观的物理场景，让我对极限和导数的概念有了感性的认识，然后再引入严格的数学定义。这种方式极大地降低了理解门槛，让原本抽象的数学语言变得可视化和可触摸。而且，书中所提供的习题难度梯度控制得非常精准，从基础巩固到拔高拓展，层层递进，每完成一章的练习，我都能明显感觉到自己的思维敏锐度和解题速度都有了质的飞跃。特别是书后附带的“错题分析与反思”部分，它不是简单地给出答案，而是深入剖析了常见错误思路的产生根源，这一点对我的帮助太大了，让我不再是机械地记住知识点，而是真正理解了知识的内在逻辑。

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坦白说，我是一个对数学总有一种莫名的抗拒情绪的人，总觉得它跟我的“文科思维”格格不入，但在使用了这本书之后，这种偏见正在被慢慢瓦解。这本书的语言风格是其最大的亮点之一，它完全不像那些冷冰冰的教科书，作者的文字充满了人文关怀和鼓励，读起来让人感到非常亲切。比如，在解释某些几何证明时，作者会穿插一些历史上数学家们是如何攻克这些难题的轶事，这瞬间让枯燥的证明过程变得鲜活起来，仿佛我能感受到那些伟大的头脑在与我对话。这本书并没有刻意去迎合文科生的特点，但它确实用一种更注重逻辑推理和空间想象力的方式来构建知识体系，这恰恰是我这类学生所需要的。我发现，通过这本书的学习，我不仅数学成绩有所提高，更重要的是，我看待问题的方式也变得更加系统化和严谨了，这对于我未来在其他学科进行深度思考也是极有助益的。这本书真正做到了“寓教于乐”，让学习数学成了一件有意义、甚至有点上瘾的事情。

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