高等数学(上) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787810945981

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《数字之舞：探索微积分的奇妙世界》 这本书是一次激动人心的数学之旅，带领读者深入探索微积分的奥秘。我们将从最基础的概念出发，逐步构建起理解变化和无限的强大工具。 第一部分：变化的语言——导数 在我们的探索旅程中，首先映入眼帘的是“变化”这个无处不在的现象。河流的奔腾，云朵的飘移，经济的波动，甚至是生命的成长，都离不开“变化”的印记。而微积分，正是描述和量化这些变化的强大语言。 我们首先要学习的是极限的概念。想象一下，你离一个目标越来越近，几乎要触碰到它，但又永远无法真正到达。极限就是描述这种“无限接近”的状态。它像是一个侦探，帮助我们揭示函数在特定点附近的真实行为，即使函数在该点本身可能不存在定义。我们会学习如何通过直观的图形和严谨的代数方法来理解极限，并掌握求极限的各种技巧，为后续的学习打下坚实的基础。 紧接着，我们将迎来微积分的核心概念之一：导数。导数是什么？它衡量的是一个函数在某一点的瞬时变化率。你可以把它想象成一辆汽车在某一瞬间的速度。我们不仅会学习导数的定义，还会深入探讨其几何意义——它代表着函数图像在某一点的斜率。掌握了导数，我们就能精准地分析函数的增减性，找出函数的极值点（最高点和最低点），并理解函数的凹凸性，从而描绘出函数完整的图像和行为特征。 为了方便计算导数，我们会学习一系列求导法则。从最简单的幂函数、指数函数、对数函数的求导，到三角函数、反三角函数的求导，再到复杂的复合函数（链式法则）和隐函数求导，我们将系统地掌握这些强大的工具。例如，链式法则就像一套俄罗斯套娃，让我们能轻松地对嵌套在一起的函数进行求导。 导数的应用更是层出不穷。我们会学习如何利用导数解决优化问题，例如在给定周长的情况下，如何围出面积最大的矩形；如何确定生产多少产品才能获得最大利润；如何在最短的时间内从一点移动到另一点。导数还能帮助我们理解物理学中的速度、加速度、力等概念，以及在经济学中分析边际成本、边际收益等。 第二部分：累积的力量——积分 如果说导数是“拆解”变化的工具，那么积分就是“累积”变化的艺术。当我们想要计算一个不规则形状区域的面积，或者计算一段路程的总位移时，积分就显得尤为重要。 我们首先要理解不定积分，它被视为导数的逆运算。如果知道一个函数的导数，我们就能通过不定积分找到原来的函数。这个过程就像是给函数“复原”。我们会学习各种不定积分的技巧，包括第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法（三角换元、指数换元等），以及强大的分部积分法。这些方法如同厨师手中的各种调料和烹饪技巧，能够帮助我们处理各种形式的不定积分。 接着，我们将深入到定积分的世界。定积分用来计算函数在给定区间内的“累积量”，其几何意义通常是函数图像与x轴围成的区域的面积。我们会学习牛顿-莱布尼茨公式，这是连接定积分和不定积分的关键桥梁，极大地简化了定积分的计算。 定积分的应用同样广泛而深刻。它能够计算曲线下面积，例如计算不规则土地的面积，或者图形的体积。它还可以用来计算旋转体的体积，想象将一个二维图形绕轴旋转，形成的立体图形的体积。在物理学中，定积分可以用来计算功、平均值、质心等；在概率论中，它可以计算概率密度函数的累积概率。 第三部分：微积分的拓展与深化 除了导数和积分这两个核心概念，本书还将带领读者领略微积分的更多精彩。 我们会探索多元函数的微积分。当一个函数拥有多个自变量时，如何对其进行求导和积分？我们会学习偏导数，它衡量的是函数在某个自变量方向上的变化率，就像在多维空间中沿着特定的方向“切片”观察。接着，我们会学习全微分，它是在多维空间中描述函数变化的更精确的方式。 方向导数和梯度将帮助我们理解函数在三维空间中的变化趋势，找到函数增长最快的方向。多元函数积分，包括二重积分和三重积分，将使我们能够计算二维和三维空间中的区域面积、体积以及其他累积量。 我们还会简要介绍微分方程的概念。微分方程是描述事物变化规律的数学语言，解决微分方程能帮助我们理解和预测自然界和工程中的各种动态过程。 本书的编写风格注重逻辑性和条理性，力求将抽象的数学概念用清晰易懂的语言呈现。我们会通过大量的图示和实例来帮助读者建立直观的理解，并通过精心设计的练习题来巩固所学知识。无论你是数学爱好者，还是希望在科学、工程、经济等领域有所建树的学子，本书都将为你提供坚实的微积分基础，让你能够运用这些强大的工具，去理解和解决更复杂的问题，开启属于你的数字探索之旅。

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说实话，我是在一个朋友的强烈推荐下买了这本书的，他当时是某名校的研究生，说这本教材的“严谨性”是其他同类书籍难以企及的。我抱着试试看的心态翻开了关于“黎曼积分”的定义部分。我过去对黎曼和与黎曼上和、下和的理解总是很模糊，感觉光是理解“分割”和“小区间”这些抽象词汇就费了半天劲。但是，这本书的处理方式让我眼前一亮，它非常耐心地用图形化的方式辅助讲解了积分的“逼近”思想，并且在引入$epsilon-delta$语言时，处理得非常平滑自然，没有那种突然拔高难度的生硬感。作者似乎很清楚初学者在哪些地方容易产生认知障碍，并在关键节点处及时插入了“深度解析”的旁注，这些小小的细节，体现了编者深厚的教学经验。我希望通过这本书，能够真正理解积分的本质，而不仅仅是记住那个反导数的套路。

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这本教材的排版风格简直是一股清流，完全打破了我对传统理工科教材那种黑白灰、密密麻麻文字的刻板印象。纸张的质地摸起来很舒服，不是那种廉价的反光纸，长时间阅读眼睛不容易疲劳，这对于需要大量刷题和阅读例题的我来说，简直是福音。我花了将近一个下午的时间仔细研读了其中关于多元函数偏导数的部分，作者的叙述逻辑非常清晰，总能用非常巧妙的比喻来解释一些看似拗口的概念，比如将偏导数比作在多维空间中沿着特定坐标轴方向的“瞬时变化率”，这种形象化的描述大大降低了我的理解门槛。而且，书中的例题选择也非常精妙，基础的计算题巩固了基本功，而穿插在章节末尾的“挑战性思考题”则明显偏向于考察对理论的灵活运用和深度理解，而不是简单的套公式，这一点我非常欣赏。如果配套的习题集能有更详尽的解析那就更棒了，特别是对于那些需要写出完整解题步骤的证明题。

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从版本更新的角度来看，这本书的学术态度是非常严谨的。我特意对比了几个不同年份的印刷版本，发现作者团队在多次修订中，对一些容易引起歧义的表述进行了精炼和修正，这说明他们不是简单地重复印刷，而是在不断地打磨教学内容。我个人对教材的“可读性”要求比较高，很多经典教材虽然内容权威，但语言晦涩，读起来像是在啃石头。这本书的行文则非常流畅，用词准确，既保持了数学的精确性，又避免了不必要的学术腔调。它更像是一位经验丰富、极富耐心的导师在给你娓娓道来，而不是一个冷冰冰的知识库。特别是它对“柯西序列”和“完备性”的阐述，通过构造性证明的方式，让人对实数系的结构有了更深刻的认识。总而言之，这本书在理论深度、教学设计和排版舒适度上找到了一个极佳的平衡点，是值得细细品味的数学著作。

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这本书，说实话，拿到手的时候我心里是有些忐忑的。毕竟“高等数学”这四个字本身就带着一股子让人望而生畏的气息。我当时的需求其实非常明确，就是想找一本能系统梳理微积分基础概念，并且在证明过程上能稍微深入一点的教材。我过去学的教材，很多地方都是一笔带过，公式推导过程像是天书一样，感觉自己只是在死记硬背，而不是真正理解了背后的逻辑。这本书的封面设计倒是挺简洁的，没有什么花哨的图案，给人一种沉稳的感觉。翻开目录，章节划分得相当细致，光是极限那一章就拆分了好几个小节，这让我觉得作者在编排上是下了真功夫的。我尤其关注了级数的收敛性测试部分，希望它能把比值判别法和根值判别法的适用条件和几何意义讲得透彻一些。如果能配上一些实际工程或物理中的应用实例作为引子，那就更完美了，这样能让我更好地建立起抽象概念与现实世界的联系，而不是单纯地停留在符号运算的层面。我期待它能成为我攻克后续数分和工数难题的一块坚实基石。

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我是一个偏向于应用型的学习者，在学数学的时候，最怕的就是理论脱离实际。这本书虽然名字听起来很理论化，但我在其中发现了不少令人惊喜的“工程化”的案例。例如，在讲解向量场和线积分的时候，书中穿插了一个关于“电磁场能量做功”的简短介绍，虽然篇幅不大，但它成功地将抽象的数学运算与一个实际的物理场景联系了起来，让我立刻对前面的公式产生了更强的学习动力。另外，书中的插图质量非常高，尤其是那些表示曲面和切平面概念的立体图，线条清晰，三维透视感极强，这比那些简单平面示意图有效得多。唯一的遗憾是，我感觉关于傅里叶级数和拉普拉斯变换的介绍部分略显单薄，作为高等数学的收尾，这部分内容往往是后续信号处理课程的基础，如果能再增加一些更贴近现代工程应用的例子（比如数字滤波器的基础概念引入），那么这本书的综合价值会再上一个台阶。

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