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出版者:世界图书出版公司

作者:Charalambos D. Aliprantis

出品人:

页数:415

译者:

出版时间:2009-1

价格:49.00元

装帧:

isbn号码:9787506292726

丛书系列:

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• 实分析
• 数学/统计学
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《几何的秘密语言：从欧几里得到非欧空间》 本书将带领读者踏上一段探索几何学迷人世界的旅程，从古希腊先贤奠定的坚实基础，一路穿越到现代数学家构建的奇妙非欧空间。我们不会深入探讨实数、函数、极限等分析学中的核心概念，而是将目光聚焦于形状、空间、距离和曲率这些几何学的语言。 第一章：古希腊的几何之光 本章将追溯几何学的起源，从史前人类对空间和形状的朴素认知，到古埃及和巴比伦文明在测量和建筑中应用的几何智慧。我们将重点介绍欧几里得的《几何原本》，这部不朽的著作如何通过公理、定义和定理的方式，构建起一个逻辑严谨、自洽的几何体系。读者将有机会理解平面几何中的基本概念，例如点、线、面、角、三角形、圆等，以及它们之间的关系。我们将探讨毕达哥拉斯定理的优雅，圆的奥秘，以及多边形的性质。本章的目标是让读者领略几何学作为一种形式化思维的魅力，以及其在古代文明中的重要地位。 第二章：立体与空间之维 在第一章的基础上，本章将视角从二维平面拓展到三维空间。我们将深入研究立体几何，了解球体、立方体、棱锥、圆柱等基本立体图形的性质，以及它们的体积和表面积的计算方法。我们将探讨如何描述和理解三维空间中的对象，例如向量的概念（不涉及其作为实数序列的严格定义，而是将其作为具有方向和大小的几何实体），以及它们在描述位移和力方面的应用。本章还将触及一些更复杂的几何对象，例如多面体和曲线的初步几何特征，为后续章节打下基础。 第三章：映射与变换的优雅 几何学不仅仅是关于静态形状，更是关于它们之间的联系和变化。本章将引入几何变换的概念，例如平移、旋转、对称和相似。我们将直观地理解这些变换如何改变图形的位置、方向或大小，但保持其内在的几何属性不变。我们将探索比例在几何中的作用，理解相似图形如何通过缩放联系起来。本章将为读者理解更抽象的几何概念，例如同构和同胚，提供直观的几何基础。 第四章：非欧空间的奇思妙想 这是本书最具探索性也最激动人心的一部分。我们将挑战欧几里得几何的普适性，介绍非欧几何的诞生。本章将着重于理解平行公理的局限性，以及由此产生的两种主要非欧几何：黎曼几何和罗巴切夫斯基几何。我们将尝试理解在这些新的几何框架下，三角形内角和不再是固定不变的180度，直线（在这些空间中是“测地线”）的性质也会发生根本性的改变。我们将通过类比和直观的想象，来描绘这些非欧空间（如球面和双曲面）的几何特征，体会几何学思想的无限可能性。本章将引导读者思考我们对“空间”的直观理解是否是唯一的，以及几何学如何能够描述更广阔、更抽象的宇宙。 第五章：几何在世界中的投影 本章将展示几何学在现实世界中的广泛应用，以及其作为一种强大的建模工具的重要性。我们将探讨几何学在物理学中的角色，例如描述天体运动的轨道，理解光线的传播（例如折射和反射），以及在工程学中设计桥梁、建筑和机械。我们还将简要介绍几何学在计算机图形学、数据可视化以及艺术和设计中的应用。通过这些例子，读者将深刻体会到几何学不仅仅是抽象的数学理论，更是理解和塑造我们所处世界的关键。 本书的语言力求通俗易懂，以图示和直观的讲解为主，避免使用过于抽象和技术性的数学语言。我们希望通过这本书，读者能够重新认识几何学的魅力，感受到其作为一门研究空间、形状和结构的学科所具有的深刻洞察力和无限创造力。本书旨在培养读者对几何学的兴趣和直觉，为他们进一步探索更复杂的数学领域打下坚实的几何基础。

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这本书的叙述方式简直就像一位经验老到的登山向导，他深知通往高处的每条路径都可能隐藏着危险的冰裂隙。对于测度论的引入，作者采取了一种极为审慎的态度，先是花了大量篇幅讨论了有界可加测度的局限性，然后才水到渠成地引出了$sigma$-代数和勒贝格测度的构造。这种“先破后立”的叙事手法极大地增强了读者对构建一个完整测度空间的必要性的理解。我尤其喜欢它在讲解可测函数时所采用的视角，它不仅仅是定义上的转换，更是一种思维模式的迁移——如何将微积分中关于“可积性”的概念推广到一个更广阔的空间。书中的例题设计得非常巧妙，它们不仅是检验理解程度的工具，更是深化认知的跳板。有些例题的解答过程本身就蕴含着一个完整的证明思路，展示了数学家是如何从一个直观的想法发展出一个严密的论证体系的。读完这部分，我对勒贝格积分的优越性有了全新的认识，不再是机械地套用公式，而是真正理解了它为何能替代黎曼积分在更广泛的分析领域中发挥作用。

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这份教材的结构安排，乍一看似乎有些传统，但细细品味，却发现其中蕴含着一种深厚的历史感和逻辑的必然性。它并未沉溺于对现代抽象概念的过度追捧，而是将傅立叶分析和泛函分析的早期思想巧妙地融入了基础理论的讲解之中。例如，在讲解$L^p$空间时，作者不仅仅给出了范数的定义，还穿插了有关收敛性和完备性在函数空间中意味着什么的讨论，这为后续理解函数空间上的算子奠定了坚实的直觉基础。书中对于“一致收敛”和“几乎处处收敛”的对比分析尤为精彩，它清晰地阐明了，在极限操作的舞台上，不同的收敛方式对应着不同的“权力”，这对于理解现代分析中各种定理成立的严格条件至关重要。我发现，通过这本书的引导，我对那些看似孤立的定理（比如Minkowski不等式）之间的内在联系有了更宏大的视野，它们不再是孤立的结论，而是整个分析大厦中相互支撑的结构单元。这种将具体技术融入整体框架的写法，极大地提升了阅读的层次感。

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令人印象深刻的是，本书在处理一些高级概念时，如积分的交换次序（Fubini/Tonelli定理），采取了一种极为务实和直观的教学策略。作者首先通过大量的二维积分例子，展示了为什么“随便交换”在直觉上看似合理，但在数学上却是极其危险的，并明确指出了只有在满足特定条件（如可积性）时，这种交换才被允许。随后，定理的陈述和证明才得以展开。这种“先体验问题，后解决问题”的模式，极大地增强了理论的生命力。此外，书中对泛函分析初步概念的引入也处理得非常到位，它没有像某些专业教材那样突然跳入抽象的希尔伯特空间，而是通过对$L^2$空间性质的深入分析，自然而然地引出了内积空间和闭凸集等概念，让读者在熟悉的勒贝格积分环境中，初步领略到几何分析的力量。这本书的价值在于，它成功地架起了一座桥梁，连接了经典分析的严密性和现代泛函的广阔视野，使得读者能够带着扎实的根基，自信地迈向更深层次的研究领域。

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这本书的开篇就展现了一种深入骨髓的严谨性，仿佛作者是一位经验丰富的建筑师，为我们精心设计了一座知识的宏伟殿堂。从最基础的集合论和拓扑结构出发，作者并没有急于跳跃到那些令人望而生畏的测度和积分，而是花了大量的篇幅来打磨基础的“砖石”。我特别欣赏它对“极限”这个核心概念的探讨，它不是简单地罗列定义和定理，而是通过各种巧妙的例子和反例，引导读者去体悟极限在不同背景下的细微差别和深刻内涵。阅读过程中，我感觉自己像是在进行一场智力探险，每一步都需要仔细权衡，但每解开一个疑惑，收获的满足感都是巨大的。那些关于稠密性、完备性的讨论，在作者的笔下变得清晰可见，仿佛剥开了复杂的数学语言外衣，露出了数学思维最纯粹的面貌。对于初次接触高等分析的读者来说，这本书可能会显得有些“硬核”，因为它要求你付出百分之百的专注力，但正是这份专注，铸就了坚实的基础。那种如同雕刻家般精雕细琢的写作风格，让人不得不佩服作者对数学本质的深刻洞察力。

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这本书的行文风格充满了古典数学家的风范，语言精确，逻辑链条密不透风，几乎没有丝毫冗余的修饰，每一个数学符号和每一个逻辑连接词都承载着沉重的意义。尤其是在探讨微分与积分的对偶性时，作者展现出了惊人的洞察力。它不仅仅停留在教科书式的证明上，而是深入挖掘了为什么梯度、散度、旋度在不同的维度和结构下会保持一致的内在联系，尽管表述形式可能大相径庭。这种对“不变性”的追寻，贯穿了整本书的核心。对于那些习惯了轻快、对话式数学读物的读者来说，这本书的阅读体验可能会有些“枯燥”，因为它要求你必须放慢速度，与作者同步进行每一步的逻辑推演，不允许有丝毫的思维跳跃。然而，正是这种近乎苛刻的要求，迫使我不断地审视自己的理解盲区。每攻克一个难点，我都能清晰地感觉到自己的分析思维得到了实质性的磨砺，那种依靠纯粹逻辑推导获得真理的成就感，是其他许多轻松读物无法比拟的。

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