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出版者:VDM Verlag

作者:Shaojun Jia

出品人:

页数:112

译者:

出版时间:2008-07-09

价格:USD 77.30

装帧:Paperback

isbn号码:9783639053227

丛书系列:

图书标签:

• 形状分析
• 3D形状分析
• 计算机图形学
• 计算机视觉
• 形状描述
• 形状匹配
• 点云处理
• 几何建模
• 模式识别
• 图像处理
• 机器学习

《空间几何变换与计算几何基础》 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的计算几何和三维空间几何变换的理论基础与实用技术指南。作为一本面向工程、计算机图形学、机器人学以及数据科学领域专业人士和高年级本科生、研究生的教材或参考书，本书将严谨的数学原理与实际应用紧密结合，构建起理解和处理复杂三维数据结构的核心能力。 全书共分为四个主要部分，涵盖了从最基本的向量代数到高级的表面重建与分析所需的关键数学工具和算法。 --- 第一部分：基础数学与线性代数回顾 (Foundations and Linear Algebra Review) 本部分首先为读者打下坚实的数学基础，重点回顾和深化在处理三维空间问题时不可或缺的线性代数知识。 第1章 向量空间与几何基础 本章从基础的向量定义出发，详细阐述了$mathbb{R}^3$空间中的向量加法、标量乘法、内积（点积）及其几何意义（如投影）。重点讨论了向量的线性相关性、基的选取与坐标变换的本质。此外，还引入了外积（叉积）的概念，详细分析其与平面法向量、面积计算之间的关系，并讨论了右手坐标系与左手坐标系的规范化。 第2章 矩阵代数与齐次坐标 本章聚焦于矩阵运算在描述几何变换中的核心作用。详细讲解了矩阵的乘法、逆矩阵、转置以及特征值与特征向量的求解。特别辟出专门章节阐述齐次坐标系（Homogeneous Coordinates）的引入及其重要性，解释了如何通过一个统一的 $4 imes 4$ 矩阵来表示平移、旋转、缩放和透视投影等所有仿射变换，为后续的复杂变换序列奠定基础。 第3章 刚体运动与欧拉角 刚体变换是三维几何处理的基础。本章系统地介绍了旋转矩阵（Rotation Matrices）的性质，包括其正交性和行列式为+1的约束条件。随后，深入分析了欧拉角（Euler Angles）的定义、不同旋转顺序（如Tait-Bryan角）对结果的影响，并详细讨论了其著名的“万向节死锁”（Gimbal Lock）问题及其对动画和姿态控制的限制。 --- 第二部分：核心几何变换技术 (Core Geometric Transformation Techniques) 本部分是全书的核心，专注于高效、稳定地执行和组合三维空间中的几何操作。 第4章 四元数及其应用 (Quaternions for Rotation) 为克服欧拉角的局限性，本章详细介绍了四元数（Quaternions）理论。从其代数结构出发，阐述了四元数如何优雅地表示三维旋转，以及如何通过四元数进行高效的插值（如Slerp：球面线性插值），这在计算机动画和实时渲染中至关重要。本章将对比四元数与旋转矩阵在计算效率和数值稳定性上的优劣。 第5章 变换的组合与分解 本章探讨了如何将多个基础变换（平移、旋转、缩放）组合成一个单一的变换矩阵，以及如何进行逆向操作。重点讨论了变换的分解：如何将任意刚体变换分解为平移和旋转的组合（如使用QR分解或SVD）。此外，还将介绍相似变换和透视变换的矩阵表示，并说明它们在摄像机模型构建中的应用。 第6章 坐标系间的转换 (Coordinate System Transformations) 在多部件系统中，对象通常定义在各自的局部坐标系中。本章详细阐述了如何利用变换链（Transformation Chains）和坐标系变换矩阵在世界坐标系、模型坐标系和视图坐标系之间进行精确转换。内容涵盖了如何定义坐标系的原点、基向量，并推导出从一个坐标系到另一个坐标系的完整变换矩阵。 --- 第三部分：曲线、曲面参数化与表示 (Parametric Representation of Curves and Surfaces) 本部分将视角从刚性变换扩展到描述和生成平滑的几何形状。 第7章 参数曲线 (Parametric Curves) 本章介绍了描述路径和形状的数学工具。从基础的线性插值（如直线）开始，逐步深入到贝塞尔曲线（Bézier Curves），包括其低阶和高阶形式的定义、控制点拉伸的几何解释，以及De Casteljau算法的实现细节。随后，介绍B样条曲线（B-Splines）和NURBS（非均匀有理B样条）的基本性质、局部控制特性和次数的选择。 第8章 参数曲面 (Parametric Surfaces) 将曲线的概念推广到二维参数空间，本章探讨了曲面的表示方法。重点分析了贝塞尔曲面和B样条曲面的构建，它们如何通过控制网格来定义复杂的曲面拓扑。此外，还将讨论曲面的基本属性，如法向量的计算、曲率的初步分析，以及如何进行参数空间中的点采样。 第9章 几何建模基础：细分与插值 本章关注如何利用基础点集生成光滑的几何体。介绍了插值法和逼近法的区别。重点讲解了细分表面（Subdivision Surfaces）的概念，包括Catmull-Clark算法和Loop算法的基本迭代规则及其在光滑几何生成中的优势。 --- 第四部分：空间数据结构与几何分析 (Spatial Data Structures and Geometric Analysis) 本部分关注如何组织和分析大量三维数据点或网格模型。 第10章 空间数据组织结构 为了高效地进行碰撞检测、可见性判断和最近邻搜索，需要有效的空间组织结构。本章详细介绍并对比了八叉树（Octrees）、四叉树（Quadtrees，在3D中的应用概念）以及k-d 树（k-d Trees）的构建、遍历和维护机制。分析了不同结构在处理均匀分布与聚集分布数据时的性能差异。 第11章 网格几何处理基础 针对由顶点、边和面构成的三角网格模型，本章讲解了基本的拓扑和几何属性计算。包括如何计算每个顶点的度、面法向量的平均、以及网格的边界和流形性质判断。 第12章 形状描述与特征提取 本章探讨了如何从离散的三维数据中提取有意义的几何特征。内容涉及局部描述符的构建，如法向量直方图（Normal Vectors Histograms）和快速点特征直方图（FPFH）。此外，还将介绍基于曲率或拓扑结构的简化方法，为后续的形状识别和匹配打下基础。 --- 读者对象 本书适合于学习以下课程的学生和专业人员： 计算机图形学 (Computer Graphics) 计算几何 (Computational Geometry) 机器人学与运动规划 (Robotics and Motion Planning) 计算机辅助设计与制造 (CAD/CAM) 三维数据处理与可视化 (3D Data Processing and Visualization) 本书假设读者具备微积分和基础线性代数的知识。每一章后都附有精心设计的练习题，旨在巩固理论知识并引导读者思考实际应用中的问题。

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我不得不说，这本书的参考资料部分做得非常扎实，几乎是一张关于现代三维形状分析领域的“势力图谱”。它不仅引用了大量的经典论文，还对近期涌现出的基于深度学习的方法进行了前瞻性的讨论，尽管这些基于神经网络的章节可能需要读者自行结合最新的研究进行补充，但作者清晰地指出了传统基于几何和拓扑方法的优势和局限性，为AI驱动的分析提供了必要的理论背景。阅读这本书最大的收获是建立起了一种系统性的思维方式：面对任何一个三维数据问题，我不再是盲目地搜索现成的代码库，而是能迅速判断出该问题应该归类于刚性变换、非刚性形变、拓扑修复还是特征提取等范畴，并知道应该从哪个几何或代数工具箱中去寻找解决方案。这本书并非易读的消遣读物，它需要你投入时间和精力去演算和思考，但一旦攻克，它带来的知识复利是巨大的，它为你提供了一个观察和理解三维世界数据的全新、更深刻的视角。

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这本《3D Shape Analysis》的封面设计得极其简洁有力，黑白灰的基调搭配未来感的线条，让人立刻联想到复杂数据背后的优雅几何。我最初接触这本书，是冲着它在计算机图形学和模式识别领域的热度来的。坦白说，这本书的内容深度和广度都超出了我的预期。它并非那种只停留在概念层面的浮光掠影，而是扎扎实实地深入到了三维形状表示、描述和比较的核心算法之中。比如，在探讨曲面重建和网格简化时，作者展示了多种基于拓扑和几何的方法，每一种都有详尽的数学推导和实际应用场景的权衡分析。我特别欣赏它在介绍新的形状描述符时，会追溯其理论起源，让读者能够理解为什么特定的数学工具，比如拉普拉斯-贝尔特拉米算子，在处理非刚性形状匹配时如此有效。书中对高级主题如全局形状特征提取和可变形模型（Deformable Models）的讲解，结构清晰，逻辑严密，即便是初次接触这个领域的学生，只要有扎实的线性代数和微积分基础，也能逐步啃下来。这本书更像是一部技术手册和深度教科书的完美结合体，为任何希望在三维视觉、机器人感知或高级CAD/CAM领域有所建树的研究人员提供了坚实的理论基石。

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作为一名侧重于艺术与技术交叉领域的设计师，我原本对纯粹的数学理论有些畏惧，但《3D Shape Analysis》以一种出乎意料的方式吸引了我。它并没有将自己局限于纯粹的计算几何，而是巧妙地将“美学评估”和“可制造性分析”融入了形状分析的范畴。比如，书中讨论到如何通过计算形状的曲率分布来量化其复杂性和视觉流畅性，这对我后续进行参数化设计模型的优化提供了直接的指导。我发现，它不仅仅是告诉我们“如何做”，更深层次地解释了“为什么这样做会更好”。例如，在处理有机曲面（比如人物模型）时，传统方法往往依赖于局部特征，但这本书介绍的基于拓扑骨架（Skeletonization）的方法，提供了一种更具全局观和可解释性的描述方式。虽然部分章节涉及的高维向量空间变换对我来说需要多花些时间去消化，但作者在引入这些概念时，总是会立即联系到它们在三维建模软件中的实际映射，比如如何影响细分算法或网格简化后的视觉感知。这本书成功地架起了纯理论和实际应用之间的桥梁。

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说实话，这本书的阅读体验，与其说是在“读”一本教材，不如说是在“解构”一个复杂的工程难题。我当时正在尝试解决一个关于医学影像中骨骼结构变异性的自动识别项目，市面上大部分文献都显得过于碎片化，难以形成一个完整的认知框架。直到我翻开了《3D Shape Analysis》的几章关于“不规则形状的度量几何”的部分，茅塞顿开。作者没有回避理论的艰涩，而是用非常务实的视角去解释，例如，如何量化两个复杂点云之间的“距离”——这绝非简单的欧氏距离可以概括。书中详细对比了Hausdorff距离、大地测量学距离在不同噪声水平下的表现差异，并配有大量的伪代码和实现细节的讨论。这种深度足以让工程师立即将其中的算法框架移植到自己的工作流中。更令我印象深刻的是，它对“不变性”这一核心概念的坚持——如何让形状描述符对旋转、平移乃至视角变化保持鲁棒性，这部分内容的处理非常精妙，展示了对几何不变群理论的深刻理解。对于那些需要处理真实世界、充满噪声和不完整数据的应用场景来说，这本书提供的工具箱是无可替代的。

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这本书在处理“动态”形状变化方面的内容，简直是教科书级别的示范。我之前在研究运动捕捉数据与刚体动力学模拟的结合时，遇到了很多关于时间序列上形状一致性对齐的难题。这本书中关于“测地流”（Geodesic Flows）和基于黎曼流形上的形状统计学分析，彻底改变了我的思路。它将离散的形状序列提升到了一个连续的微分几何空间进行处理，这使得分析在不同时间点之间的平滑过渡和趋势预测成为可能。我尤其欣赏作者在处理计算复杂度问题时的坦诚态度——他们明确指出了某些高精度算法在实际运行中会遇到的瓶颈，并提供了一系列实用的近似策略和启发式方法，而不是仅仅停留在“理论上可行”的层面。这种对工程实际限制的深刻洞察，是很多学术著作所缺乏的。它教会了我如何在追求数学完美和满足实时计算需求之间找到最佳的平衡点，这对于任何从事复杂系统建模的人来说，都是至宝贵的经验。

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