高等代数学习指导书(下册) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787873022018

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《深入理解抽象代数》导读：构建坚实的群、环、域基础 本书特色： 本书旨在为读者提供一套全面、深入且富有启发性的抽象代数学习指南，侧重于对核心概念的理解、定理的精妙证明以及在不同数学分支中的应用。我们摒弃了传统教材中可能出现的概念堆砌，转而采用螺旋上升式的教学方法，引导读者逐步领悟代数结构的本质美感。全书分为四大部分，旨在系统地覆盖现代抽象代数的核心内容，为后续进入更高级的数论、代数几何或表示论打下坚实的基础。 --- 第一部分：群论基础与结构（Foundation of Group Theory） 本部分是构建代数思维的基石，重点在于建立对“对称性”和“结构保持”的直观认识，并深入探讨有限群的内部构造。 第一章：群的初探与基本性质 本章从集合上的二元运算出发，严谨定义群的公理系统。我们不仅会讲解基础的封闭性、结合律、单位元和逆元，更会引入“半群”与“幺半群”的概念，对比群结构的特殊性。重点讨论子群的判定定理（两步法与单一运算法），以及陪集的概念。陪集的引入为拉格朗日定理的证明铺平了道路。 核心内容详述： 循环群的完备解析： 深入分析由单个元素生成的群，讨论其阶与生成元的性质。将 $mathbb{Z}$ 和 $mathbb{Z}_n$ 视为最典型的循环群实例，探讨其同构性。 拉格朗日定理及其推论： 对有限群的阶与子群的阶之间的关系进行严格证明。重点阐述其重要推论，如“群的任意元素的阶整除群的阶”，以及费马小定理和欧拉定理在群论框架下的统一解释。 正规子群与商群（因子群）： 这是理解代数结构“收缩”的关键。我们将详细剖析正规子群的等价定义（左陪集等于右陪集、共轭类性质），并在此基础上严密构造商群，讨论商群的运算定义如何保持了良好性质。 第二章：同态、同构与群的分类 本章将从“结构保持的映射”视角审视群之间的关系，引入群同态和群同构的概念。 核心内容详述： 同态定理： 重点论述“第一同构定理”（或称基本同态定理），它揭示了同态、核（Kernel）与像（Image）之间的深刻联系。证明其为群的结构提供了一个强大的分解工具。 第三同构定理与第二同构定理： 讨论子群与正规子群之间的关系，它们在更精细的结构分解中的应用。 置换群与凯莱定理： 阐释所有群都可以被视为某种置换群的子群，证明凯莱定理，加深对任何抽象群最终都能被具体化的理解。 群作用与轨道-稳定子定理： 从几何和组合角度理解群的作用。详细讲解轨道、稳定子的概念，并利用轨道-稳定子定理解决计数问题（如Burnside引理的初步应用）。 第三章：有限阿贝尔群的结构 针对交换群，本章提供了一个完全的结构分解结果。 核心内容详述： 挠群与挠素群： 定义群中元素的有限阶与无限阶部分。 庞加莱-格林定理（有限阿贝尔群基本定理）： 详细阐述任何有限阿贝尔群都同构于一系列初等因子群（即 $mathbb{Z}_{p^k}$ 的直积）。本书将提供清晰的构造性证明，展示如何通过寻找基和对角化矩阵的思想来完成分解。 --- 第二部分：环论基础与多项式环（Rings and Polynomials） 本部分将代数的概念从一个运算推广到两个运算（加法和乘法），并重点分析多项式环作为构造复杂环的重要工具。 第四章：环的定义与基本结构 从具有加法与乘法运算的代数结构出发，定义环的公理。重点区分交换环、整环（Integral Domains）和域（Fields）的概念。 核心内容详述： 子环与理想： 类比群中的子群，引入子环。随后，重点深入理想（Ideals）的概念，强调理想作为加法子群且对乘法运算具有吸收性的特殊地位。 商环（因子环）： 构造商环，并将其与群中的商群进行类比，证明同态定理在环上的对应形式。 零因子、整环与域： 严格定义零因子，并解释在整环中如何保持“若 $ab=0$ 则 $a=0$ 或 $b=0$”的性质。讨论域的特性，如每个非零元素都有乘法逆元。 第五章：特殊类型的环与同态 本章聚焦于具有特殊乘法结构的环。 核心内容详述： 极大理想与素理想： 论证素理想（对应于整环的推广）与极大理想（对应于域的推广）之间的关系。证明在交换环中，商环 $R/I$ 是一个域当且仅当 $I$ 是一个极大理想。 主理想与主理想整环（PID）： 定义由单个元素生成的理想，并引入主理想整环（PID）的概念。讨论 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$（$F$ 为域）作为典型的 PID 实例。 欧几里得整环（EDR）： 引入带余除法，定义欧几里得整环。证明 EDR 蕴含 PID，并展示如何利用欧几里得算法（类似辗转相除法）来求最大公约式。 第六章：多项式环与唯一分解 本章是代数结构中应用最为广泛的部分之一，特别是对于域上的多项式环 $F[x]$。 核心内容详述： 多项式的代数性质： 证明 $F[x]$ 是一个 PID，进而是一个 UFD。 唯一分解域（UFD）： 定义不可约多项式和素多项式。证明在 $F[x]$ 中，不可约多项式扮演了素数（在 $mathbb{Z}$ 中的角色）的角色。 高斯引理与整系数多项式： 探讨 $mathbb{Z}[x]$ 的结构。讲解高斯引理，用于判断整系数多项式在 $mathbb{Z}$ 上的不可约性与在 $mathbb{Q}$ 上的不可约性之间的关系。 多项式的根与因式定理： 利用根的概念来分解多项式，讨论重根的存在性。 --- 第三部分：域的扩张与伽罗瓦理论初步（Field Extensions and Galois Theory） 本部分是抽象代数通往经典代数问题（如化圆为方、三等分角）的核心桥梁，旨在理解如何通过添加元素来“扩张”一个域。 第七章：域扩张的基本理论 定义域 $E$ 是域 $F$ 的扩张 $E/F$，并将 $E$ 视为关于 $F$ 的向量空间。 核心内容详述： 次数与代数扩张： 引入扩张次数 $[E:F]$，并讨论代数元与超越元的概念。证明代数元的集合构成一个域。 最小多项式： 讨论域 $F$ 中一个代数元 $a$ 的最小多项式的性质（首一、不可约性）。 代数扩张的构造： 证明若 $F$ 是一个域， $p(x) in F[x]$ 是一个不可约多项式，则 $F[x]/langle p(x) angle$ 构成一个域，并且该域是 $F$ 到 $F(alpha)$（ $alpha$ 是 $p(x)$ 的根）的扩张。 第八章：正规扩张、分离扩张与伽罗瓦扩张 引入更精细的分类标准，为最终的伽罗瓦对应做准备。 核心内容详述： 正规扩张： 定义一个扩张 $E/F$ 是正规的，如果 $E$ 中所有不可约多项式的根都在 $E$ 中。 分离扩张： 定义分离扩张，即所有元素的最小多项式没有重根。讨论在特征为零的域中，所有扩张都是分离的，并讨论有限域的特殊性。 伽罗瓦扩张： 结合正规性和分离性，定义伽罗瓦扩张。 第九章：伽罗瓦群与基本定理 本章是本书的难点与亮点，核心是建立域扩张与群之间的二元对应关系。 核心内容详述： 伽罗瓦群的定义： 定义域 $E/F$ 的伽罗瓦群 $Gal(E/F)$，它是保持 $F$ 中元素不变的自同构构成的群。 伽罗瓦对应定理： 详细论述伽罗瓦对应定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）。该定理建立了 $E/F$ 的所有中间域 $K$ 与 $Gal(E/F)$ 的所有子群 $H$ 之间的一一、反序对应关系。 扩张次数与群阶的关系： 证明在伽罗瓦扩张中， $[E:F] = |Gal(E/F)|$。 根式解的应用： 初步探讨伽罗瓦理论如何解释五次及以上多项式一般不可用根式求解的问题（通过分析其伽罗瓦群是否为可解群）。 --- 第四部分：特殊结构与应用（Special Structures and Applications） 本部分探讨更专业的结构，展示抽象代数在其他领域的连接。 第十章：有限域（Galois Fields） 专门分析在有限特征 $p$ 下的域结构。 核心内容详述： 伽罗瓦域 $GF(p^n)$ 的唯一性： 证明对于给定的素数 $p$ 和正整数 $n$，所有具有 $p^n$ 个元素的域是同构的，并记作 $GF(p^n)$。 构造 $GF(p^n)$： 证明 $GF(p^n)$ 可以通过 $F_p[x] / langle f(x) angle$ 构造，其中 $f(x)$ 是 $F_p$ 上任意一个 $n$ 次不可约多项式。 乘法群的结构： 证明 $GF(p^n)$ 的非零元素构成的乘法群是循环群。 第十一章：模论初步（Introduction to Modules） 将群论和向量空间的概念推广到更一般的结构上。 核心内容详述： 模的定义： 将环 $R$ 视为作用在集合 $M$ 上的结构，定义左 $R$-模和右 $R$-模。将向量空间视为域（域是交换环）上的模。 子模与商模： 类比子群和商群，定义子模和商模。 模同态与第一同构定理的推广。 --- 目标读者群： 本书面向数学专业本科生、研究生，以及希望系统、严谨地掌握抽象代数核心理论的自学者。它要求读者具备扎实的线性代数和初等数论基础，并对数学证明的逻辑结构有基本认识。本书的价值在于其详尽的证明推导和丰富的例子，确保读者不仅“知道”定理，更能“理解”定理产生的必然性。

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初翻目录，我就被其内容的广度和深度所吸引。它不像某些辅导书那样只罗列习题和标准答案，而是真正深入到了抽象代数的核心概念之中。比如，在处理群论的部分时，它不仅仅停留在定义和基本定理的层面，而是通过一系列精心设计的、由浅入深的例子，逐步引导读者理解像同态、同构这样的高级概念是如何在实际问题中发挥作用的。我尤其欣赏它在引入复杂定理时所采用的“先直觉后严谨”的讲解方式，这极大地降低了初学者的接受门槛。那些历史背景的穿插介绍，也让枯燥的数学理论变得生动起来，让人感觉到自己是在与这些伟大的数学家进行跨时空的对话，而不是简单地背诵公式。这种教学方法的创新性，无疑是它区别于市面上其他同类书籍的最大亮点。

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这本书的装帧设计简直让人眼前一亮，封面那种沉稳的蓝色调，配上烫金的书名，一下子就显得专业且有分量。我拿到手的时候，首先注意到的是它的纸张质量，摸上去很有质感，不是那种廉价的、一摸就掉粉的纸张，这对长时间阅读的人来说简直是福音。内页的排版也做得非常用心，字体大小适中，行距也拉得很舒服，不会让眼睛太快感到疲劳。而且，装订看起来很结实，翻阅起来很顺畅，感觉能伴随我度过整个学期的学习时光。书脊的处理也很到位，即便是经常翻开查找公式，也不会有松动的迹象。整体感觉就是，出版方在制作这本书时投入了相当的诚意，这不仅仅是一本教材，更像是一件值得收藏的学习工具。这种对细节的把控，在众多学习资料中是难能可贵的，让人在学习之初就对内容抱有更高的期待。

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与其他一些被奉为经典的教材相比，这本书在语言风格上显得尤为亲切和务实。作者的叙述语气非常平和，没有那种高高在上的学者腔调，更像是经验丰富的老师在面对面地指导学生。在处理那些非常容易混淆的概念，比如模（Module）和向量空间（Vector Space）的区别时，作者会用非常生活化的比喻来辅助理解，这对我这种需要反复确认才能建立稳固概念的人来说，简直是救星。书中的注释部分也做得非常到位，不仅仅是对术语的解释，更多的是对一些常见误区的提醒和深入探讨。我感觉作者非常理解我们学习过程中的痛点，从而有针对性地去疏导和解决，使得整个学习过程的挫败感大大降低，代之以持续的探索欲。

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这本书的练习题设计简直是数学思维的试金石。我以前做过很多代数习题集，很多都是重复性的计算，做完之后感觉只是记住了步骤，并没有真正理解背后的原理。然而，这里的习题明显是经过了精心的“打磨”。它们很少是那种直接套用公式就能得出答案的题型，更多的是需要你跳出框架，将不同章节的知识点进行巧妙地糅合。我花了整整一个下午攻克了一个关于域扩张的证明题，过程中卡壳了好几次，但当我最终理清思路、写下完整证明时，那种豁然开朗的成就感是无与伦比的。这套习题集的目标显然不是让你“刷题”，而是培养你作为一个数学研究者应有的逻辑推演和问题分解能力，真正做到了“授人以渔”。

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我必须强调一下这本书的“辅助材料”和“拓展阅读”部分的重要性。在每一个核心章节的末尾，作者都会提供一系列的参考书目和更前沿的研究方向链接，这为有志于继续深造或对某一特定领域特别感兴趣的读者打开了一扇全新的大门。它没有将内容局限在本科教学大纲的范围之内，而是清晰地展示了抽象代数这门学科在现代数学中的活力和广阔前景。我甚至发现其中提到的一些应用实例，是与我正在关注的某个信息安全课题有着间接联系的，这极大地激发了我将理论知识与实际应用相结合的动力。可以说，这本书不仅是学习当期课程的利器，更是一份引导我未来学术方向的灯塔，其价值远超出了一个学期课程所需的范畴。

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