Probability and Partial Differential Equations in Modern Applied Mathematics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Waymire, E. C.; Waymire, Edward C.; Duan, Jinqiao

出品人:

页数:284

译者:

出版时间:2005-9

价格:$ 145.77

装帧:

isbn号码:9780387258799

丛书系列:

图书标签:

• 概率论
• 偏微分方程
• 应用数学
• 现代数学
• 随机过程
• 数值分析
• 数学物理
• 金融数学
• 统计物理
• 泛函分析

《概率论与现代应用数学中的偏微分方程》 这本书深入探讨了现代应用数学领域中两个核心且相互关联的工具：概率论和偏微分方程。它不仅仅是这两个学科的简单罗列，而是着重阐述它们如何在解决现实世界复杂问题时发挥协同作用，提供了一个严谨而富有洞察力的视角。 核心内容概述： 全书围绕着如何运用概率的思想和方法来理解、分析和解决偏微分方程所描述的现象展开。这种方法论上的融合，使得原本枯燥抽象的数学概念变得更加生动和实用。 第一部分：概率论的基石与随机过程 开篇部分将奠定坚实的概率论基础。读者将从最基本的概率空间、随机变量、期望、方差等概念入手，逐步深入到条件概率、贝叶斯定理等更为精妙的理论。随后，将重点介绍各种重要的随机过程，包括但不限于： 马尔可夫链 (Markov Chains): 详细讲解其转移概率、稳态分布等核心概念，并展示其在离散时间系统中的广泛应用，如金融建模、排队论等。 泊松过程 (Poisson Processes): 探讨事件在时间或空间上随机发生的模型，及其在统计物理、通信工程等领域的应用。 布朗运动 (Brownian Motion): 深入分析这种连续时间随机过程的性质，包括其路径的连续性、独立增量等，并为后续的随机微积分奠定基础。 马尔可夫过程 (Markov Processes): 泛化马尔可夫链的概念，涵盖连续状态空间和连续时间的情况，为理解更复杂的动力学系统提供工具。 第二部分：偏微分方程的语言与解析 在建立概率论的知识体系后，本书将转向偏微分方程。这里并非旨在提供一个包罗万象的偏微分方程百科全书，而是聚焦于那些在科学和工程中最为常见的几类方程，并从现代应用的视角出发进行讲解： 椭圆型方程 (Elliptic Equations): 例如拉普拉斯方程和泊松方程，它们在稳态问题的建模中至关重要，如热传导的稳态分布、静电势的计算等。 抛物型方程 (Parabolic Equations): 如热传导方程，它描述了物理量如何随时间和空间扩散，广泛应用于热力学、化学反应扩散等领域。 双曲型方程 (Hyperbolic Equations): 如波动方程，它描述了波的传播，在声学、光学、电磁学等领域有着核心地位。 在解析这些方程时，本书将介绍多种重要的数学工具和方法，包括： 傅里叶分析 (Fourier Analysis): 利用傅里叶级数和傅里叶变换将复杂的方程转化为更容易处理的形式，是求解线性偏微分方程的强大手段。 格林函数方法 (Green's Function Method): 一种系统性的方法，用于找到线性微分算子的解，尤其适用于处理非齐次方程和边界条件问题。 变分方法 (Variational Methods): 从能量最小化的角度出发，寻找方程的解，在弹性力学、流体力学等领域有重要应用。 第三部分：概率与偏微分方程的深度融合 本书的真正亮点在于第三部分，它将前两部分的内容巧妙地结合起来，展示概率论如何在分析和理解偏微分方程方面发挥出独特的作用。 马尔可夫过程与偏微分方程的联系: 柯尔莫哥洛夫方程 (Kolmogorov Equations): 详细介绍前向和后向柯尔莫哥洛夫方程，它们是描述马尔可夫过程概率密度函数演化的偏微分方程。这揭示了随机过程的演化动力学与特定偏微分方程之间的深刻联系。 利用随机游走理解扩散: 介绍如何将布朗运动或离散的随机游走视为特定偏微分方程（如热传导方程）的解的粒子轨迹。通过模拟或分析这些随机轨迹，可以直观地理解方程的解的性质，如平滑性、扩散速率等。 扩散过程与椭圆型方程: 探讨如何利用扩散过程的终止概率或平均停留时间来求解与椭圆型方程相关的边界值问题。 随机微分方程 (Stochastic Differential Equations - SDEs): SDEs的定义与性质: 引入随机微分方程的概念，它们是描述由随机过程驱动的动力学系统的方程。SDEs是连接概率论和偏微分方程的桥梁，其解本身就是随机过程。 伊藤公式 (Itô's Lemma): 详细阐述伊藤公式，这是随机微积分中的核心工具，类似于经典微积分中的链式法则，但适用于随机过程。它允许我们计算由随机过程组成的函数的微分。 SDEs与偏微分方程的关系: 展示如何通过伊藤公式，将SDEs的解的统计性质（如期望、方差）与某个偏微分方程（通常是抛物型或椭圆型方程，称为Fokker-Planck方程或Mckean-Vlasov方程）联系起来。这为分析SDEs提供了强大的偏微分方程工具。 应用实例与前沿课题: 金融数学: SDEs在股票价格模型、期权定价（如Black-Scholes方程）等金融应用中的作用。 统计物理: 随机过程在粒子输运、相变等问题中的建模。 生物数学: 种群动态、疾病传播模型中涉及的随机性。 图像处理与机器学习: 随机模型和偏微分方程在图像去噪、图像分割、生成模型等方面的应用。 本书特色： 理论与应用并重: 严谨的数学推导与丰富的实际应用案例相结合，使理论知识更具说服力和可操作性。 循序渐进的讲解: 从基础概念出发，逐步深入到复杂的理论和模型，适合不同背景的读者。 强调方法论的统一: 重点突出概率和偏微分方程作为解决问题的两种互补且强大的工具，以及它们之间的内在联系。 现代视角: 聚焦于当前科学和工程领域中最具活力的研究方向和应用。 目标读者： 本书适合数学、物理、工程、金融、计算机科学等领域的本科高年级学生、研究生以及从事相关领域研究的专业人士。对于希望深入理解和掌握现代应用数学核心工具的读者而言，本书提供了宝贵的学习资源。通过学习本书，读者将能够运用概率的智慧来解读和解决偏微分方程所描述的复杂世界。

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坦白说，我抱着一种略微怀疑的态度开始阅读这本厚册子的。市场上的“应用数学”书籍常常在“应用”和“数学”之间摇摆不定，要么理论堆砌得让人昏昏欲睡，要么就是简单的公式套用，缺乏对底层原理的深刻洞察。这本书的独特之处，据我初步的感受，在于它似乎对“现代”这个词有着自己的定义。它不仅仅是罗列现有的成熟理论，更像是对未来研究方向的某种预测和引导。我特别留意了它对随机微分方程（SDEs）解的正则性问题的讨论，以及这些解如何影响某些非线性扩散方程的解的长期行为。如果作者能够清晰地阐述随机扰动如何影响定性地改变经典PDE解的稳定性和收敛性，那么这本书的价值就不仅仅是一本参考书，而更像是一份研究路线图。我希望看到的是，作者如何娴熟地运用鞅论、伊藤积分等工具，来解决那些在经典分析框架下难以处理的边界条件或初始值问题。这种跨学科的融合，如果处理得当，将极大地拓宽我们解决实际问题的思路，而不是仅仅停留在教科书层面的理论复述。

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总的来说，这本书给我留下了一种“全面而深入”的印象，它拒绝走捷径，坚持在抽象的严谨性和实际的应用需求之间找到平衡点。我特别欣赏它在收录材料上的广度，似乎涵盖了从基础的随机微积分到较为前沿的随机动力系统。我目前最感兴趣的是，它如何处理高维或无限维空间中的随机偏微分方程。在现代机器学习和深度学习中，优化问题的背景往往是一个高维概率空间，而梯度下降的动态过程又可以用随机ODE来描述。这本书是否能提供一个理论框架，来分析这些大规模随机优化算法的收敛速度和渐近行为？如果它能够将经典PDE中的特征线方法或变分法，用现代概率论的语言进行重构和扩展，那这本书的地位将无可替代。它不是一本可以快速翻阅的书，它要求读者投入时间去消化每一个论证的细节，因为它所构建的知识体系是层层递进、环环相扣的。最终，这本书似乎不仅仅是关于“概率”和“PDE”的，更是关于“如何用数学的深刻洞察力去理解一个充满不确定性的世界”。

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这本书的封面设计着实抓人眼球，那种深沉的靛蓝配上烫金的字体，透着一股古典与现代交织的厚重感。我是在书店的数学专架上偶然瞥见的，第一印象是：这绝不是那种泛泛而谈的入门读物。翻开内页，目录的排布就显示出作者的野心。它似乎试图搭建一座桥梁，连接看似风马牛不相及的两个领域。我个人尤其关注它在处理随机过程和偏微分方程（PDEs）交汇点上的叙述方式。很多同类书籍要么过于偏重概率论的抽象证明，让人望而却步；要么就是纯粹的物理或工程应用，缺乏严谨的数学推导。我很期待这本书能提供一种更平衡的视角，尤其是在金融建模、随机控制或者量子场论等前沿领域，希望它能展示出概率测度如何成为PDEs的驱动力，反之亦然。如果它能深入浅出地解释测度论在扩散方程中的作用，那将是极大的加分项。目前看来，这本书的体量和复杂度预示着它面向的是有一定高等数学基础的研究生或专业人士，对于想要在应用数学领域深耕的人来说，这或许是一份不可多得的工具箱。它的装帧质量也令人满意，纸张的触感和印刷的清晰度，都体现出出版方对学术内容的尊重。

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初次接触这本书时，最让我感到振奋的是它在绪论部分对于“数学建模哲学”的探讨。作者似乎在试图定义，在高度随机化的现实世界中，我们如何选择合适的概率框架来近似描述一个由偏微分方程主导的物理现象。这需要极高的数学直觉和工程经验。我发现，它在讲解诸如Black-Scholes模型背后的随机布朗运动如何映射到热传导方程的变体时，其逻辑推演是极其严密的。不同于那些将随机性视为附加修正项的书籍，这里的处理方式更像是将概率空间本身视为方程解空间的一部分。我特别想深入探究其中关于“平均场理论”的部分，看看它是如何结合概率密度函数的演化来替代对个体粒子轨迹的追踪，从而简化高维系统的分析。这种从微观随机性到宏观确定性方程的过渡，是应用数学中最具挑战性也最迷人的部分。如果这本书能提供关于傅里叶变换在随机PDE分析中的具体应用案例，例如用特征函数来处理具有随机系数的对流扩散方程，那无疑会使这本书成为我案头必备的工具书。

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这本书的组织结构显得非常精妙，它不是简单地将概率和PDE分章节介绍，而是贯穿始终地进行渗透。我注意到一个章节专门讨论了与随机波动相关的介质方程，这通常是固体物理或材料科学中的难题。作者没有回避这些问题的复杂性，反而将其作为展示概率工具强大威力的舞台。比如，如何利用随机微分几何的观点来审视黎曼曲面上的拉普拉斯算子在随机噪声下的行为，这无疑是面向尖端研究的。我期待它能提供一些关于“粘性解”理论在随机控制问题中的最新进展，特别是当Hamiltonian函数本身带有随机性时，如何保证解的存在性和唯一性。阅读这本书的过程，更像是在跟随一位资深研究员进行思维导引，他不断地抛出深层次的问题，然后展示出跨越学科壁垒的解决路径。这种探索性的写作风格，对于那些希望从知识的消费者转变为知识的创造者的人来说，是无价的。书中的图表和示例虽然不多，但每一个都经过了精心挑选，旨在阐明一个核心的数学洞察，而非仅仅是填充篇幅。

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