Variational Methods in Partially Ordered Spaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Gopfert, A.; Gopfert, Alfred; Riahi, Hassan

出品人:

页数:363

译者:

出版时间:2003-7

价格:$ 106.22

装帧:

isbn号码:9780387004525

丛书系列:

图书标签:

• Variational methods
• Partially ordered spaces
• Optimization
• Fixed point theory
• Nonlinear analysis
• Functional analysis
• Order theory
• Mathematical analysis
• Convexity
• Applications

《拓扑群与哈密顿动力学》 本书深入探讨了拓扑群的理论及其在哈密顿动力学中的应用。我们将从基础的群论概念出发，逐步引入拓扑群的定义、性质以及其在分析力学中的关键作用。 第一部分：拓扑群的基础 1. 群与拓扑空间回顾： 群的代数结构：二元运算、单位元、逆元、结合律。 拓扑空间的定义：开集、闭集、邻域、连续性。 群上的拓扑：左不变、右不变、双不变拓扑的定义与性质。 2. 拓扑群的定义与基本性质： 拓扑群的严格定义：一个集合既是群又是拓扑空间，且群运算是连续的。 基本定理：乘法、求逆运算的连续性。 子群、正规子群、商群与拓扑的兼容性。 单位元邻域的性质：紧致性、对称性。 3. 重要的拓扑群实例： 李群： 具有光滑结构的拓扑群，以及其在几何和物理中的地位。 加法群与乘法群： 实数加法群 $ (mathbb{R}, +) $，非零实数乘法群 $ (mathbb{R}^, cdot) $，复数加法群 $ (mathbb{C}, +) $，非零复数乘法群 $ (mathbb{C}^, cdot) $。 酉群 $ U(n) $： 在量子力学和表示论中的核心作用。 正交群 $ O(n) $ 与特殊正交群 $ SO(n) $： 描述旋转与反射的对称性。 庞加莱群： 时空对称性的重要例子。 4. 拓扑群的代数结构与分析工具： 卷积： 在群上定义的运算，及其与积分的联系。 Haar测度： 在可数紧致群上的唯一不变测度，是积分理论的基础。 表示论入门： 拓扑群的表示，酉表示，不可约表示。 第二部分：哈密顿动力学的数学框架 1. 相空间与辛几何： 辛流形： 具有辛形式的流形，是经典力学相空间的数学模型。 泊松括号： 辛流形上的一个重要二元运算，与哈密顿方程密切相关。 辛变换： 保持辛结构（以及泊松括号）的流形同胚。 2. 哈密顿向量场与流： 哈密顿函数： 定义相空间中动力学演化的函数。 哈密顿向量场： 由哈密顿函数诱导的相空间中的一个矢量场。 哈密顿流： 哈密顿向量场生成的相空间上的一个单参数群的变换。 3. 辛积分与守恒量： 守恒律： 由诺特定理引出的物理学中的基本概念。 辛积分： 在哈密顿流作用下保持不变的量，与守恒量之间的关系。 李导数： 描述一个函数或张量在矢量场作用下如何变化。 4. 正则变换与李群的作用： 正则变换： 作用于相空间，保持泊松括号结构的一类变换。 辛流形上的群作用： 当群的元素作用于相空间时，如何与哈密顿动力学相互作用。 李群与哈密顿动力学的联系： 将连续的辛变换视为李群的作用。 第三部分：拓扑群在哈密顿动力学中的应用 1. 对称性与守恒量： 诺特定理的群论表述： 利用李群的对称性来寻找守恒量。 李代数与生成元： 群的作用与其李代数之间的关系，以及李代数元素作为守恒量的生成元。 例子： $SO(3)$ 对刚体转动的对称性，能量守恒，动量守恒。 2. 庞加莱群与相对论力学： 时空变换： 洛伦兹变换与时空平移构成的庞加莱群。 庞加莱不变性： 物理定律在庞加莱变换下的不变性。 相对论中的守恒量： 能量-动量张量。 3. 李群与可积系统： 可积系统： 具有足够多守恒量的哈密顿系统，其动力学可以被精确求解。 李群的结构在可积系统中的体现： 例如，杨-巴克斯特方程与李群的联系。 量子可积系统： 量子群在量子可积系统中的角色。 4. 拓扑群与相空间结构： 哈密顿流的拓扑性质： 周期性运动、混沌运动与拓扑群的性质。 能量曲面上的动力学： 在固定能量的流形上，拓扑群的作用如何影响轨迹。 相空间的李群作用与几何结构： 探讨更一般的相空间结构，以及群在其中扮演的角色。 本书适合具有一定数学分析、抽象代数和经典力学基础的读者。通过对拓扑群理论及其与哈密顿动力学的深入结合，读者将能够更深刻地理解物理系统的对称性、守恒律以及其内在的数学结构。

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这本书的写作风格带有明显的学院派气质，语言非常正式和精确，每一个术语的使用都力求在数学意义上无懈可击。这种风格的优点是毋庸置疑的——它保证了内容的准确性，避免了因语言模糊而产生的歧义。但缺点也相对明显，那就是在阅读过程中，情感的代入感几乎为零，它更像是一份冰冷的、纯粹的知识传输介质。我发现在一些过渡性的段落，比如从一个主要章节过渡到下一个小节时，如果作者能加入一些更具启发性的叙述，或者稍微“人性化”一些的评论，或许能让读者在长时间的深度阅读中得到片刻的喘息。总的来说，这本书非常适合作为研究生的核心参考书或高年级本科生的进阶读物，但如果目标读者是需要快速掌握基本应用技巧的工程师，可能需要先对这种严谨的学术语言做一些心理准备。

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我花费了数月的时间来研习这本书中的部分章节，最大的收获在于它彻底改变了我对“结构”这一概念的理解。书中对特定空间结构下的收敛性证明，那种对微小扰动和无限过程的精细控制，展现了一种近乎艺术般的美感。尤其是在讨论无限维空间中的极限定理时，作者的论证过程如同在薄冰上行走，每一步都小心翼翼，但最终总能安全抵达彼岸。这本书的价值，并不在于它能直接帮你解决一个具体的工程问题（尽管它具备这个潜力），而在于它重塑了你对数学分析的内在直觉和逻辑框架。它强迫你慢下来，去欣赏那些在看似喧嚣的数学大厦之下，那些坚实而优雅的基石是如何被精心放置和连接起来的。这是一部需要被反复阅读和消化的经典，而不是一本可以快速翻阅的速成指南。

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坦白说，这本书的阅读体验像是一次漫长而艰苦的攀登，它对读者的数学基础有着相当高的要求，特别是线性代数和泛函分析的知识储备，如果不够扎实，很容易在初期的章节就感到力不从心。我个人在阅读过程中，不得不频繁地翻阅参考书目中的经典教材来回顾基础概念，这无疑减慢了阅读的进度。然而，一旦你成功跨越了那些初始的知识门槛，你会发现作者构建的理论体系是何等的精妙和自洽。书中的论证逻辑极其严密，几乎找不到可以被质疑的逻辑漏洞，每一个定理的推导都像是精密钟表的齿轮咬合，环环相扣，不留余地。它不是一本“友好型”的教材，更像是一份详尽的、经过时间检验的“操作手册”，适合那些已经有了相当研究背景，希望在特定数学领域进行深入探索的学者。对于纯粹的初学者而言，或许需要配合更基础的导论性材料一同使用，才能真正领略其深邃之处。

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这本书的封面设计简直是一场视觉盛宴，深邃的蓝色调配上优雅的几何图形，让人一眼就能感受到它蕴含的学术深度与严谨性。内页的排版也做得非常考究，字体大小适中，间距留白恰到好处，即便是初次接触这个领域的读者，也能在阅读过程中保持相对舒适的状态。我尤其欣赏作者在概念引入部分所下的功夫，那种层层递进、由浅入深的叙述方式，仿佛一位经验丰富的导师在耳边细细讲解，将那些抽象的数学结构逐渐具象化。书中大量的图表和插图，并非是简单的装饰，而是真正起到了辅助理解的关键作用，它们精准地描绘了空间拓扑关系和优化路径的演变，使得那些复杂的证明过程不再是孤立的符号堆砌，而是有迹可循的逻辑链条。特别是关于边界条件处理的章节，作者引用了几个经典的物理模型案例，这种理论与实际应用的紧密结合，极大地提升了本书的实用价值，让人在学习理论的同时，也能感受到它在解决真实世界问题时的强大潜力。

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这本书的深度和广度令人印象深刻，它不仅仅停留在对现有理论的梳理和总结上，更在某些前沿方向展现出了作者独到的见解和未被充分探索的领域。我特别留意了关于非光滑优化和概率度量理论交叉的部分，那里的论述展现了作者跨学科研究的深厚功力。不同于市面上很多流行的、追求快速“应用”的数学书籍，它沉下心来探讨的是“为什么”和“如何构建”这些方法论的根基。作者在引用文献时也极其审慎，既包含了奠基性的经典文献，也穿插了近年来该领域内重要的突破性工作，这使得本书不仅具有历史价值，也具备了对当前研究趋势的指导意义。读完它，感觉自己的数学“工具箱”得到了极大的扩充，不仅学会了如何使用已有的工具，更明白了这些工具的设计原理和局限性所在，为未来的研究指明了方向。

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