Elementary Number Theory in Nine Chapters pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Tattersall, James J.

出品人:

页数:444

译者:

出版时间:2005-6

价格:$ 57.63

装帧:

isbn号码:9780521615242

丛书系列:

图书标签:

• number theory
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《数论九章》：一本引领探索数字世界奥秘的启蒙之作 在浩瀚的数学星空中，数论以其独有的简洁与深刻，吸引着无数智者探寻。它研究的是整数的性质，那些我们日常生活中再熟悉不过的数字，却隐藏着令人惊叹的模式、规律与联系。从古老的勾股定理到现代的密码学，数论的触角无处不在，深刻地影响着我们对世界的理解，乃至科技的进步。《数论九章》正是这样一部力图将数论这门古老而迷人的学科，以清晰、系统且富有启发性的方式呈现给读者的作品。它并非一本枯燥的理论堆砌，而是一场循序渐进的智识冒险，旨在带领读者踏上探索数字世界奥秘的旅程。 本书的构思，源于对数论教育和普及的深切关怀。许多初学者在接触数论时，常常被其抽象的概念和严谨的证明所困扰，难以窥见其内在的美感和强大的应用价值。因此，《数论九章》力求打破这一壁垒，采用了一种“由浅入深，循序渐进”的编写策略，将数论的核心概念和重要定理，分解为九个逻辑清晰、内容递进的章节。每一章都聚焦于数论中的一个关键主题，并围绕该主题展开深入的探讨，确保读者能够逐步建立起扎实的数论基础。 第一章：整除性与同余——数论的基石 故事的开篇，我们将从最基本也最重要的概念——整除性——开始。在这一章中，读者将学习如何理解一个整数能否被另一个整数整除，以及与之相关的整除符号、约数、倍数等基本术语。我们将探讨欧几里得算法，这是解决最大公约数问题的经典而高效的方法，并深入理解其背后的原理。接着，我们将引入“同余”这一核心概念。同余关系，如同对数字进行“分类”的工具，它揭示了数字在除以某个固定数后余数相同的性质。我们将详细阐述同余的定义、性质，以及它在简化数学问题中的强大作用。从简单的加减乘除，到模运算的奇妙世界，这一章将为读者构建起数论分析的初步框架。 第二章：素数——数字世界的原子 在整除性的基础上，我们自然而然地会遇到“素数”——那些只能被1和自身整除的特殊整数。素数，被誉为“数字世界的原子”，是构成所有整数的基石。本章将深入探讨素数的定义、性质，以及它们在数论中的重要地位。我们将回顾欧几里得证明素数无穷多的经典论证，领略数学证明的逻辑之美。此外，我们还将介绍一些著名的素数定理，如素数定理的初步思想，以及关于素数分布的猜想，激发读者对数论前沿问题的思考。通过对素数的深入研究，读者将体会到数学世界的无限可能性。 第三章：同余方程——解开数字的谜题 同余关系的应用，最终会导向对“同余方程”的研究。本章将把同余的概念进一步深化，聚焦于求解形如 $ax equiv b pmod{m}$ 的线性同余方程。我们将学习如何判断一个同余方程是否有解，以及如何找到所有可能的解。在此过程中，中国剩余定理——一个能将多个同余方程组联立求解的强大工具——将成为我们研究的重点。中国剩余定理不仅在理论上意义重大，在实际应用中也扮演着关键角色。通过求解同余方程，读者将掌握一种强大的分析和解决整数问题的手段。 第四章：平方剩余与二次互反律——探索平方数的奥秘 本章将视角转向平方数，探索“平方剩余”这一概念。我们将研究一个整数是否是某个数的平方在模p下的剩余。这是一个更加精细的研究方向，揭示了整数的平方性质与模运算之间的深层联系。我们将引入勒让德符号，作为判断平方剩余的有力工具。在此基础上，我们将隆重介绍数论中的一颗璀璨明珠——二次互反律。二次互反律以一种优雅而深刻的方式，揭示了不同素数模下的平方剩余之间的关系，是数论中最为重要的定理之一。理解二次互反律，将为读者打开一扇探索数论更深层次结构的大门。 第五章：欧拉函数与原根——指数运算的规律 在对模运算的探索中，欧拉函数 $phi(n)$——代表小于或等于n且与n互质的正整数的个数——扮演着至关重要的角色。本章将详细阐述欧拉函数的定义、计算方法，以及它在数论中的诸多重要性质。欧拉定理，作为费马小定理的推广，将在这一章得到充分的展示，它揭示了在模运算下指数运算的规律。更进一步，我们将引入“原根”的概念。原根是数论中的一个重要工具，它能将模n下的乘法群“生成”出来，为理解模n下的指数结构提供了关键视角。 第六章：费马大定理——一个世纪的谜题与现代数论的萌芽 本章将聚焦于数学史上最著名的猜想之一——费马大定理。尽管它提出的形式异常简单，即当整数n > 2时，方程 $x^n + y^n = z^n$ 没有正整数解，但其证明却耗费了数学家们数个世纪的努力，最终由安德鲁·怀尔斯完成。本书将简要介绍费马大定理的提出背景，探讨一些简单情况下的证明思路，并着重阐述这一猜想的提出如何催生了数论中许多深刻而重要的理论，例如代数数论的兴起。通过对费马大定理的探讨，读者将领略到数学研究的长期性、艰巨性以及其对整个学科发展的巨大推动作用。 第七章：丢番图方程——代数与数论的交织 丢番图方程，是指变量取值为整数的方程。本章将深入研究一类具有深远影响的方程——丢番图方程。我们将从最简单的线性丢番图方程开始，学习其求解方法。接着，我们将探讨一些著名的非线性丢番图方程，例如佩尔方程，并展示其在数论中的重要性。通过研究丢番图方程，读者将看到代数方程与数论原理是如何巧妙地结合在一起，共同揭示数字世界的内在规律。 第八章：数论在密码学中的应用——保护信息的数字屏障 本书的最后两章，将把目光投向数论的实际应用，尤其是在日新月异的密码学领域。第八章将深入探讨数论原理如何成为现代密码系统的基石。我们将介绍公钥密码体制的基本思想，例如RSA算法，并阐释其背后的数论原理，包括素数分解的困难性以及欧拉函数的应用。读者将了解到，正是数论的深刻洞见，使得我们能够构建安全可靠的信息传输和存储系统，保护我们的数字生活。 第九章：进阶主题与展望——探索未知的数字疆域 在最后的第九章，我们将对数论的一些进阶主题进行简要介绍，并展望数论未来的发展方向。我们将触及代数数论、解析数论等更高级的领域，并介绍一些当前数论研究的前沿课题，例如黎曼猜想。本章旨在为那些对数论产生浓厚兴趣的读者提供一个进一步学习的指引，激发他们继续探索数学深邃奥秘的热情。 《数论九章》不仅仅是一本教材，它更是一扇窗户，一扇通往数学世界奇妙角落的窗户。书中每一个概念的引入，都力求清晰易懂；每一个定理的证明，都追求逻辑严谨而又不失启发性。丰富的例题和练习题，将帮助读者巩固所学知识，并能亲身实践数论的分析方法。本书希望能够激发读者对数论的兴趣，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力，最终让他们在探索数字世界的旅程中，收获知识的喜悦和智慧的启迪。无论您是数学专业的学生，还是对数字世界充满好奇的业余爱好者，《数论九章》都将是您开启数论探索之旅的理想起点。

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