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出版者:A K Peters/CRC Press

作者:Garrett Birkhoff

出品人:

页数:512

译者:

出版时间:1998-2-8

价格:USD 76.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781568814544

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《现代代数导论》 作者：[此处留空，或填写一位虚构的知名代数学家] 出版社：[此处留空，或填写一家知名的学术出版社] 核心主题：抽象代数的基石与应用 本书《现代代数导论》旨在为初学者和有志于深入研究代数领域的读者提供一套严谨、系统且富有启发性的学习路径。它并非对某一特定主题的详尽探讨，而是一部旨在构建坚实抽象代数基础的教科书。全书结构清晰，从最基本的集合论和逻辑预备知识出发，逐步深入到群论、环论和域论的核心概念，并辅以丰富的例子和恰当的习题，确保读者能够真正掌握抽象思维的精髓。 第一部分：代数结构的基础 本书的开篇部分着重于建立必要的预备知识和对抽象结构的基本理解。我们首先回顾了集合论中的基本概念，如映射（函数）、等价关系和划分，这些是构建所有代数结构的基础语言。 1. 基础与逻辑： 这一章详细阐述了数学证明的方法，包括直接证明、反证法、数学归纳法和构造性证明。理解如何严谨地构建一个数学论证，是学习抽象代数的首要任务。 2. 整数的代数结构： 在进入高度抽象的领域之前，我们利用熟悉的整数集 $mathbb{Z}$ 来引入更一般的结构特征。重点讨论了整除性、最大公约数（GCD）的欧几里得算法，以及模运算（同余关系）。同余关系自然地引出了同余类，为后续的商群和商环的构造埋下伏笔。我们详细分析了 $mathbb{Z}$ 作为环的性质，特别是它的唯一因子分解整环（UFD）的特性，但不深入探究一般UFD的结构。 第二部分：群论的核心——对称与变换 群论是现代代数的核心基石，本书用大量的篇幅来系统地介绍群的定义、性质及其重要实例。我们强调群不仅仅是一个代数结构，更是描述对称性和变换的强大工具。 3. 群的定义与基本性质： 严格定义了群的四个公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）。通过例子，如加法群、乘法群以及矩阵群，来具体化抽象的定义。本章还讨论了子群的概念，以及如何通过检验子集满足群公理来确认其子群地位。 4. 循环群与有限群： 循环群是理解群结构最直接的切入点。我们详细分析了循环群的生成元、阶（Order）的概念，并证明了阶与生成元的关系。随后，我们将焦点转向有限群，介绍了拉格朗日定理——一个关于群阶和子群阶之间关系的基石性定理。拉格朗日定理的推论，例如费马小定理（在群论的框架下）和欧拉定理，得到了充分的讨论和证明。 5. 同态与同构： 这一节是连接不同群结构的关键。我们引入群同态的定义，并强调其保持运算结构的特性。同构的概念被引入来描述结构上完全相同的群。核（Kernel）和像（Image）的性质被深入探讨，特别是核作为正规子群的地位，为下一章的商群做好了充分准备。 6. 正规子群与商群： 正规子群的引入是群论中一个技术上重要的飞跃。我们定义了左陪集与右陪集的相等性判据，并证明了正规子群的等价定义。基于正规子群，我们构造了商群（或因子群），展示了如何在一个群中“模去”一个子群来获得一个新的群结构。第一同构定理（同态定理）被清晰地阐述和证明，它揭示了同态、商群和像之间的深刻联系。 7. 深入探索：置换群与对称性： 置换群，特别是对称群 $S_n$，是理解非阿贝尔群的绝佳模型。本章详细介绍了置换的表示法（循环分解），以及偶置换和奇置换的概念，引出交错群 $A_n$。我们还探讨了共轭类，并展示了在 $S_n$ 中，循环结构决定了共轭关系。 8. 分类与结构定理： 对于有限阿贝尔群，我们引入了由基本因子组构成的分类定理，展示了任何有限阿贝尔群都可以分解为其阶为素数幂的循环群的直积。虽然不对更一般（非阿贝尔）群的分类做深入探讨，但本章为读者提供了理解复杂代数对象如何简化为基本组件的视角。 第三部分：环与域——代数运算的扩展 在掌握了群论的精髓后，本书将视角转向了包含两种运算（加法和乘法）的结构——环。 9. 环的定义与基本例子： 环的定义和加法群的性质被引入。重点讨论了交换环、单位环以及零因子。我们考察了整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $R[x]$ 以及矩阵环 $M_n(R)$ 的结构，对比了它们在乘法上的差异，特别是零因子的存在性。 10. 子环、理想与商环： 理想（Ideals）被定义为环中的特殊子集，它们在加法上是子群，并且在乘法上具有吸收性（吸收所有环元素）。理想是构造商环（Factor Ring）的关键。我们证明了商环 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ 的结构，并再次展示了第二同构定理的环论版本。 11. 整环与域： 域（Field）被定义为特殊的交换环，其中所有非零元素都有乘法逆元。我们探讨了整环（Integral Domains），即没有非零零因子的交换环。素理想（Prime Ideals）与极大理想（Maximal Ideals）的性质被详细区分，并证明了在交换环中，商环 $R/I$ 是一个域当且仅当 $I$ 是一个极大理想。 12. 主理想域与欧几里得整环： 我们进入了更精细的结构分类。主理想域（PID）被定义为所有理想都是主理想的整环。我们证明了 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$（其中 $F$ 是域）是 PID 的例子。随后，引入欧几里得整环（Euclidean Domains）的概念，并通过定义范函数（或称度量函数）来展示如何构造欧几里得算法，从而证明所有欧几里得整环都是 PID。 13. 域的扩张与多项式环： 这一部分将代数结构应用到解方程的问题上。我们考察了多项式环 $F[x]$ 的性质，特别是其与域的密切关系。域扩张的基本概念被介绍，为后续伽罗瓦理论奠定基础（虽然本书不会深入到伽罗瓦理论的全部细节，但会展示域扩张如何帮助我们理解方程的可解性）。例如，如何构造 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 这样的二次扩张。 总结与展望 本书《现代代数导论》旨在以一种结构化的方式引导读者掌握抽象代数的三大支柱：群、环和域。我们侧重于证明的严谨性和核心概念的清晰阐述，确保读者不仅记住定义，更能理解这些结构在数学中所扮演的角色。本书不包含关于伽罗瓦理论的完整论述，也不涉及更高级的主题如模论、表示论或非交换代数的高级应用。它是一块坚实的基石，为未来在代数、数论、拓扑学或密码学等领域进行更深入研究做好准备。每章后的习题设计旨在巩固基础概念和提高独立解决问题的能力。

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阅读这本书的过程，与其说是在学习知识，不如说是在进行一场思想的对话。作者的语言风格非常吸引人，他似乎知道我可能会在哪里遇到困惑，并在关键时刻给予提示。这种“预判性”的讲解，让我在学习过程中很少感到沮丧。他对数学历史的穿插叙述也十分有意义，比如提到伽罗瓦的生平和他的理论对后世的影响，让我感受到了数学发展的脉络和先辈们的智慧。书中对于抽象代数概念的几何直观解释，也极大地帮助了我理解那些抽象的定义。例如，在讲解群的生成元和关系时，书中会通过一些图示来辅助说明，这使得我能够更轻松地想象出群的结构。我尤其欣赏作者在讲解某些定理时，会给出不同证明方法的对比，这让我看到了数学的多元性和灵活性。比如，对于群同构基本定理的证明，书中提供了几种不同的途径，让我能够从不同的角度去理解它的核心思想。书中的引用和参考文献也非常丰富，为我提供了进一步深入学习的路径。当我被某个概念深深吸引时，我能够很方便地查阅相关的资料，拓展我的知识面。虽然这是一本比较“硬核”的书，但我从未感到枯燥乏味。作者通过精心设计的例子和问题，不断激发我的学习兴趣，让我渴望去探索更多未知的领域。我已经将这本书加入我的常备书架，并打算在未来反复阅读，每次都会有新的体会和发现。它不仅仅是一本学习材料，更是一份精神食粮，滋养着我对数学的热爱。

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这本书的叙述方式有一种独特的魅力，它不是简单地陈述事实，而是引导读者去思考，去发现。作者在引入新概念时，往往会先提出一个问题，或者描述一个数学现象，然后通过引入新的工具和概念来解决这些问题。这种“问题驱动”的学习方式，让我对学习内容产生了浓厚的兴趣。例如，在讲解陪集和拉格朗定理时，作者首先探讨了如何对群的元素进行分类，然后通过引入陪集的概念，巧妙地揭示了有限群阶与子群阶之间的关系。书中关于有限域的构造和性质的讨论，也让我看到了代数工具在密码学和信息论中的强大应用。我特别喜欢书中关于伽罗瓦理论与多项式根式可解性的联系的讲解，它将抽象的群论概念与经典的几何作图问题联系起来，揭示了数学思想的统一性。我曾经对抽象代数的抽象性感到有些望而却步，但这本书的讲解方式，让我逐渐克服了这种心理障碍，并开始欣赏其中的逻辑之美。作者在书中穿插的一些数学家的故事，也让我感受到了数学的生命力和创造力。这本书的语言风格非常流畅，即使是复杂的概念，也能被清晰地表达出来。我已经将这本书推荐给了许多朋友，他们也都对这本书赞不绝口。它不仅仅是一本学习现代代数的书，更是一本关于数学思想的启蒙读物。

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这本书的内容实在是太丰富了，简直让人应接不暇。我花了整整一个周末沉浸其中，感觉脑子里被各种抽象概念和精巧的证明填满了。从群论的基础，到环和域的深入探讨，再到伽罗瓦理论的精髓，作者娓娓道来，将原本枯燥的数学知识变得生动有趣。尤其让我印象深刻的是，书中对于每个概念的引入都非常自然，仿佛它们是数学世界中不可或缺的一部分，而不是凭空出现的。作者善于运用各种例子来阐释抽象的定理，这些例子往往来自于不同的数学分支，甚至是物理学和计算机科学领域，这极大地拓展了我的视野，让我看到了抽象代数在现实世界中的广泛应用。我特别喜欢书中对某些著名数学难题的解答过程的介绍，比如费马大定理的某些特定情况，通过代数的方法得以解决，这让我深刻体会到数学的魅力和力量。当然，这本书的难度也不容小觑，有些章节需要反复研读，才能真正理解其中的奥秘。但正是这种挑战性，让我觉得每一次的突破都充满了成就感。我曾尝试过其他一些代数书籍，但很少有能像这本书一样，既有深度又有广度，同时还能保持如此高的可读性。无论你是初学者还是有一定基础的学习者，这本书都能给你带来巨大的收获。它不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的良师益友，引领你在现代代数的奇妙世界里探索前行。我个人最看重的是作者对数学思想的阐述，他不仅仅是在罗列公式和定理，更是在传递一种数学哲学，一种看待问题和解决问题的独特视角。这种思考方式的培养，对我来说比任何具体的知识点都更加宝贵。

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这本书的内容深度和广度都达到了一个令人惊叹的水平。作者对于每个分支的把握都非常到位，从群论的分类，到环论的结构，再到域论的扩张，每一个部分都经过了精心组织和编排。我特别欣赏书中对于某些抽象概念的几何化解释，例如，将群的运算映射到几何变换，或者将环的性质与几何对象的结构联系起来，这极大地增强了我的直观感受。在学习有限群的结构时，作者详细介绍了非阿贝尔单群的分类，虽然这是现代代数中最复杂和最深刻的结果之一，但作者的讲解让我对这个庞大的体系有了一个初步的认识。书中关于代数数论的引入，也让我看到了抽象代数与数论之间的紧密联系，比如，关于整环的理想理论在数域中的应用，以及关于代数整数的概念。我尤其喜欢书中关于库默尔的理想理论的介绍，以及它如何克服了费马大定理在某些情况下的障碍，这让我深刻体会到数学理论的演进和创新。这本书的难度是递进的，从最基本的概念到最前沿的理论，层层深入，挑战性十足。然而，作者的引导方式非常有效，让我能够克服困难，不断前进。我已经把这本书当作一本参考书，在遇到任何与现代代数相关的问题时，我都会首先翻阅它，并总能从中获得启发。它不仅仅是一本教材，更是一个知识宝库，值得反复挖掘。

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这本书的每一个章节都经过了精心的设计，内容紧密相连，形成了一个逻辑严谨的整体。作者在阐述每个概念时，都力求做到清晰、准确、易于理解，并给出了一系列经典的例子。我特别欣赏书中对群论中的同态和同构定理的详细讲解，这些定理是理解群结构的关键，作者通过一系列的例子，让我对这些抽象的映射关系有了深入的认识。书中关于环论中的理想的性质，以及商环的构造，也为理解更复杂的代数结构奠定了基础。我曾经尝试过阅读其他一些代数书籍，但很少有能像这本书一样，将如此多的内容组织得如此有序和连贯。作者在介绍某些抽象概念时，会巧妙地运用一些形象的比喻，这极大地帮助了我理解那些难以捉摸的抽象概念。例如，在讲解群的生成元和关系时，作者将其比作“搭积木”，通过最少的元素和规则来构建整个结构，这让我对群的生成性和结构有了更直观的认识。书中关于线性代数与抽象代数之间的联系的讨论，也让我看到了不同数学分支之间的相互作用和影响。这本书的习题设计也非常有层次感，从基础的练习到高级的挑战，能够有效地巩固和提升读者的理解能力。我曾经花了很多时间来解决书中的一些难题，但每一次的成功都让我充满成就感。这本书已经成为我学习现代代数不可或缺的参考书，它是我学术生涯中的一份宝贵财富。

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这本书的结构安排堪称典范，从最基础的群的定义和性质开始，逐步深入到更复杂的结构，比如交换群、循环群、正规子群、商群等等。作者在介绍每个概念时，都会给出清晰的定义、详实的例子以及重要的性质。特别是关于群的同态和同构，作者用了很多篇幅来讲解，并给出了一系列引人入胜的例子，让我对这些抽象的映射关系有了直观的理解。我特别喜欢书中关于置换群的讨论，它不仅是理解群论的绝佳切入点，而且在组合数学和密码学等领域有着重要的应用。作者对有限群的分类，尤其是西罗定理的证明，讲解得非常透彻，虽然过程有些复杂，但作者一步一步地引导，让人能够跟得上思路。环论部分也是亮点，从整环到域，再到理想和商环，作者都做了细致的讲解。我尤其对多项式环和唯一分解整环（UFD）以及主理想整环（PID）的性质印象深刻，这些概念为理解数域的扩张和伽罗瓦理论奠定了基础。书中关于域扩张的部分，作者巧妙地运用了代数方法，解释了如何构造新的域，以及域扩张的次数和中间域。当读到伽罗瓦理论时，我感觉自己仿佛站在了数学思想的金字塔尖，那些看似遥不可及的抽象概念，在作者的笔下变得清晰可见。书中的习题设计也相当精妙，既有巩固基础的练习，也有挑战思维的难题，能够有效地检验学习效果。我曾遇到过一些难题，但通过仔细阅读书中相关的例题和讲解，最终都能找到解决的思路。这本书的数学严谨性毋庸置疑，但同时又不失灵动性，让我能够真正体会到数学的逻辑之美和创造之美。

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这本书的知识体系非常完整，几乎涵盖了现代代数的所有重要分支。作者在介绍每个概念时，都力求做到全面和深入，并给出了一系列经典的例子和应用。我特别欣赏书中关于抽象代数在密码学和编码理论中的应用介绍，它让我看到了抽象数学的强大实用性。例如，有限域的构造和性质在现代密码学中扮演着至关重要的角色，而本书对这一内容的详细讲解，为我提供了深入了解相关领域的基础。书中关于群论在对称性分析中的应用，以及在物理学中的作用，也让我看到了抽象代数与自然科学的紧密联系。我曾经对抽象代数感到有些畏惧，因为它抽象且难以理解，但这本书的讲解方式，让我逐渐克服了这种心理障碍，并开始欣赏其中的逻辑之美。作者在书中穿插的一些数学家的故事，也让我感受到了数学发展的历史和人类智慧的结晶。这本书的语言风格非常严谨，但又不失生动活泼，即使是复杂的概念，也能被清晰地表达出来。我曾经将这本书推荐给了许多学习数学的同学，他们也都对这本书赞不绝口。它不仅仅是一本学习现代代数的书，更是一本关于数学思想的启蒙读物，能够激发读者对数学的兴趣和热爱。

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这本书给我最大的感受是，它不仅仅教授了“是什么”，更重要的是解释了“为什么”。作者在阐述每个概念时，都会追溯其发展的历史和背景，以及它在整个数学体系中的地位和作用。这种“知其所以然”的学习方式，让我对现代代数有了更深刻的理解，而不是仅仅停留在死记硬背的层面。比如，在介绍李代数时，作者并没有直接给出定义，而是先从微分方程和李群的联系开始，逐步引出李代数的概念，让我能够理解这个抽象结构产生的动因。书中对于模理论的讲解也非常精彩，虽然这是代数中一个相对复杂的领域，但作者用清晰的语言和巧妙的例子，将模的概念及其性质一一呈现。特别是关于阿廷模和诺特模的讨论，为理解某些代数几何问题提供了重要的工具。我曾遇到过一个关于域扩张的难题，书中关于代数扩张和超越扩张的讨论，以及它们的性质，为我解决这个问题提供了关键的思路。作者对抽象代数在密码学和编码理论中的应用介绍，也让我眼前一亮，它展示了数学的实用性和前沿性。这本书的语言风格非常严谨，但又不失人文关怀，作者在一些关键的地方会流露出对数学的热情和对读者的鼓励。我曾经对某些抽象代数概念感到难以理解，但通过阅读这本书，我的认知得到了极大的拓展，仿佛打开了一扇新的窗户。

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这本书的每一个章节都经过了精心的设计，紧密联系，形成了一个有机的整体。作者在阐述每个概念时，都力求做到清晰、准确、易于理解。我特别欣赏书中对群论中的同态和同构定理的详细讲解，这些定理是理解群结构的关键，作者通过一系列的例子，让我对这些抽象的映射关系有了深入的认识。书中关于环论中的理想的性质，以及商环的构造，也为理解更复杂的代数结构奠定了基础。我曾经尝试过阅读其他一些代数书籍，但很少有能像这本书一样，将如此多的内容组织得如此有序和连贯。作者在介绍某些抽象概念时，会巧妙地运用一些形象的比喻，这极大地帮助了我理解那些难以捉摸的抽象概念。例如，在讲解群的生成元和关系时，作者将其比作“搭积木”，通过最少的元素和规则来构建整个结构，这让我对群的生成性和结构有了更直观的认识。书中关于线性代数与抽象代数之间的联系的讨论，也让我看到了不同数学分支之间的相互作用和影响。这本书的习题设计也非常有层次感，从基础的练习到高级的挑战，能够有效地巩固和提升读者的理解能力。我曾经花了很多时间来解决书中的一些难题，但每一次的成功都让我充满成就感。这本书已经成为我学习现代代数不可或缺的参考书。

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这本书的知识结构设计堪称完美，从基础的概念到前沿的理论，层层递进，环环相扣。作者在引入每一个新的概念时，都能够清晰地解释其产生的背景、定义及其基本性质，并且会给出大量的例证来帮助读者理解。我特别喜欢书中对于群论中西罗定理的详细讲解，这个定理是有限群理论中的一个重要基石，作者通过一步步的推理和证明，将这个复杂的定理阐释得淋漓尽致。此外，书中关于环论中唯一分解整环（UFD）和主理想整环（PID）的讨论，以及它们之间的关系，也为理解更抽象的代数结构提供了坚实的基础。我曾经对抽象代数中的某些概念感到难以理解，比如域扩张的次数和最小多项式，但通过阅读这本书，我找到了解决这些问题的关键思路。作者在讲解过程中，还会穿插一些数学史的片段，介绍相关概念的发现过程和发展历程，这极大地激发了我对数学的兴趣和对数学家们的敬意。本书的习题设计也十分精良，既有巩固基础的练习题，也有挑战思维的难题，能够有效地检验学习成果，并引导读者进行更深入的思考。这本书已经成为我学习现代代数的重要参考资料，它不仅为我提供了丰富的知识，更重要的是，它培养了我严谨的数学思维和解决问题的能力，是我在学术道路上前进的重要动力。

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