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经济学中的数学原理：构建严谨分析的基石 图书简介 本书旨在为经济学领域的学习者、研究人员和实践者提供一套全面、深入且实用的数学工具箱。我们深知，现代经济学分析已不再是纯粹的文字叙事，而是建立在严谨的数学模型和逻辑推导之上。因此，本书的核心目标是弥合抽象数学概念与具体经济学应用之间的鸿沟，确保读者不仅掌握了必要的数学技能，更能理解这些技能在解决现实经济问题中的核心作用。 本书的结构设计充分考虑了经济学专业读者的知识背景和学习需求。它从基础概念入手，逐步过渡到高级建模技术，确保即便是初次接触高等数学的经济学学生也能顺利跟进。我们避免了纯数学教科书中常见的过度抽象和不必要的理论深掘，而是将所有数学工具的选择和阐述，都紧密地锚定在经济学分析的实际需求之上。 第一部分：微积分与优化——经济决策的核心语言 经济学的本质在于稀缺资源下的最优选择，而微积分正是描述变化、极限和优化的最有力工具。 1. 基础回顾与经济学语境重构： 本部分首先对实数系统、函数、极限和连续性进行必要的复习，但侧重点在于引入边际（Marginal）这一核心经济学概念。我们详细阐述了导数在经济学中的直观意义：边际成本、边际收益、边际替代率等。通过对大量经济学例题的解析，读者将迅速理解导数的几何意义与经济意义的统一性。 2. 单变量优化： 这是微观经济学的基础。我们深入探讨了一阶条件（FOC）和二阶条件（SOC）在判断函数最大值和最小值时的严格要求。例如，如何运用二阶条件确保一个利润最大化问题确实导向一个局部最大值，而非最小值。本章包含了对消费者效用最大化和生产者成本最小化问题的详尽数学建模。 3. 多变量微积分与偏导数： 现代经济模型很少是单变量的。本章重点引入偏导数和全微分。我们详细解释了偏导数在保持其他变量不变时的“纯粹”边际效应，并用全微分来描述多个因素共同作用下的总变化。效用函数、生产函数（如Cobb-Douglas函数）中的偏导数应用被作为核心案例贯穿始终。 4. 隐函数定理与反函数定理的经济学解读： 这些定理看似抽象，却是理解模型中变量之间相互依赖关系的关键。我们用市场均衡模型来解释隐函数定理的应用——如何在不明确解出均衡价格的情况下，分析外部冲击（如技术进步）对均衡价格和数量的影响。 5. 约束优化：拉格朗日乘数法与库恩-塔克条件： 这是高级微观经济学和福利经济学的基石。拉格朗日函数不仅是求解带等式约束问题的工具，其拉格朗日乘子（Lagrange Multiplier）的经济学解释——即“影子价格”（Shadow Price）——被赋予了深刻的分析价值。本书对此进行了详尽的图示和案例分析，包括预算约束下的效用最大化和要素投入的最优组合。对于涉及不等式约束（如非负约束）的问题，库恩-塔克（KKT）条件被系统地介绍，并应用于资源配置问题。 第二部分：线性代数——系统分析的骨架 线性代数是分析多方程系统、矩阵运算和向量空间的基础，是宏观经济学、计量经济学以及一般均衡理论不可或缺的工具。 1. 矩阵代数与经济模型： 本书强调矩阵的“操作”而非仅仅是“符号”。我们涵盖了矩阵的加减乘除、转置、行列式计算以及逆矩阵的求解。特别地，我们展示了如何使用矩阵表示法简洁地重构具有$n$个方程和$n$个变量的线性方程组，例如投入产出模型或简单的线性一般均衡模型。 2. 行列式与线性方程组的解： 行列式在判断系统唯一解（非奇异性）中的作用被放在核心地位。我们详细分析了在经济模型中，行列式为零所代表的经济学含义——系统可能存在多重均衡或无均衡。克莱默法则（Cramer's Rule）的应用，尤其是在计算具有少量变量的模型的显式解时，得到了充分展示。 3. 向量空间与经济学直觉： 虽然抽象，但向量空间的概念对于理解经济变量的“状态”至关重要。我们引入了线性相关性和基的概念，用于分析经济数据集中是否存在冗余信息或是否存在一组独立的驱动因素。 4. 特征值与特征向量：动态系统分析的钥匙： 特征值和特征向量在分析经济系统的稳定性至关重要，尤其是在宏观经济学和金融学中处理动态调整过程时。我们将这些概念应用于分析动态模型（如索洛增长模型或简单的动态资产定价模型）的收敛性和长期行为，解释特征值的大小和符号如何决定了系统是趋于稳定（收敛）还是发散（爆炸）。 第三部分：动态优化与差分方程——时间维度下的经济学 经济学研究的许多问题涉及跨期决策，要求我们对未来进行折现和规划。 1. 一阶线性差分方程： 本书从最简单的动态系统开始，讲解如何求解具有常数或变量系数的差分方程。在经济学中，这直接对应于时间序列分析的离散化版本，例如分析税率变化对消费的逐步影响。我们特别关注齐次解和特解的结构。 2. 稳定性分析： 对于经济模型，我们最关心的是系统在时间推移下是否会达到一个稳定的状态（如稳态均衡）。我们使用差分方程的特征根来严格判断系统的稳定性，将数学结论直接翻译为经济学的“均衡是否可持续”。 3. 欧拉方程与动态规划简介（选讲）： 虽然连续时间动态优化通常涉及随机控制或庞特里亚金最大值原理，但本书将动态规划的思想通过离散时间的贝尔曼方程（Bellman Equation）引入。这为理解拉姆齐模型（Ramsey Model）中跨期优化者的决策过程奠定了基础，强调了“最优路径”的递推性质。 第四部分：多元优化与经济均衡的稳健性 本部分将前两部分的内容综合起来，应用于更复杂的均衡分析。 1. Hessian矩阵与多元函数的二阶条件： 对于具有多个输入变量的优化问题（如多产品企业的定价决策），Hessian矩阵是判断局部极值的关键。本书详细解释了正定、负定和不定矩阵的定义，以及它们如何对应于经济学中的“局部最大值”、“局部最小值”或“鞍点”。 2. 隐函数定理的再次应用——比较静态分析的严谨化： 我们回归隐函数定理，但这次应用于更复杂的、由多个方程定义的均衡系统（如瓦尔拉斯一般均衡）。通过计算雅可比矩阵（Jacobian Matrix），读者可以系统地、无歧义地分析外部参数变化如何影响系统中的所有内生变量。这使得比较静态分析从经验性的推测上升为严格的数学证明。 3. 范数与经济学中的距离和大小概念： 在计量经济学或金融市场中，我们经常需要衡量向量或矩阵的“大小”。本章介绍了L1、L2范数等概念，并解释了它们在经济学中如何被用作衡量误差大小或资产组合风险的度量。 总结与展望 本书不仅仅是一本数学参考书，更是一本经济分析方法论的指南。通过大量精选的、具有挑战性但又贴近现实的经济学案例，读者将培养出一种严谨的“数学化思维”——即在面对任何经济问题时，都能迅速识别其核心结构，选择最恰当的数学工具进行建模，并准确地解释数学结果所蕴含的经济学意义。掌握了这些工具，读者将能自信地阅读和构建前沿的经济学文献。

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我之前读过不少经济学相关的书籍，但往往在一些涉及到数理分析的部分就卡壳了，感觉像是隔着一层窗户纸，看得到但摸不透。这次入手《Mathematics for Economics》，纯粹是抱着试试看的心态，结果惊喜连连。这本书的语言风格非常朴实，没有过多华丽的辞藻，直奔主题，每一句话都显得掷地有声。尤其是在讲解一些核心概念的时候，作者往往会用非常通俗易懂的例子来阐述，比如在介绍拉格朗日乘数法时，不是直接丢出一堆公式，而是先从一个分配资源的场景讲起，让读者自然而然地理解为什么要引入这个方法，以及它在解决什么样的问题。而且，书中的习题设计也非常巧妙，难度适中，既能检验对基本概念的掌握程度，又能引导读者思考更深层次的应用。我特别注意到，一些习题后面还附带了详细的解题思路，这对于自学来说简直是福音，能够帮助我及时发现和纠正理解上的偏差。我发现，通过做这些习题，我不仅巩固了数学知识，更重要的是，我对经济学中的一些原理有了更深刻的理解，感觉像是解锁了新的视角。这本书让我觉得，数学和经济学之间的界限并没有那么清晰，它们是相互渗透、相互促进的，学会了其中的数学工具，就能更好地理解经济现象背后的逻辑。

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我最近在为我的研究项目做准备，需要用到一些更高级的数学工具来处理数据和构建模型，所以才找到了这本《Mathematics for Economics》。这本书的深度和广度都让我印象深刻。它不仅仅停留在基础数学的层面，而是深入探讨了许多在经济学前沿研究中常用的数学方法，比如博弈论中的纳什均衡、最优化理论中的KKT条件、以及一些基础的动力系统概念。我惊喜地发现，这本书对于这些相对复杂的概念，并没有回避，而是用一种清晰且富有启发性的方式进行讲解。它会提供相关的经济学背景，解释这些数学工具在实际研究中的意义和应用，这对于我这样的研究者来说，无疑是宝贵的财富。书中的证明过程也非常完整，而且逻辑清晰，让我能够理解每一个步骤的由来，而不是简单地接受结论。同时，它还提供了一些对未来可能出现的数学应用趋势的展望，这让我觉得这本书的内容具有一定的前瞻性。我感觉这本书不仅是一本教科书，更像是一本能够陪伴我进行学术探索的工具书，它为我提供了坚实的理论基础和丰富的应用思路，让我对未来的研究充满了信心。

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坦白说，我一直对数学在经济学中的应用感到有些畏惧，总觉得那些符号和公式像是一道道难以逾越的高墙。然而，《Mathematics for Economics》这本书却像一位温和的向导，引领我一点点跨越了障碍。它的语言风格非常严谨，但又充满了逻辑性和说服力，不会因为追求严谨而变得晦涩难懂。作者在引入每一个新的数学概念时，都会先将其置于一个具体的经济学背景下，解释清楚这个概念将要解决的经济学问题，然后再给出数学上的定义和推导。这种“问题导向”的学习方法，极大地激发了我的学习兴趣，让我觉得学习数学不再是为了应付考试，而是为了更好地理解经济世界的运行规律。书中的例题非常丰富，而且涵盖了经济学中的各个分支，从微观经济学中的消费者理论、生产者理论，到宏观经济学中的国民收入核算、经济增长模型，都能找到相应的数学应用。我特别喜欢它在讲解一些复杂模型时，会将模型拆解成若干个小的数学步骤，一步一步地讲解，让整个过程变得清晰可见。这种细致的讲解，让我觉得即使是再复杂的模型，也能够被分解和理解。

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这本书的编排真的太有匠心了。我拿到手后，随手翻了几页，就被它的逻辑结构所吸引。它不是那种一股脑把所有数学概念都堆砌在一起的书，而是非常聪明地将数学知识与经济学应用场景紧密结合。比如，在讲解函数和图像时，它会立刻引入成本函数、收益函数的例子，展示如何通过图像分析成本的增减趋势、利润的最大化点。这种“边学数学边学经济”的方式，让我觉得学习过程既高效又有趣，避免了枯燥的理论背诵。我尤其欣赏它对一些“为什么”的深入探讨。很多时候，我们在其他书中看到的数学公式，都是直接给出，但这本书会花费篇幅去解释这个公式是如何推导出来的，以及它背后的经济学意义是什么。这种追根溯源的学习方式，让我觉得知识更加牢固，而不是停留在表面的记忆。书中的一些小提示和注意事项也设计得很贴心，比如在讲解微分时，会提醒读者注意一些特殊的函数形式，或者在讲解矩阵时，会强调其在计量经济学中的重要作用。这些细节处理，充分体现了作者对读者学习过程的细致考量，让人感觉这本书是真心为读者考虑的。

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这本书的封面设计就让人眼前一亮，简洁大气，采用了我一直很喜欢的深蓝色调，配上烫金的“Mathematics for Economics”字样，瞬间就提升了档次。翻开扉页，纸张的质感也相当不错，厚实且略带一丝亚光的触感，翻阅起来非常舒服，不会有廉价感。目录的排版也很清晰，章节划分逻辑性很强，从基础的代数、微积分，到更深入的优化理论、动态规划，再到一些经济学模型中的数学应用，感觉内容覆盖面很广，而且循序渐进，即便是我这种数学功底不算特别扎实的学生，也能感觉到这是一本循序渐进、非常友好的入门指南。我特别喜欢它在引入概念时，总是会先给出一些直观的经济学解释，然后再用严谨的数学语言来描述，这种“先感性后理性”的方式，大大降低了理解门槛，让我觉得学习数学不再是枯燥的公式推导，而是解决实际经济问题的有力工具。书中的插图和图表也非常精美，线条流畅，配色柔和，能够有效地辅助理解抽象的数学概念，比如在解释边际效应时，通过绘制的曲线图，立刻就能一目了然。我迫不及待地想开始我的学习之旅了，相信这本书一定会成为我经济学学习道路上不可或缺的伙伴，为我打下坚实的数学基础，让我能够更自信地应对未来更复杂的经济学分析。

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