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出版者:Springer

作者:John H. Hubbard

出品人:

页数:376

译者:

出版时间:1997-10-17

价格:USD 89.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387972862

丛书系列:

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《微分方程》 这是一部深入浅出的数学专著，旨在为读者系统性地介绍微分方程这一核心数学分支的理论基础、解法技巧及其在各个领域的广泛应用。本书内容严谨，逻辑清晰，既能满足高等院校数学、物理、工程、经济等专业学生的学习需求，也能为相关领域的研究人员提供有益的参考。 核心理论深度解析 本书开篇即对微分方程的基本概念进行了详尽阐述，包括常微分方程与偏微分方程的定义、分类，以及它们的阶、线性与非线性、齐次与非齐次等关键属性。随后，作者循序渐进地介绍了解的存在性与唯一性定理，这是理解微分方程行为和有效求解的基础。对于初值问题和边值问题，本书都给出了清晰的数学表述和几何意义的解释，并引入了多种证明方法，帮助读者深刻理解理论的精髓。 经典解法技巧精讲 在常微分方程部分，本书系统梳理了各类一阶和高阶常微分方程的解析解法。读者将学习到如何运用分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程积分因子法、伯努利方程法等处理一阶方程。对于二阶及以上常微分方程，则会详细讲解线性方程的常数变易法、待定系数法、欧拉-柯西方程等方法。此外，本书还探讨了非线性方程的特殊解法，以及方程组的解法，包括线性方程组的矩阵方法。 在偏微分方程部分，本书重点介绍了最基本和最常见的几类方程，如一维波动方程、热传导方程（扩散方程）和拉普拉斯方程。作者将引导读者掌握分离变量法、傅里叶级数法、格林函数法等求解这些方程的经典技术。对于不同边界条件和初始条件下的问题，本书都提供了详细的分析过程和解的构造方法。 数值解法与现代视角 认识到许多微分方程无法获得解析解，本书还专门辟出章节详细介绍重要的数值解法。读者将学习到欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等用于求解常微分方程的经典数值方法，并理解其精度、稳定性和收敛性。对于偏微分方程，则会介绍有限差分法等基本的数值离散技术，使其能够通过计算来近似方程的解。本书也触及了计算软件在求解复杂微分方程中的作用，鼓励读者将理论与实践相结合。 广泛的应用领域展示 微分方程作为描述自然界和工程领域中动态过程的数学语言，其应用无处不在。本书通过精选的实例，生动展示了微分方程在各个学科中的核心作用。 物理学： 从牛顿第二定律到电磁场的麦克斯韦方程组，本书揭示了微分方程如何描述力学、热学、电磁学、量子力学等基本物理现象的演化。例如，在力学中，微分方程用于描述物体的运动轨迹；在热学中，它则刻画了热量的传播和分布。 工程学： 在结构力学中，微分方程用于分析应力与形变；在电路分析中，它们描述了电流和电压随时间的变化；在流体力学中，纳维-斯托克斯方程更是描述流体运动的关键。本书会通过具体的工程问题，展现如何建立微分方程模型并求解，以指导工程设计与优化。 生物学与生态学： 疾病传播模型（如SIR模型）、种群动力学模型（如捕食者-猎物模型）等，都依赖于微分方程来预测生物系统的演变趋势。本书将展示如何用微分方程来刻画种群增长、相互作用以及疾病的传播机制。 经济学与金融学： 经济增长模型、资产定价模型（如布莱克-斯科尔斯方程）等，都离不开微分方程的工具。本书会探讨如何运用微分方程来分析经济变量随时间的变化，以及在金融市场中进行风险评估和定价。 学习特色与内容组织 本书内容组织结构清晰，从基础概念出发，逐步深入到复杂的理论和应用。每章都配有大量的例题，详细展示了求解过程和思路，并辅以适量的习题，帮助读者巩固所学知识。书中还强调了数学建模的思想，引导读者学会如何将实际问题转化为数学模型，并通过求解模型来获得对现实世界的洞察。作者力求语言简洁、阐释到位，即使是初学者也能在其中找到清晰的学习路径。本书不仅是教材，更是对微分方程这一迷人领域的一次深入探索之旅。

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这本书在处理超越基础微积分范畴的数学工具时，展现出了令人印象深刻的严谨性与前瞻性。它并没有将读者扔到一个需要自学泛函分析或高级测度论的环境中，而是选择了一种“即用即学”的策略。例如，在涉及勒贝格积分或更抽象的算子理论时，作者会提供必要的、聚焦于应用层面的背景介绍，确保读者能够理解当前求解方法背后的数学根基，但又不会让这些辅助知识喧宾夺主。这种平衡把握得非常精妙，它既满足了那些希望深入探究理论本质的进阶读者的需求，也为初学者提供了一条相对平坦的“直通车”，让他们不必在学习核心内容之前就被庞大的预备知识吓退。总的来说，这本书像是一位技艺高超的建筑师，它不仅设计了宏伟的结构，更确保了每一块砖石的连接都坚固可靠，为读者构建起一个既美观又实用的数学殿堂。

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这本书的习题设置绝对是其最大的亮点之一，它完美地平衡了理论巩固与创新应用之间的张力。习题的难度梯度设计得非常科学合理，从开篇用于检验基本概念的计算题，到中期用于磨练求解技巧的综合题，再到最后那些需要综合运用多章知识点才能攻克的挑战性问题，每一步都像是在为我们攀登知识高峰打下坚实的基础。更值得称赞的是，很多习题并非简单的数值计算，而是要求读者对特定方程解的性质进行深入的讨论，比如稳定性的分析、渐进行为的探究等等，这迫使我们的大脑进行更深层次的思考，而不是仅仅依赖计算器。我特别喜欢那些要求推导模型的习题，它强迫你去思考：“如果现实世界发生了一点点变化，我的方程该如何调整？”这种对数学建模过程的训练，比单纯掌握求解方法重要得多，它真正培养了一种数学家的思维模式，让人在解题后有一种醍醐灌顶的成就感。

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初次接触这本书时，我本以为会陷入一片艰涩难懂的公式海洋，毕竟“微分方程”这四个字听起来就足够令人生畏。然而，作者的叙述方式极其巧妙，仿佛一位经验丰富的向导，引领着我们从最基础的直觉和物理背景出发，逐步构建起抽象的数学框架。书中对理论概念的阐释，不是那种冷冰冰的定义堆砌，而是融入了大量的实际案例分析，比如热传导问题、振动系统的模型构建，这些例子让原本抽象的数学语言瞬间鲜活了起来，我能清晰地“看见”方程是如何描述现实世界中的动态变化的。特别是作者在引入某些高级技巧时，会先用一种非常口语化和直观的方式进行铺垫，让你在尝试理解复杂证明之前，已经对它的核心思想有了大致的把握。这种“先知其意，后究其形”的教学哲学，极大地降低了我的畏难情绪，让我在学习过程中保持着持续的好奇心和探索欲，而不是被一堆符号淹没的挫败感。

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作为一本工具书性质的教材，查找和索引的便利性至关重要。这本书的目录结构设计得极富逻辑性，层级分明，让你能迅速定位到你需要的特定类型方程或求解方法。更出色的是，书末的“术语索引”和“符号对照表”做得极其详尽。例如，当我回忆起某个特定函数空间的定义或某种特定积分变换的性质时，只需翻到索引页，相关概念在书中的出现位置一目了然，省去了在厚厚的篇幅中大海捞针的痛苦。此外，书中对历史背景的穿插介绍也做得恰到好处，比如在讨论傅里叶级数时，简要提及了它在解决特定物理问题中的历史意义，这不仅增加了阅读的趣味性，也让那些枯燥的数学定理有了一个“落地”的文化背景，使得知识不再是孤立的片段，而是历史发展中的有机组成部分，极大丰富了我的知识维度。

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这本书的装帧设计简直是一场视觉盛宴，我尤其喜欢封面那种深邃的靛蓝色，与书名烫金的字体形成了强烈的对比，散发出一种古典而又充满现代气息的质感。内页的纸张选择也极其考究，微微泛黄的米白色调，不仅减轻了长时间阅读带来的视觉疲劳，更添了几分沉静的学术氛围。装订部分的处理也相当扎实，即便是经常翻阅，书脊依然平整如初，显示出出版方对细节的极致追求。我通常习惯将重要概念的注释写在书页边缘，这本书的页边距设计得恰到好处，既不显得拥挤，又能提供充足的留白空间。至于排版，字体的大小和行距的拿捏堪称教科书级别，逻辑清晰，段落分明，即便是面对那些复杂冗长的数学推导，阅读起来也不会感到气喘吁吁，仿佛作者的思路被完整地、优雅地呈现在了眼前，让人忍不住想一页接一页地沉浸其中，享受阅读本身带来的宁静与满足。这本书的实体触感，让人油然而生一种想要珍藏和反复研读的冲动，与那些冰冷的电子文档完全是两种截然不同的体验。

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