Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, Vol. 1 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Holden Day

作者:A. M. Yaglom

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1964-06

价格:USD 7.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780816299140

丛书系列:

图书标签:

• 数学问题
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好的，这是一份关于一本假设的、不包含《Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, Vol. 1》内容的图书简介，旨在详细描述其内容，同时保持自然流畅，避免任何人工智能生成痕迹。 --- 《高等代数与抽象结构导论：从线性空间到群论基础》 内容简介 本书旨在为寻求深入理解现代数学核心概念的学生和研究人员提供一本全面而严谨的教材。它专注于构建一个坚实的高等代数基础，特别侧重于线性代数和抽象代数的基本结构，这些结构是现代数学、物理学乃至计算机科学的基石。全书精心组织，从最基础的集合论概念出发，逐步过渡到复杂的抽象结构，力求在严谨性与可读性之间找到最佳平衡。 第一部分：线性代数的复习与深化 本书的第一部分对线性代数进行了系统的回顾与提升，重点在于概念的抽象化和更广阔的应用背景。 第一章：向量空间与线性变换的几何意义 本章从向量空间（包括有限维和无限维）的严格定义入手。我们详细探讨了基、维度、子空间的概念，并引入了同构的概念，用以比较不同向量空间之间的结构等价性。重点分析了线性变换的性质，如核（Null Space）和像（Image），以及秩-零化度定理的深刻内涵。本章的一个独特之处在于，我们引入了内积空间（Inner Product Spaces），不仅限于欧几里得空间 $mathbb{R}^n$，更扩展到函数空间，为傅里叶分析和泛函分析奠定基础。正交性、施密特（Gram-Schmidt）正交化过程以及正交投影被深入阐述。 第二章：矩阵理论的结构视角 本章将矩阵视为线性变换在特定基下的表示，而非仅仅是数的矩形排列。我们深入研究了相似性的概念，并构建了矩阵理论的核心——特征值与特征向量。本章的核心在于对角化。我们不仅讨论了可对角化的条件，还引入了Jordan标准型。Jordan块的构造和其在理解线性算子结构上的关键作用被细致剖析。对于非对角化的情况，Jordan标准型提供了一种“最简化”的表示形式，这对于求解微分方程组和分析动力系统至关重要。此外，本章还涉及矩阵函数的定义，例如矩阵指数，以及它们在解决线性常微分方程初值问题中的应用。 第三章：多线性代数 本章是通往张量分析的桥梁。我们首先定义了双线性型（Bilinear Forms）和二次型（Quadratic Forms），并探讨了它们在实数域和复数域上的分类（如通过惯性定律）。随后，本书引入了张量（Tensors）的概念，将其视为多线性函数。张量的协变性与反变性，以及张量积的构造，被用严格的语言描述。这部分内容对于理解广义相对论中的度规张量和微分几何中的基本概念至关重要。 第二部分：抽象代数导论 第二部分将视角从向量空间转向更一般的代数结构，重点关注群、环和域的定义、性质及其内部结构。 第四章：群论基础 群论是抽象代数的核心。本章从群的公理体系开始，通过大量的例子（如对称群 $S_n$、二面体群 $D_n$、循环群）来阐明概念。我们详细探讨了子群、陪集、正规子群，并导出了商群（Factor Groups）的构造。同态和同构的概念被用于比较不同群的结构。本章的重中之重是第一同构定理，它揭示了商结构与核之间的深刻联系。我们还介绍了Sylow定理，它们为有限群的结构提供了强大的约束条件，是群论分析中的关键工具。 第五章：环论：代数运算的推广 本章将代数结构推广到具有两种运算的系统——环。从 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$ 开始，我们定义了环、子环、理想。理想的概念（类似于群论中的正规子群）使得商环（Quotient Rings）的构造成为可能。我们深入研究了几种特殊的环：整环（Integral Domains）、主理想整环（Principal Ideal Domains, PIDs）和唯一因子分解整环（Unique Factorization Domains, UFDs）。这些分类帮助我们理解代数结构是如何“分解”的，并为数论中的素因子分解提供了更一般的框架。 第六章：域与伽罗瓦理论的萌芽 本章聚焦于域（Fields）的性质，特别是线性代数中使用的基础域 $mathbb{Q}, mathbb{R}, mathbb{C}$。我们探讨了域的扩张（Field Extensions），并引入了最小多项式的概念，这是理解如何“构造”新域的关键。本章的最后一部分是伽罗瓦理论的初步介绍。我们探讨了多项式方程的可解性问题，特别是五次及以上方程不能用根式求解的深刻原因。通过研究域扩张的伽罗瓦群，本书为理解代数方程解的结构提供了一个初步的、但强有力的视角。 附录与特色 本书的结构设计强调了概念之间的联系。例如，矩阵的特征值问题在本质上是关于线性算子作用下不变子空间的探索，而Jordan标准型的存在性证明，则需要用到前面群论中对正规子群的理解。 附录A：集合论基础与逻辑符号 对全部分析所需的基础集合论工具进行了简洁回顾。 附录B：计算与证明技巧 提供了关于如何进行抽象代数证明的指导，并对涉及复分析和拓扑的初步概念进行了简要说明，以增强读者的跨学科视野。 适用读者： 本书适合数学、物理学、工程学高年级本科生及初级研究生，作为高等代数、线性代数或抽象代数课程的教材或参考书。它要求读者具备微积分和线性代数的基础知识，并准备好迎接严谨的数学证明。 ---

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说实话，这本书的难度曲线设置得相当有意思，初看起来可能觉得有些棘手，但只要你坚持住前几章的“热身”，后面的挑战就会让你感觉自己的思维像是经过了高强度的锻造。我尤其喜欢其中关于几何部分的处理方式，很多问题并非依赖于复杂的三角函数或解析几何工具，而是回归到最纯粹的欧几里得几何直觉，用非常简洁、优雅的构造来解决看似无从下手的问题。很多时候，解题的关键往往隐藏在一个极其简单的辅助线或一个不起眼的特殊情况中，而作者总是能精准地捕捉到这一点并加以强调。这种对“简洁之美”的追求，是这本书最打动我的地方。阅读过程中，我常常需要停下来，在草稿纸上反复涂画，试图找出那个“Aha!”的瞬间。这种主动探索的过程，远比直接阅读标准解法来得更有价值。它迫使你的大脑以一种更具批判性和创造性的方式去运作。对于那些已经对基础知识了如指掌，却苦于找不到进阶突破口的自学者而言，这本书无疑是一剂良药，它提供了一种全新的视角去看待那些被我们“例行公事”对待的经典问题。

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这本书的封面设计充满了经典数学教材的风格，那种朴实中带着一丝严谨的气息，拿到手上就感觉自己即将要面对一些需要深度思考的难题了。我特别欣赏作者在排版上处理的细节，那些公式和定理的展示清晰明了，即便是初次接触这类复杂问题的读者，也能相对容易地跟上思路。它不像某些现代教材那样追求花哨的视觉效果，而是把重心完全放在了内容的质量上。我记得我翻开第一章时，就被其中一个关于数论的引理深深吸引住了，作者的切入点非常巧妙，既没有上来就给出那些人尽皆知的结论，而是通过一系列精心设计的铺垫，让你在不知不觉中领悟到问题的核心所在。这种循序渐进的教学方式，对于建立坚实的数学基础至关重要。我尝试自己独立解决其中的一个小问题，虽然花费了不少时间，但最终得出答案时的成就感是无与伦比的。这本书更像是一位经验丰富的老教授，耐心地引导你走过崎岖的山路，而不是简单地给你一张地图让你照着走。它教会我的，不仅仅是如何解题，更是一种面对困难时应有的耐心和细致的分析能力。对于任何渴望提升自己数学思维深度的爱好者来说，这都是一本值得反复研读的珍藏品。

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我必须承认，这本书的难度绝对不是“轻松”的代名词，它确实需要投入大量的时间和精力去啃。有些章节，特别是涉及到组合数学的那些，我甚至需要花上好几天才能完全消化一个例题的全部精髓。但是，这种“高投入”带来的回报是巨大的。它极大地提高了我的问题分解能力。作者在组织习题时，似乎深谙如何层层递进，每一个小步骤都是通向最终宏大结论的逻辑基石。如果你只是囫囵吞枣地看过去，很可能会在中间某个环节卡住，然后感到沮丧。真正有效的方法是，在作者给出提示之前，自己必须尝试用尽所有能想到的方法去接近它。这本书成功地建立了一种“挑战-挫折-顿悟”的良性循环。它不是一本用来消磨时间的读物，而是一本用来挑战自我的工具书。当我做完后面三分之一的题目后，我感觉自己在处理任何新的数学难题时，心态都变得更加沉稳和系统化了，不再轻易被表面的复杂性所迷惑。

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这本书的魅力在于其对“初等解法”的坚持和精湛运用。在这个充斥着高级分析工具的时代，能够看到一本如此注重基础技巧和逻辑推理的书籍，实在是一种享受。作者似乎有一种天赋，能将那些原本需要用到微积分或者线性代数才能解决的问题，巧妙地转化成仅依赖代数、数论或基础几何的方法来攻克。这种限制反而激发了更多的创造力。我记得有道关于不等式的题目，我一开始自然而然地想到了拉格朗日乘数法，但翻看解答后，发现作者使用了一种非常巧妙的配方和均值不等式的组合，整个过程干净利落，令人拍案叫绝。这不仅仅是一种解题技巧的展示，更是一种数学哲学上的体现——即最深刻的真理往往可以用最朴素的语言来表达。对于教学者来说，这本书提供了大量的范例，展示了如何引导学生跳出“工具箱”的限制，去思考问题的本质。它训练的不是你使用复杂工具的能力，而是你设计工具的能力。

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从收藏价值的角度来看，这本书的装帧和内容质量都达到了很高的水准。它不仅仅是提供了一堆题目和答案，更像是一部关于数学思维训练的经典教程。特别是作者在引言部分对数学研究态度的阐述，非常鼓舞人心，强调了严谨的逻辑推理和对反例的敏感性是优秀数学家的标志。我特别喜欢书中对某些历史背景的简短介绍，这让冰冷的数学问题增添了一丝人情味和历史厚重感。例如，它讲述了某个几何定理在几个世纪里是如何被不同数学家从不同角度完善的。这种背景知识的补充，使得学习过程不再是孤立的符号操作，而是一场与历史上的伟大头脑进行的跨时空对话。这本书的价值在于它培养的“数学眼光”，一种能够迅速识别问题类型、预判潜在陷阱的能力。对于想要为更深入的数学研究打下坚实基础的进阶学生来说，它提供的训练深度是无可替代的。

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