Measure Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:D. Van Nostrand Company

作者:Paul Halmos

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1950-01-01

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780442030636

丛书系列:

图书标签:

• 概率教材
• 概率专著
• 数学
• 测度论
• 实分析
• 概率论
• 高等数学
• 数学分析
• 集合论
• 积分
• 拓扑学
• 理论基础

《测量理论》是一部深刻而严谨的学术著作，旨在为读者提供一个全面、系统的数学测量理论基础。本书并非对测量理论的浅尝辄止，而是致力于深入剖析其核心概念、构造方法及其在各个数学分支中的应用。本书的读者对象是数学专业的研究生、高年级本科生以及对数学基础理论有浓厚兴趣的数学工作者。 本书的开篇，首先对黎曼积分的局限性进行了清晰的阐述，这为引入更强大的勒贝格积分奠定了基础。读者将了解到，黎曼积分在处理不连续函数或复杂集合上的积分时会遇到不可逾越的障碍。这种认识是理解为何需要发展测量理论的起点。紧接着，本书便循序渐进地引入了“测量”这一核心概念。我们从朴素集合论中的一些基本概念出发，如集合、函数、逻辑符号等，确保读者具备必要的集合论背景知识。然后，本书将注意力转向了“可测集合”。这里的核心是“σ-代数”（或称可测σ-代数），它是一族具有特定性质的集合，是定义测量的基础框架。本书会详细解释σ-代数的定义及其重要性质，例如，任何σ-代数都包含全集和空集，并且对并集、交集和补集运算是封闭的。接着，本书会介绍“外测度”的概念，它是一种更广泛的度量方式，可以应用于任何集合，而不仅仅是可测集合。外测度的定义、性质以及与可测集合的关系将被深入探讨。 本书的一个重要部分是“勒贝格测度的构造”。在这里，我们将具体构建实数轴上的勒贝格测度，这是测量理论中最常见也是最重要的测度之一。读者将学习如何从长度的概念推广到区间，再到可测集合，最终得到勒贝格测度的完整定义。这个过程将涉及一些关键的技术，例如“外测度的可加性”和“Carathéodory定理”，这些定理是证明勒贝格测度存在的基石。我们还将讨论一些重要的可测集合的例子，以及它们的测度属性，例如开集、闭集、Gδ集、Fσ集等。 在建立了可测集和测度的概念后，本书将重点转向“可测函数”。可测函数是测量理论中连接集合和函数值的桥梁。本书将定义什么是可测函数，并讨论其基本性质，例如函数的和、积、商（在定义域内）、复合等运算所保持的可测性。还将探讨一些重要的可测函数类，例如简单函数、非负可测函数以及一般的可测函数。简单函数作为一种特殊的、易于处理的可测函数，将在后续的积分理论中发挥关键作用。 本书的核心内容之一便是“勒贝格积分”。勒贝格积分是对黎曼积分的重大推广，它能够更好地处理函数的不连续性以及更广泛的积分区域。本书将详细介绍勒贝格积分的构造过程。首先，我们将定义非负简单函数的积分，然后通过单调收敛定理将积分扩展到非负可测函数，最后再通过分割函数为正负部分，将积分推广到一般的可测函数。这个过程严谨且富有逻辑性。本书将详细推导和阐述勒贝格积分的几个最重要收敛定理：单调收敛定理、Fatou引理、控制收敛定理（或称占优收敛定理）。这些定理是进行各种积分运算和证明的关键工具，它们揭示了积分运算与极限运算之间的深刻联系。读者将学习如何运用这些定理来计算积分、证明不等式以及分析函数序列的积分性质。 本书还将深入探讨“Lp空间”的概念。Lp空间是一类重要的函数空间，它们在泛函分析、偏微分方程、概率论等领域有着广泛的应用。本书将定义 Lp 空间的元素（即p可积函数），并讨论其性质，例如完备性（成为巴拿赫空间）。我们将重点介绍 L1、L2 和 L∞ 空间，并阐述它们之间的关系。通过引入范数，Lp空间提供了一种衡量函数“大小”或“振幅”的方式。本书还将介绍“测度收敛”的几种概念，例如依测度收敛、几乎处处收敛以及Lp收敛。这些不同的收敛概念在分析函数序列的极限行为时至关重要，并且它们之间存在着微妙而深刻的联系。 此外，本书还将涉及“乘积测度”和“Fubini定理”。乘积测度允许我们在乘积空间上定义测度，而Fubini定理则提供了在乘积空间上计算积分的强大工具，它允许我们将多重积分分解为一系列单重积分。我们将详细阐述Fubini定理及其应用，包括在不同条件下交换积分次序。 本书还可能包含关于“Radon-Nikodym定理”和“条件期望”等更高级的主题。Radon-Nikodym定理是测度论中的一个核心定理，它描述了两个测度之间的关系，特别是在概率论和统计学中有重要应用。条件期望是概率论中的一个重要概念，它提供了在给定某些信息的情况下对随机变量期望值的数学表述，其基础正是测量理论。 本书的语言风格严谨、精确，数学符号的使用规范。每章都包含大量的例题和习题，旨在帮助读者巩固所学知识，并能独立解决相关问题。本书的写作目的是为读者打下坚实的数学基础，使其能够进一步深入研究更高级的数学领域，例如泛函分析、概率论、调和分析以及其他应用数学分支。通过阅读本书，读者将能够深刻理解现代数学中许多基础性概念的由来及其重要性，并获得处理复杂数学问题的有力工具。

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这本《Measure Theory》简直是一场数学思想的饕餮盛宴！从一开始我就被作者那种庖丁解牛般的叙事风格深深吸引。它不像有些教材那样干巴巴地堆砌定义和定理，而是仿佛在娓娓道来一个宏大而精妙的数学世界的构建过程。初学者可能会觉得有些吃力，因为作者毫不留情地要求读者跟上其严密的逻辑推演，但这正是它的魅力所在。对于那些渴望真正理解测度论核心思想的读者来说，这本书提供了无与伦比的清晰度。特别是关于$sigma$-代数和可测函数的引入部分，作者用了一系列非常直观的例子来阐释抽象概念，这使得原本晦涩的拓扑结构变得触手可及。我特别喜欢它在引入勒贝格积分时所采取的渐进式策略，它不是直接抛出一个定义，而是通过一个构造性的过程——先测度简单函数，再逼近一般可测函数——让读者在不知不觉中掌握了积分的精髓。读完前几章，我感觉自己对极限、收敛性这些基本概念的理解都提升到了一个新的高度，仿佛穿过了一层迷雾，看到了数学结构内在的坚固与优雅。这种深入骨髓的理解，是仅靠刷题或死记硬背公式是无法获得的，它需要的是一种思维方式的重塑。

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对于那些已经掌握了基础微积分和实分析的读者来说，这本书就像一剂强效的知识催化剂。它不仅仅是对前述知识的简单叠加，而是在更高维度上对“量化”这一概念进行了全新的数学定义和拓展。书中对“测度”本身的公理化描述极其严谨，特别是对可加性（Countable Additivity）的强调，这才是区分现代测度论与早期“面积”概念的核心壁垒。我特别关注了书中关于极限操作和积分顺序交换的讨论，这部分内容在高等概率论和PDEs中至关重要。作者对这些“交换”行为背后的充分必要条件进行了详尽的分析，并辅以反例说明。这种对极限操作的敬畏感和审慎态度，是这本书带给我的最宝贵的财富之一。阅读它，感觉就像是攀登一座设计精良的数学高峰，虽然过程曲折，但每一步都让你对脚下的世界看得更远、更清晰，最终收获的是一种对数学严谨性的深刻认同。

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这本书的广度和深度令人叹为观止，它绝非一本泛泛而谈的导论性读物。作者对每一个概念的挖掘都非常透彻，尤其是在深入探讨各种重要的测度类型时，展现出了惊人的洞察力。举例来说，对外部测度（Outer Measure）的构建和性质的论述，细致到连最微小的细节都不放过，这对于理解测度如何“填补”集合上的空隙至关重要。更令人称道的是，它不仅仅停留在基础理论层面，还巧妙地穿插了许多高级主题的引子，比如Radon-Nikodym定理的铺垫，以及对$L^p$空间性质的初步探讨。我感觉作者在行文过程中始终保持着一种审慎的平衡：既要保证数学推导的绝对严谨性，又要确保读者的阅读体验不至于过于枯燥。对于有志于从事泛函分析或概率论深入研究的读者而言，这本书提供的坚实基础是无可替代的。它不只是教会你“怎么做”，更重要的是让你明白“为什么必须这样做”，这种对数学内在逻辑的尊重和展现，是真正大师手笔的体现。

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坦白地说，我第一次翻开这本书时，心里是带着一丝敬畏的，因为“测度论”这个名字本身就带着一种高深的距离感。然而，这本书很快就打破了这种刻板印象。它成功地将抽象的集合论工具与我们熟悉的几何直觉联系起来。例如，在讨论勒贝格可测集的例子时，作者没有仅仅停留在开集、闭集的范畴，而是深入探讨了像“有理数集”这样看似简单的集合在测度意义下的“大小”，这种对比极具启发性。这本书最宝贵的一点，是它对“为什么需要新的积分？”这个问题进行了深刻的回答。它没有直接跳过黎曼积分的缺陷，而是通过一系列精妙的反例，层层递进地揭示了黎曼积分在处理函数序列极限时的局限性，从而自然而然地引出了勒贝格积分的优越性和必要性。这种“提出问题—分析不足—解决问题”的叙事模式，让理论的引入不再是空中楼阁，而是基于现实需求的完美解决方案。

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从一个纯粹的阅读体验角度来看，这本书的排版和符号系统设计得非常考究。虽然内容本身难度较高，但清晰的字体选择和合理的章节划分，极大地缓解了视觉疲劳。每当引入一个新的核心概念时，作者都会用粗体或斜体明确标示，并紧随其后给出清晰的定义框，这对于需要频繁回顾关键术语的学习者来说，是莫大的便利。我尤其欣赏它在证明过程中对细节的把控，很多教科书在证明的关键过渡步骤会轻描淡写地一笔带过，导致读者需要花费大量时间去自行填补空白。而《Measure Theory》则不然，即便是看似简单的步骤，作者也会清晰地列出所依据的引理或定理，这使得整个证明链条清晰可见，仿佛有一位耐心的导师在你身边一步步引导。此外，书末的习题设计也颇具匠心，它们并非简单地重复课本内容，而是巧妙地延伸和补充了理论，有些习题本身就是非常重要的结论，迫使读者主动去思考和探索。

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