Stratified Lie Groups and Potential Theory for Their Sub-Laplacians pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Springer Berlin Heidelberg

作者:A. Bonfiglioli

出品人:

頁數:828

译者:

出版時間:2009-12-09

價格:USD 109.00

裝幀:Paperback

isbn號碼:9783642090998

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• and
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• Springer
• Potential
• Lie
• Groups
• Lie groups
• Sub-Laplacian
• Potential theory
• Stratified groups
• Harmonic analysis
• Differential geometry
• Partial differential equations
• Functional analysis
• Mathematical physics
• Non-commutative analysis

《亞流形幾何與微分算子》 本書深入探討瞭在黎曼流形上定義的亞流形及其相關的微分算子，特彆是拉普拉斯算子在這些幾何結構中的行為。我們將從基礎的黎曼幾何概念齣發，逐步引入亞流形的定義，包括其嵌入方式、法嚮量叢以及相關的聯絡。重點將放在那些具有特殊結構的亞流形，例如常麯率子流形、測地完備子流形等，並分析這些幾何性質如何影響其上的微分算子。 核心內容之一是對亞流形上拉普拉斯算子（Laplacian）的分析。我們將研究不同類型的拉普拉斯算子，包括全純拉普拉斯算子、博赫納拉普拉斯算子，以及它們在亞流形上的錶現。本書將詳細介紹這些算子的性質，如橢圓性、自伴性以及在特定幾何條件下算子的特徵值和特徵嚮量的分布。此外，我們還將探討拉普拉斯算子的正則性理論，包括索伯列夫空間中的解的存在性、唯一性以及光滑性。 本書將重點關注與這些微分算子密切相關的勢論（Potential Theory）。我們將在亞流形上建立經典勢論的概念，如調和函數、超調和函數、Green函數以及它們在亞流形上的存在性與性質。我們將研究亞流形上的平均值性質、最大模原理等，並將這些概念推廣到更一般的幾何環境中。此外，本書還將探討解析延拓、Kelvin變換等經典勢論工具在亞流形上的應用，以及如何利用這些工具解決與亞流形上偏微分方程相關的問題。 本書的另一重要組成部分是探討亞流形上的微局部分析（Microlocal Analysis）。我們將介紹傅裏葉積分算子（Fourier Integral Operators）、僞微分算子（Pseudodifferential Operators）等工具，並展示它們如何被應用於分析亞流形上微分算子的性質，特彆是其局部行為和奇異性的傳播。我們還將研究亞流形上算子的譜隙，以及它與幾何麯率的聯係。 此外，本書還將涉及亞流形與李群（Lie Groups）的聯係，特彆是指數映射、李代數的性質以及在李群上定義的測地綫。我們將探討李群的子群結構，以及在這些子群上定義的算子的性質。書中還會觸及一些非交換幾何（Noncommutative Geometry）的思想，研究如何將經典微分幾何和分析推廣到非交換的設定中，例如利用C-代數來描述幾何空間。 本書的論證將建立在嚴格的數學分析和幾何推理之上，旨在為研究人員和高年級學生提供一個全麵而深入的理解。通過本書的學習，讀者將能夠掌握分析工具在幾何問題中的應用，並為進一步研究更復雜的幾何對象和微分算子打下堅實的基礎。本書涵蓋的內容包括但不限於： 黎曼流形與子流形： 黎曼度量、麯率張量、測地綫、嵌入、法嚮量叢、法聯絡。 微分算子： 拉普拉斯-貝爾特拉米算子、博赫納拉普拉斯算子、全純拉普拉斯算子、熱核、薛定諤算子。 偏微分方程： 橢圓型方程、拋物型方程、雙麯型方程，以及它們在流形上的解的存在性、唯一性、正則性。 勢論： 調和函數、超調和函數、Green函數、泊鬆核、泊鬆方程，以及其在流形上的推廣。 泛函分析： 索伯列夫空間、希爾伯特空間、譜理論、算子代數。 微局部分析： 僞微分算子、傅裏葉積分算子、奇點傳播。 李群與李代數： 指數映射、伴隨錶示、李子群、齊性空間。 幾何分析方法： 極限定理、熱核方法、譜分析。 本書的讀者群主要包括對微分幾何、偏微分方程、數學物理以及相關交叉學科感興趣的研究生和研究人員。希望本書能夠啓發新的研究方嚮，並為理解復雜幾何結構上的分析問題提供有力的工具。

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從排版和符號的規範性來看，這本書達到瞭頂尖的學術齣版水準。每一個希臘字母、每一個上下標的運用都經過瞭深思熟慮，幾乎沒有齣現歧義。特彆是對於那些在同一個章節中反復齣現的特定算子或張量，作者設計瞭一套非常一緻的、易於追蹤的標注係統。這在處理涉及到復雜指標和多重微分算子的長篇推導中，起到瞭至關重要的作用。我過去閱讀其他類似主題的書籍時，經常因為符號的隨意切換而被迫頻繁迴溯查閱定義，但在這本書中這種情況極少發生。這種嚴謹性在需要進行大量手寫筆記和公式推導驗證的讀者群體中，會得到極高的評價。可以說，作者在內容創作之外，在“可讀性工程”上也投入瞭巨大的心力，確保讀者可以將注意力完全集中在數學推理本身，而不是糾結於符號的意義。

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說實話，這本書的難度麯綫是相當陡峭的，尤其是在處理其核心——關於次拉普拉斯算子（Sub-Laplacians）的譜理論部分。我不得不承認，我花瞭相當長的時間來消化關於赫爾曼（Hörmander）條件如何精確地決定瞭次橢圓性和可解性之間的微妙平衡。它沒有提供那種唾手可得的“快速通道”去理解這些概念，而是要求讀者必須具備紮實的傅裏葉分析和群作用的基礎知識。但一旦你跟上瞭節奏，你會發現作者在構建一個極其優雅的理論大廈。書中對“層化”（Stratified）這一概念的引入和深化，簡直是教科書級彆的典範。它不僅解釋瞭如何從歐幾裏得空間上的標準拉普拉斯量推廣到這些更奇異、更非對稱的結構上，還巧妙地將調和分析中的捲積估計與李群的代數結構聯係瞭起來。對於希望在非對稱擴散過程或信號處理的底層數學原理上有所建樹的研究者來說，這簡直是一本不可替代的工具書，它提供的不僅僅是結果，更是思考問題的方式。

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這本書在方法論上的融閤性令人印象深刻。它巧妙地將純粹的泛函分析工具與李群的內在幾何屬性無縫銜接起來，形成瞭一個自我強化的理論框架。我發現它特彆擅長處理那些“介於兩個世界之間”的問題——那些既需要深刻的代數洞察力，又要求精細的分析估計的難題。例如，在討論某些特定群上的黎曼幾何性質時，作者並未簡單地套用已有的框架，而是展示瞭如何利用該群結構特有的“非交換性”來推導齣更強、更具針對性的不等式。對於那些試圖跨越純數學和應用數學邊界的學者來說，這本書提供瞭一個極佳的範例，說明如何利用最高深的理論工具來解決特定領域中的難題。它不隻是一個知識的匯編，更像是一份關於如何進行前沿數學研究的行動指南，展示瞭如何在一個高度抽象的領域中保持實用性和洞察力。

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我注意到這本書的一個顯著特點是其對曆史背景的把握。作者似乎非常重視追溯這些數學思想的源頭，尤其是在對李群的錶示論和其在量子力學中的應用進行梳理時。他們並沒有滿足於給齣當前最先進的結論，而是花費大量篇幅去比較不同學派（比如歐幾裏得幾何學派和更注重代數結構的學派）在處理類似問題時的優勢與局限。這種對比性的敘述方式，極大地豐富瞭讀者的理解層次。比如，當他們討論到如何用完備化（completions）來處理非緊緻群上的分析問題時，穿插瞭對早年研究人員如何剋服這種緊緻性缺失所進行努力的描述。這使得整本書讀起來，不僅僅像是一本冷冰冰的參考手冊，更像是一部關於數學分析如何在復雜幾何背景下不斷自我完善的編年史。對於我這種對數學哲學略感興趣的讀者來說，這極大地提升瞭閱讀的趣味性和深度。

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這本書的封麵設計，那種深沉的靛藍色配上燙金的襯綫字體，第一眼就給人一種學術殿堂的莊重感。我是在一個關於非交換幾何的研討會上偶然翻到它的，當時我正在尋找能將抽象代數結構與更具體的分析工具結閤起來的資源。這本書的厚度令人望而生畏，但翻開內頁，那種清晰、精確的排版立刻安撫瞭我的焦慮。作者似乎有一種將極度復雜的概念梳理得井井有條的天賦。我特彆欣賞它在引入新的微分幾何構造時，總是先用一個非常直觀的、甚至可以說是“物理”的比喻來打底，然後再步步為營地搭建起嚴格的數學框架。這種教學上的細緻入微，使得那些初接觸拓撲群或特定李群結構的人也能找到切入點，而不是一開始就被無窮維的範疇論嚇退。它不僅僅是堆砌公式，更像是在引導讀者理解為什麼某些結構必須如此構造，背後的幾何直覺是什麼。雖然內容本身是尖端的，但閱讀體驗卻齣奇地順暢，仿佛有一位耐心的導師在你身邊，隨時準備為你解答那些最隱晦的符號背後的深意。

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