Lectures on Curves on an Algebraic Surface. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Princeton University Press

作者:David Mumford

出品人:

页数:212

译者:

出版时间:1966-8-21

价格:USD 75.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780691079936

丛书系列:Annals of Mathematics Studies

图书标签:

• 数学
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代数曲面上的曲线：几何与拓扑的交织 《代数曲面上的曲线》是一部深度探索代数几何核心领域——代数曲面上的曲线理论的专著。本书旨在为读者呈现一个丰富而迷人的数学世界，在这个世界里，几何直觉与抽象代数的严谨分析交融，揭示出曲线在曲面结构中所扮演的关键角色。本书内容翔实，逻辑清晰，适合对代数几何有一定基础的本科生、研究生以及相关领域的研究人员阅读。 代数曲面，作为二维的代数簇，是代数几何中研究最为广泛的对象之一。它们在许多数学分支中都有着重要的应用，如复流形、数论、微分几何以及理论物理等。而曲线，作为代数曲面上的“一维”对象，其性质与曲面本身的几何特征和拓扑结构紧密相连。理解代数曲面上的曲线，不仅是对曲面本身进行深入剖析的关键，也为我们提供了研究更复杂代数簇结构的重要视角。 本书从代数曲面上曲线的基本概念入手，逐步深入到更高级的理论。首先，作者会详细介绍代数曲线的定义，包括它们在射影平面上的表示，以及如何通过齐次多项式来刻画。读者将学习到如何理解曲线的几何性质，例如它们的次数、奇异点、切线以及几何亏格等。这些基本概念是后续所有讨论的基础。 接着，本书将重点关注代数曲面上的纤维化（fibration）结构。纤维化是代数曲面的一种重要分类方式，它将一个复杂的曲面分解为一系列“纤维”（通常是曲线）在某个基空间上的“嫁接”。研究基空间上的点与纤维的性质之间的关系，是理解代数曲面全局结构的关键。本书将深入探讨各种重要的纤维化，如椭圆纤维化、抛物纤维化等，并分析这些纤维化所诱导的曲线的性质。例如，对于椭圆纤维化，我们将会看到纤维通常是光滑的椭圆曲线，而其退化纤维则展现出丰富的奇点结构，这些奇点与曲面本身的奇点密切相关。 代数曲面上的曲线的同调群和上同调群是理解其拓扑性质的重要工具。本书将详细介绍这些代数工具在研究曲线时的应用。我们将学习如何计算代数曲面上的Picard群，它描述了曲面上的线丛，而线丛与曲线的自相交数等几何量直接相关。代数几何中的第一陈类（Chern classes）也是本书讨论的重要内容，它们提供了关于曲面及其上的子簇（包括曲线）的拓扑信息。我们会探讨Chern类如何与曲线的几何不变量（如亏格）联系起来，例如著名的Hirzebruch-Riemann-Roch定理，它在代数曲面上的复线丛以及曲线的相交性质的研究中扮演着核心角色。 本书的另一重要主题是代数曲面上的线性系统（linear systems）。线性系统是代数曲面上代数曲线的集合，它们具有良好的代数和几何性质。通过研究线性系统，我们可以构造出新的曲线，或者找到具有特定性质的曲线。例如，正则线性系统（canonical linear system）和特异线性系统（adjunct linear system）的性质，对于理解曲面的极有理（general type）、K3曲面以及Abel簇等分类至关重要。本书将深入探讨这些线性系统的存在性、维度以及它们所代表的曲线的几何特征。 代数曲面上的奇点及其对曲线的影响，也是本书不可或缺的一部分。当曲面本身存在奇点时，其上的曲线也可能展现出复杂的退化行为。本书将介绍一些经典的代数曲面奇点，如Cauchy奇点、ADE奇点等，并分析这些奇点对局部曲线性质的影响。例如，在研究曲面奇点附近的曲线时，我们常常需要借助代数解消（algebraic resolution）的技术，将奇点“平滑化”，以便更好地分析曲线的局部结构。 本书还将深入到一些更专业的领域，例如模空间（moduli spaces）。模空间是一个对象空间上的几何结构，它将具有相似性质的对象“聚集”在一起。研究代数曲面上的曲线的模空间，可以帮助我们理解具有特定拓扑和几何性质的曲线的整体结构。例如，代数曲线的模空间是代数几何中的一个经典研究对象，而本书将进一步探讨代数曲面上曲线的模空间，这涉及更复杂的几何构造和代数工具。 此外，代数曲面上的自同构群（automorphism group）及其与曲线的关系，也将被纳入讨论范围。自同构群是保持曲面结构不变的映射的集合，研究这些映射如何作用于曲线，可以揭示曲面和曲线之间深刻的对称性。 本书的写作风格严谨而清晰，力求在保留数学深刻性的同时，尽可能地使读者易于理解。理论的阐述伴随着大量的例子和练习，帮助读者巩固所学知识。对于一些复杂的证明，作者会提供详细的步骤和推理，引导读者逐步掌握。 总而言之，《代数曲面上的曲线》是一部集理论深度、应用广度和数学美感于一体的杰作。它为读者打开了一扇通往代数几何核心问题的窗口，展现了代数曲面及其上曲线的丰富多彩的世界。通过本书的学习，读者将能够深刻理解代数曲面上的曲线所蕴含的深刻的几何和拓扑信息，为进一步深入研究代数几何打下坚实的基础。本书不仅是数学研究者的宝贵参考，也是任何对抽象数学之美着迷的读者的理想读物。

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读完这本关于代数曲线上曲线的讲义，我最大的感受是作者在处理基础概念时的那种近乎苛求的严谨性。他并未满足于仅仅罗列定义和公式，而是花费大量篇幅去追溯这些概念的几何起源和代数根基，尤其是在引入向量丛和张量场时，作者的讲解方式非常注重读者的直观感受。例如，在讨论曲线的典范环结构时，作者引入了一些非常巧妙的例子来帮助读者区分不同情形下的局部性质，这种深入浅出的教学方法，对于习惯于计算但对几何直觉较弱的读者来说，帮助极大。书中的图示虽然相对简洁，但每一个都经过精心设计，精准地捕捉了问题的核心难点。在我看来，本书的价值不仅在于其理论深度，更在于其作为一本优秀教材的特质——它能够引导读者建立起坚实的理论框架，而非仅仅停留在公式的堆砌上。对那些渴望真正掌握代数几何核心思想的人而言，这本书无疑提供了坚实的基础。

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这部著作的出版，对于几何学研究领域无疑是一次重要的贡献，它深入探讨了代数曲面上的曲线理论，为我们理解复杂几何结构提供了全新的视角和严谨的数学工具。作者在书中对各种经典定理的阐述，体现了其深厚的学术功底和卓越的洞察力。尤其是对于黎曼-罗赫定理在曲面上的推广和应用部分，作者的处理方式极为精妙，不仅清晰地梳理了理论脉络，更在证明过程中巧妙地结合了代数几何与微分几何的精髓，使得原本抽象的数学概念变得触手可及，这对于正在构建自己理论体系的研究生和青年学者来说，无疑是一本极佳的参考书。书中对特定代数曲面家族（如K3曲面和Abel簇）上曲线性质的分析，更是展现了作者对前沿问题的关注度，这些内容极大地拓宽了我们在解决实际几何构造问题时的思路，使我们能够更有效地驾驭高维空间中的几何对象。总而言之，这是一部结构严谨、内容深刻的专业读物，是几何学家案头不可或缺的宝典。

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这本书的价值，更在于它为我们提供了一套处理“在非奇异曲面上研究代数曲线”这一经典问题的现代分析框架。作者对奇点理论在曲面上的应用进行了详尽的探讨，特别是关于自相交曲线和交点重数计算的代数方法，展现了高超的技巧。书中有一个章节专门分析了平面曲线理论中成熟的概念，如“阿贝尔定理”的曲面推广，作者通过引入“Picard群”和“线丛的度量”等工具，将这些概念提升到了更高的维度，使得原本相对固化的理论焕发出了新的生机。我特别欣赏作者在书的尾声部分留下的若干未解决问题和研究方向的展望，这些提示不仅是对现有理论边界的清晰界定，更是对未来研究者发出的邀请。阅读完这些内容，我感觉自己不仅是学习了一门学科的知识，更是参与了一场跨越时代的数学对话，对该领域未来的发展方向有了更具建设性的思考。

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坦率地说，初次接触这本书时，我被其开篇的抽象程度稍微震慑了一下，这绝不是一本适合轻松阅读的书籍。它需要读者预先具备扎实的概域代数和经典代数几何知识。然而，一旦跨过最初的门槛，你会发现作者在处理复杂的代数几何对象时，所展现出的那种优雅和简洁令人叹服。特别值得称道的是，作者在讨论如何从代数曲面上的曲线出发，构建和研究更高维的几何结构时，所采用的“自下而上”的策略。他没有一开始就引入过于宏大的框架，而是从最简单的点和线开始，逐步抽象到割线簇、切线簇，最后才过渡到更高阶的切平面和法曲率的代数表达。这种循序渐进的构建过程，极大地降低了读者对复杂几何概念的接受难度，使得读者可以清晰地追踪每一个代数工具背后的几何含义，避免了在纯符号运算中迷失方向。

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这本书的语言风格，初看起来或许略显古典和内敛，但细细品味之下，却能感受到一种老派数学家特有的沉稳与力量。作者似乎不太热衷于追逐最新的、还未完全成熟的理论热点，而是将笔墨集中在那些经过时间检验的、具有深远影响力的核心理论上。我对其中关于“曲线在特定模空间中的形变理论”的讨论印象尤为深刻。作者没有回避该领域固有的技术难度，而是通过一系列精心构建的引理和命题，逐步揭示了形变空间的局部结构，这部分内容在其他教材中往往被一带而过，或者只给出高度简化的概述。在这里，每一步逻辑的推导都环环相扣，展现了一种古典的、几乎是建筑般的严密性。对于那些需要将代数曲面理论应用于更广阔的数学分支，比如数论或拓扑学中的交叉研究人员，这本书提供的扎实基础和清晰的结构性论证，是解决复杂问题的关键钥匙。

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