自相似集的结构 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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页数:186

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出版时间:2010-1

价格:38.00元

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isbn号码:9787030262844

丛书系列:现代数学基础丛书

图书标签:

• 自相似集
• 分形几何
• 数学分析
• 拓扑学
• 迭代函数系统
• Hausdorff维数
• 几何测度论
• 动力系统
• 复杂性科学
• 非线性科学

好的，这是一份关于《自相似集的结构》之外的图书简介，旨在深入探讨其他数学或物理领域的主题，篇幅大约1500字。 --- 图书名称： 《拓扑动力学与奇异吸引子的几何形态》 作者： 冯宇航 出版信息： 世纪之光出版社，2024年10月 定价： 168.00元 ISBN： 978-7-5779-0123-4 --- 核心内容概述 《拓扑动力学与奇异吸引子的几何形态》是一部深入探索非线性动力学系统在长时间演化中所展现出的复杂、有序与混沌特性的专著。本书聚焦于经典（如洛伦兹系统、彭罗斯系统）和现代（如高维流形上的光滑映射）动力学模型的拓扑性质，旨在揭示系统行为背后的几何结构和不变性原理。全书结构严谨，从基础的流形理论和微分动力学出发，逐步深入到奇异吸引子（Strange Attractors）的构造、测量和拓扑分类。 本书不仅仅是一部理论综述，更是一本强调几何直觉与严格证明相结合的教材。它旨在为数学、物理、工程学及计算机科学领域的研究人员和高年级学生提供一个理解复杂系统内在秩序的框架。 第一部分：动力学系统的基础几何 本书的开篇部分为读者奠定了理解复杂动力学系统的必要数学基础。我们首先回顾了李群、李代数在描述连续对称性上的作用，并将其延伸至光滑流形上的向量场理论。 第1章：流形与向量场 本章详细阐述了微分流形、切空间、张量场等概念，这些是描述动力学系统相空间的必要语言。我们着重讨论了流的概念（Flows）及其局部性质，如不动点、极限环的稳定性分析，引入了庞加莱映射（Poincaré Map）作为分析周期性与混沌现象的工具。 第2章：稳定性理论与庞加莱-霍普夫定理 本章深入探讨了线性化方法在判断局部稳定性和鞍点分类中的应用，特别是中心流形理论，它帮助我们将高维系统的复杂行为简化到低维的子空间中。随后，本书引入了全局稳定性理论，包括李雅普诺夫函数（Lyapunov Functions）的构造，并详细分析了彭罗斯（Penrose）体系的拓扑不变量，为理解不可积系统的特性打下基础。 第二部分：奇异吸引子的拓扑与测度 非线性系统的核心魅力在于其演化路径可能收敛于高度复杂的集合——奇异吸引子。本部分是本书的重中之重，它以前所未有的深度解析了这些集合的几何形态、维数计算以及测量理论。 第3章：混沌的量化：李雅普诺夫指数谱 我们不再仅仅停留在定性描述混沌，而是转向定量分析。本章详尽介绍了计算多重李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents）的算法和理论意义，特别是如何通过指数谱的符号来区分周期性、准周期性和完全混沌状态。本章包含对高精度数值模拟结果的几何解释，强调了指数谱在系统参数空间中的突变点（Bifurcations）处的关键作用。 第4章：分形几何与豪斯多夫维数 奇异吸引子的核心特征在于其“分形结构”。本章系统回顾了分形几何的基础，包括豪斯多夫测度（Hausdorff Measure）和豪斯多夫维数（Hausdorff Dimension）。我们详细推导了著名的洛伦兹吸引子（Lorenz Attractor）的拓扑边界和内嵌维度的计算方法，并对比了盒计数维数（Box-Counting Dimension）和信息维数（Information Dimension）在处理实验数据时的优缺点。 第5章：测度论在动力学中的应用：盆地与边界 动力学系统的长期行为不仅取决于吸引子本身，还取决于初始条件所处的“吸引盆地”（Basins of Attraction）。本章聚焦于吸引盆地边界的拓扑复杂性。我们将深入探讨“边界破碎”（Basin Boundary Fragmentation）现象，并使用概率论和测度论的工具来定义和分析这些边界的拓扑复杂度，展示了混沌系统中“敏感依赖性”的精确数学根源。 第三部分：拓扑共轭与系统分类 理解不同动力学系统之间的关系，是深入研究其本质的关键。本部分致力于发展一套基于拓扑不变量的系统分类方法。 第6章：拓扑共轭与同胚映射 本章严格定义了拓扑共轭（Topological Conjugacy），这是判断两个动力学系统是否本质相同的最强条件。我们探讨了在有限维空间上，证明两个流或映射是拓扑共轭的困难性，并引入了Smale的马蹄（Smale Horseshoe）理论作为非一致延展性（Non-Uniform Hyperbolicity）的基石。 第7章：微分共轭与克鲁日（Krugman）不变量 在光滑动力学中，我们更关心微分共轭（Diffeomorphic Conjugacy）。本章探讨了在何种条件下，拓扑共轭可以提升到微分共轭的层次。我们引入了由克鲁日提出的一系列基于高阶导数不变性的拓扑不变量，用以区分那些在拓扑上看似相同但其局部演化速率截然不同的系统。这部分内容尤其适用于研究保体积（Volume-Preserving）系统的长期演化。 第8章：系统稳定性与拓扑刚性 本书的结论部分关注拓扑刚性（Topological Rigidity）的概念。即，在何种情况下，一个动力学系统对其拓扑结构具有极高的敏感性，使得微小的系统扰动都无法保持其拓扑类型。我们分析了柯兰（Coveney）对高维流形上光滑向量场的分类尝试，并讨论了在小扰动下，拓扑结构保持不变的临界条件。这为理解自然界中复杂系统的鲁棒性（Robustness）提供了理论基础。 目标读者 本书适合具有扎实的实分析、微分几何和常微分方程基础的研究生、博士后研究人员以及从事非线性科学、复杂系统建模、流体力学和理论物理学领域的高级工程师和教师。阅读本书需要对拓扑学和测度论有初步的接触。 特色与亮点 几何可视化驱动： 结合了大量原创的相图和几何剖面图，将抽象的数学概念具象化。 严谨的证明体系： 所有的关键结论均提供了详细的数学证明，而非仅仅陈述结果。 前沿交叉： 将经典的动力学理论与现代的分形几何、遍历理论紧密结合，展现了动力学系统的全貌。 --- 《拓扑动力学与奇异吸引子的几何形态》 将带领读者穿越复杂系统的迷雾，用几何的语言解读混沌的秩序，是理解当代非线性科学不可或缺的工具书。

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