Elementary Linear Algebra, with Applications (Prindle, Weber & Schmidt Series in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:PWS Pub. Co.

作者:W. Keith Nicholson

出品人:

页数:600

译者:

出版时间:1994-01

价格:USD 53.25

装帧:Hardcover

isbn号码:9780534921897

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 数学
• 应用
• 高等教育
• 本科
• Prindle Weber & Schmidt
• 教材
• Elementary Linear Algebra
• 代数
• 数学教材

代数之境：从基础到前沿的数学探索 一部聚焦于现代数学核心概念的综合性著作，旨在引导读者深入理解代数结构、分析方法与离散结构之间的深刻联系。本书不涉及线性代数的基础应用，而是将重点完全置于代数系统的内在逻辑、高级概念的构建以及其在更抽象数学分支中的角色。 --- 第一部分：群论的严谨基石与结构解析 (Foundations of Group Theory and Structural Analysis) 本部分将读者从初级的代数运算带入到抽象代数的核心——群论。我们摒弃对矩阵运算的侧重，转而专注于群作为基本代数结构的内在性质。 第一章：群的公理化与同态映射的精细描绘 (Axiomatization of Groups and Meticulous Description of Homomorphisms) 本章详细阐述了群（Group）的严格定义，包括封闭性、结合律、单位元和逆元的存在性。我们将深入探讨有限群的计数理论，引入拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）及其在确定子群阶数方面的核心作用。讨论的重点在于生成元与关系式的表示法，而非群作用于集合的几何直观。 子群与陪集 (Subgroups and Cosets): 侧重于陪集的构造性定义，以及它们如何导向商群（Quotient Group）的构建。 同态与同构 (Homomorphisms and Isomorphisms): 深入分析核（Kernel）和像（Image）的性质，特别是第一同构定理的代数证明及其在抽象结构识别中的威力。我们将探讨循环群、二面体群（Dihedral Groups）以及四元数群（Quaternion Groups）的内部结构，对比它们的代数特征。 第二章：环、域与理想的层级结构 (Hierarchical Structures: Rings, Fields, and Ideals) 本章将代数的视野扩展到包含两种运算的结构——环（Ring）。我们将区分交换环与非交换环，并强调单位元与零因子的概念。 重要环结构： 详细研究整环（Integral Domains）的特性，以及域（Field）作为满足除法运算的特殊环的结构重要性。 理想理论 (Ideal Theory): 深入探讨左、右、双边理想的概念，并将其与商环的构建联系起来。重点分析主理想（Principal Ideals）、极大理想（Maximal Ideals）和素理想（Prime Ideals）之间的关系，这些是判断环结构复杂度的关键指标。 唯一因子化与诺特定理 (Unique Factorization and Noetherian Property): 讨论主理想整环（Principal Ideal Domains, PIDs）的唯一因子分解性质。引入诺特环（Noetherian Rings）的定义，并探究其在代数几何和代数数论中的预备意义。 --- 第二部分：高级代数结构与范畴论的萌芽 (Advanced Algebraic Structures and Inception of Category Theory) 本部分旨在介绍超越基础环论的高级结构，并为读者建立更高级数学分支（如代数拓扑和同调代数）所需的概念基础。 第三章：模论：向量空间的推广 (Module Theory: Generalization of Vector Spaces) 模（Module）被视为向量空间（Vector Space）在更一般系数环上的推广。本章的核心在于理解模的自由性、射影性与内射性。 基本模概念： 子模、商模、模同态。我们着重分析左模和右模之间的细微差异，特别是在非交换环的背景下。 自由模与基 (Free Modules and Bases): 讨论自由模的构造，以及为什么在一般环上，一组生成元不一定能构成唯一的“基”。 有限生成模与结构定理： 阐述有限生成模的结构定理（例如，针对主理想环上的模），这为理解复杂代数对象的分解提供了强有力工具。 第四章：张量积与双线性结构 (Tensor Products and Bilinear Forms) 张量积（Tensor Product）是连接不同代数结构（如群、环、模）的桥梁。本章聚焦于其构造的唯一性与双线性泛性质。 张量积的构造与万有性 (Construction and Universal Property): 通过直和与商构造详细推导张量积 $M otimes_R N$ 的定义，并严格证明其万有性。 张量积的性质： 探讨张量积的结合律与交换律，以及它如何保持模的秩和自由性。 双线性映射与张量 (Bilinear Maps and Tensors): 引入双线性映射的概念，并解释张量如何作为这些映射的“打包”形式，为后续学习微分几何中的张量分析奠定基础。 第五章：范畴论的初始视角 (An Initial Perspective on Category Theory) 本章提供了一个高层次的视角，介绍范畴（Category）作为组织数学对象的框架。这不是关于具体计算，而是关于结构间的关系。 范畴、对象与态射 (Categories, Objects, and Morphisms): 定义范畴 $mathcal{C}$，对象 $A, B$ 和态射 $f: A o B$。强调态射的复合与结合律。 积与余积 (Products and Coproducts): 以抽象的方式定义范畴中的积（如笛卡尔积在集合范畴中的体现）和余积（如直和）。这些是连接不同数学领域的通用构造。 函子与自然变换 (Functors and Natural Transformations): 介绍函子如何实现范畴之间的结构保持映射，以及自然变换如何度量这些函子之间的“相似性”。这为理解代数结构如何在不同数学语言间转换提供了理论工具。 --- 第三部分：伽罗瓦理论与代数数论的先声 (Galois Theory and Prolegomena to Algebraic Number Theory) 最后一部分将代数理论应用于方程的根，并引入代数数论的初步概念，探讨域的扩张与对称性。 第六章：域扩张与伽罗瓦群 (Field Extensions and Galois Groups) 本章的核心目标是理解多项式根域的结构，并将其与域的自同构群联系起来。 域扩张的类型： 详述代数扩张（Algebraic Extension）与超越扩张（Transcendental Extension）。分析有限域的结构，以及它们在密码学中的重要性。 伽罗瓦群的定义与性质： 引入伽罗瓦群 $Gal(L/K)$ 作为域扩张 $L$ 保持 $K$ 不变的自同构集合。重点分析其在决定扩张性质中的作用。 基本定理 (The Fundamental Theorem of Galois Theory): 详细阐述伽罗瓦对应定理，该定理将域的中间扩张与伽罗瓦群的子群之间建立起一一对应关系。我们将利用此定理来代数地证明五次及更高次方程一般不可用根式求解的结论，纯粹基于群论的对称性分析。 第七章：代数整数与环的因子化问题 (Algebraic Integers and Factorization in Rings) 本章将域扩张的结构理论应用于数论，侧重于代数数论的入门概念。 代数整数的定义： 定义在某个域扩张中，满足首一整系数多项式的元素为代数整数。探讨 $mathbb{Z}[i]$（高斯整数环）等例子。 范数与迹 (Norm and Trace): 定义域扩张的范数和迹，作为衡量元素“大小”的线性代数工具在代数数论中的体现。 因子化问题的重新审视： 重新审视第二部分讨论的唯一因子化概念，并展示在一般代数数域中，环（如 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$）如何失去唯一因子分解性质，从而引入理想理论（而非元素因子化）在数论中的必要性。 --- 总结 本书的设计哲学是构建一个稳固的、不依赖于几何或分析直觉的纯代数框架。读者将获得对群、环、模、张量积以及域扩张理论的深入理解，这些知识是通往代数几何、拓扑代数和理论物理学等前沿领域所必需的抽象工具箱。全书的重点在于结构的精确定义、定理的严格证明以及代数系统间的相互映射与转换能力。

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阅读体验上，我必须点赞其排版设计，这在技术书籍中实属难得。字体选择和数学符号的清晰度，极大地减轻了长时间阅读带来的眼睛疲劳。尤其是在处理大型矩阵运算或者多重向量空间嵌套的证明时，清晰的格式和恰当的间距，能有效防止视觉混淆，这对于理解复杂的矩阵乘法顺序至关重要。不过，本书在引入某些现代计算工具的应用时略显保守。虽然理论部分无可指摘，但对于习惯了使用 MATLAB、Python/NumPy 或 R 进行线性代数计算的学生而言，书中对这些现代编程环境的集成度可以更高一些。它更多地侧重于手算和概念验证，这当然有助于打基础，但在实际工作中，很少有人会手动进行 $100 imes 100$ 矩阵的求逆。如果能在每一章的末尾增加一个“计算实践”的小节，指导读者如何利用主流软件高效地完成对应的数值计算，这本书的实用价值会更上一层楼，真正实现理论到实践的无缝过渡。

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这本书的叙事风格是那种非常典型的、不加修饰的学院派风格，逻辑链条极其紧密，几乎没有一句废话，直奔主题。它假设读者已经具备一定的代数预备知识，所以对一些初级代数概念的复习非常简略。如果你是数学背景薄弱的读者，可能需要搭配一本更侧重于基础代数预备知识的辅导材料一同使用，以确保你对“域”或“环”这些基本概念没有理解上的偏差。然而，一旦你跨过了最初的适应期，你会发现这种高效的叙述方式带来的巨大优势：知识点的密度极高，能在相对较少的篇幅内覆盖到线性代数的核心分支。对于资深学习者而言，这本书可以作为一本极好的参考手册，当你需要快速回顾某个定理的严格证明或某个概念的正式定义时，它的索引和结构能够让你迅速定位。它不像某些通俗读物那样试图用比喻来解释一切，而是用最精准的数学语言来构建知识体系，这种对精确性的执着，最终构建了一个极其坚固且可靠的线性代数知识框架。

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**《线性代数基础与应用》读者评价** 这本书绝对是理解线性代数核心概念的绝佳入门读物，尤其对于那些初次接触矩阵、向量空间和线性变换的读者来说，它的讲解方式极其清晰直观。作者似乎非常懂得初学者的思维定式，从最基础的线性方程组入手，循序渐进地引入了更抽象的结构。我特别欣赏它对几何直觉的强调，书中的图示和可视化描述，让那些纯粹的代数运算不再是冰冷的数字游戏，而是有了具体的空间图像。比如，讲解特征值和特征向量时，它不是上来就抛出复杂的定义，而是先从矩阵变换如何“拉伸”或“旋转”空间入手，这使得我对这些概念的理解瞬间立体了起来。书中大量的例子都挑选得恰到好处，既能展示理论的严谨性，又不会因为过于复杂而让人望而却步。相比我以前看过的某些教材，这本书在保持数学严谨性的同时，成功地降低了初学者的心理门槛，让我在面对诸如“基”和“维数”这类听起来高深莫测的概念时，能保持学习的信心和兴趣。对于想要为后续的微分方程、概率论或数据科学打下坚实线性代数基础的人来说，这本书绝对是首选的“垫脚石”。

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坦率地说，这本书的结构组织虽然严谨，但对于那些习惯了快节奏、碎片化学习的现代学生来说，可能需要极强的自律性才能啃完。它的习题设计是其最强大也可能是最令人望而却步的一面。它不是那种只提供一堆计算题让你机械操作的教材，很多问题要求你从基本公理出发去证明一个较复杂的定理或性质。我尤其对那些“证明题”印象深刻，它们往往需要你整合前面好几章的概念才能完成。这意味着，如果你只是囫囵吞枣地看了例题，而在练习中没有真正去尝试构建自己的逻辑链条，那么合上书本后，你对矩阵空间的理解可能依旧是停留在表面的。个人感觉，这本书更适合那些有志于继续深造数学或理论物理的学生，他们需要那种“硬核”的训练来磨练逻辑推理能力。对于只想应付一门期末考试的学生而言，这本书的深度可能超出了需求，但反过来说，这也是它价值所在——它提供的知识深度足以让你在未来面对更高级的数学挑战时，不会感到力不从心。

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读完这本厚厚的砖头书，我的感受是，它更像是一本为工程师和应用科学家量身定制的工具箱，而非仅仅是一本纯理论的数学专著。它在“应用”二字上确实下足了功夫，书中大量的案例展示了线性代数是如何在现实世界中发挥作用的。我记得有一章专门讨论了最小二乘法在线性回归中的应用，那段落的推导详尽到令人赞叹，它不仅告诉你公式是什么，更解释了为什么在存在误差的情况下，这种方法是最优的拟合策略。对于我们这些需要处理大量真实世界数据的专业人士来说，这种理论与实践的无缝对接至关重要。此外，书中对矩阵分解（如SVD）的介绍也处理得非常得体，它没有止步于纯粹的数学推导，而是穿插讲解了这些分解技术在图像压缩和主成分分析（PCA）中的实际效用。虽然某些高级主题的推导过程稍显跳跃，但只要结合书后提供的充足练习题去自行填补空白，最终的收获是巨大的。它强迫你不仅要“知道”如何计算，更要“理解”计算背后的物理或工程意义。

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