Numerical Solution of Ordinary Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Atkinson, Kendall E./ Han, Weimin/ Stewart, David

出品人:

页数:252

译者:

出版时间:2009-2

价格:759.00元

装帧:

isbn号码:9780470042946

丛书系列:Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs, and Tracts

图书标签:

• 数值方法
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《科学计算的基石：数值分析原理与方法》 引言 在科学研究和工程实践的广阔领域中，我们经常会遇到许多无法通过解析方法（即精确的代数推导）直接求解的问题。这些问题往往涉及复杂的数学模型，例如描述自然现象（物理、化学、生物）、工程系统（力学、控制、电路）或经济社会现象的方程。当这些方程的解析解难以获得，甚至完全不存在时，数值计算便成为了我们探索未知、理解世界的强大工具。本书《科学计算的基石：数值分析原理与方法》旨在为读者提供一套全面而深入的数值分析知识体系，涵盖从最基础的概念到高级的应用，帮助读者掌握运用计算工具解决实际问题的核心能力。 本书的重点并非单一的数学分支，而是横跨数学、计算机科学以及具体应用领域的交叉学科。我们关注的不仅是“如何算”，更是“为什么这样算”，并深入探讨不同数值方法的理论基础、精度、稳定性和效率。通过对数值分析原理的透彻理解，读者将能够更清晰地认识到计算的局限性，并能根据具体问题选择最合适、最可靠的计算策略。 第一部分：数值计算的基础 本部分将为读者构建坚实的数值计算理论基础。我们将从数字的表示和误差的来源入手，这是理解一切数值计算结果可靠性的前提。 浮点数表示与舍入误差： 计算机中数字的存储方式是有限的，这不可避免地引入了舍入误差。我们将详细介绍二进制浮点数的表示格式（如IEEE 754标准），分析其精度限制，并探讨累积误差如何影响计算结果的准确性。理解这一点对于避免“看似正确”但实则谬误的计算结论至关重要。 误差分析与传播： 误差并非孤立存在，它们会在计算过程中传播和累积。本书将介绍不同类型的误差（截断误差、舍入误差、模型误差等），并分析它们在基本算术运算、函数计算以及更复杂算法中的传播规律。我们将学习如何量化误差，并采取措施控制其影响，例如通过选择高精度算法或改进计算顺序。 数制转换与表示： 虽然现代计算机内部以二进制运算，但我们作为使用者常接触十进制。本章将涵盖十进制与二进制之间的转换，以及其他常用数制（如八进制、十六进制）的表示，为理解计算机内部的数值处理打下基础。 数值稳定性： 即使算法在理论上是正确的，但在实际计算中，微小的扰动（如舍入误差）也可能被放大，导致结果严重偏离真实值，这被称为数值不稳定。本书将深入探讨数值稳定性概念，分析哪些算法容易出现不稳定性，以及如何通过算法设计来提高稳定性，例如使用病态条件判断和条件数分析。 第二部分：方程求解与插值逼近 本部分将聚焦于解决科学计算中最常见的一类问题：求解方程以及用已知数据点逼近复杂函数。 非线性方程求解： 许多科学和工程问题最终归结为求解方程 $f(x) = 0$。我们将介绍多种迭代求解方法，包括： 二分法： 一种简单但稳健的根寻找方法，通过不断缩小区间来逼近根。 不动点迭代法： 将方程 $f(x)=0$ 转化为 $x = g(x)$ 的形式，通过迭代 $x_{k+1} = g(x_k)$ 来逼近不动点（即方程的根）。我们将分析其收敛条件。 牛顿-拉夫逊法： 一种收敛速度极快的（二次收敛）方法，利用函数的导数信息来迭代逼近根。我们将讨论其优缺点以及收敛性分析。 割线法： 牛顿法的变种，用割线代替切线，无需计算导数，适用于导数难以获得的情况。 多元非线性方程组求解： 将非线性方程求解扩展到多维空间，介绍雅可比矩阵和牛顿法在多元情况下的应用。 多项式插值： 当我们有一组离散的数据点 $(x_i, y_i)$，并且需要一个函数来“穿过”这些点时，插值方法就派上用场了。 拉格朗日插值： 构建一个唯一的、穿过给定数据点的多项式。我们将介绍其构造原理和计算方法。 牛顿插值： 另一种构造插值多项式的方法，其优点在于易于添加新的数据点而无需重新计算整个多项式。 分段插值（如三次样条插值）： 当数据点较多或函数变化较快时，高次插值多项式可能出现“龙格现象”（在数据点外部产生剧烈振荡）。分段插值通过在每段数据点上使用低次多项式，并施加连续性条件，可以获得更平滑、更可靠的插值结果。我们将重点介绍三次样条插值的原理和应用。 函数逼近： 插值是逼近函数的一种特殊情况，即要求函数严格通过所有数据点。而函数逼近则允许函数在整体上“最接近”数据点，但不一定通过所有点。我们将简要介绍最小二乘法等函数逼近方法，它们在数据拟合和模型构建中非常有用。 第三部分：数值积分与微分 本部分将探讨如何数值地计算定积分和求解微分问题，这是许多科学建模和模拟中的核心任务。 数值积分（求积法则）： 解析地计算定积分 $int_a^b f(x) dx$ 有时非常困难。数值积分通过将积分区间分割成小区间，并在每个小区间上用简单的函数（如多项式）来近似 $f(x)$，然后积分这些近似函数来得到原积分的近似值。 梯形法则： 用梯形面积近似积分。 辛普森法则： 用抛物线段（二次多项式）近似积分，精度高于梯形法则。 高斯求积： 一种更高级的求积方法，通过巧妙选择积分点和权重，能在较低的节点数下达到很高的精度。 多重积分的数值计算： 将数值积分的思想扩展到更高维度。 数值微分： 导数 $f'(x)$ 表示函数的变化率。数值微分通过利用函数在邻近点的值来近似计算导数。 有限差分法： 包括前向差分、后向差分和中心差分，它们在离散点上近似导数。我们将分析不同差分方法的精度和稳定性。 高阶导数的数值计算： 学习如何用有限差分法近似计算二阶及更高阶导数。 第四部分：线性代数系统的数值求解 线性代数在科学计算中无处不在，许多复杂问题最终都可以转化为求解线性方程组 $Ax = b$。本部分将深入研究这些系统的数值求解方法。 直接法： 高斯消元法： 将增广矩阵通过行变换化为行阶梯形或简化行阶梯形，然后通过回代求解。我们将分析其计算量和稳定性。 LU分解： 将系数矩阵 $A$ 分解为下三角矩阵 $L$ 和上三角矩阵 $U$ 的乘积。这使得求解 $Ax=b$ 变成求解 $Ly=b$ 和 $Ux=y$，计算效率高，尤其适用于求解多个具有相同系数矩阵的方程组。 Cholesky分解： 对于对称正定矩阵，Cholesky分解提供了一种更高效的分解方法。 病态方程组： 探讨系数矩阵的条件数，以及病态方程组求解的困难和可能的解决方案（如预条件）。 迭代法： 对于大型稀疏线性方程组，直接法可能计算量过大或存储空间不足。迭代法通过构造一系列逼近真实解的向量序列来逐步收敛。 雅可比迭代法： 基于对角线元素将矩阵分解，进行迭代。 高斯-赛德尔迭代法： 在雅可比迭代的基础上，利用更新后的变量值立即参与后续计算，通常收敛更快。 超松弛迭代法（SOR）： 在高斯-赛德尔迭代的基础上引入松弛因子，以加速收敛。 共轭梯度法： 对于对称正定矩阵，是一种非常强大且收敛迅速的迭代方法。 特征值与特征向量的计算： 许多物理和工程问题（如振动分析、稳定性分析）都涉及到计算矩阵的特征值和特征向量。我们将介绍幂法、反幂法、QR分解法等数值算法。 第五部分：数值方法在实际问题中的应用 本部分将前面介绍的理论知识应用于解决实际问题，展示数值分析的强大力量。 数据拟合与回归分析： 利用最小二乘法等方法，从观测数据中寻找最佳拟合模型，揭示数据背后的规律。 函数优化： 寻找函数的最大值或最小值，这在工程设计、资源分配等领域至关重要。我们将介绍梯度下降法、牛顿法等优化算法。 概率与统计计算： 蒙特卡洛方法、随机模拟在处理复杂概率模型中的应用。 数值仿真简介： 简要介绍如何将数值方法应用于模拟动态系统，例如物理过程的演化、流体动力学模拟等。虽然本书不深入探讨具体的微分方程数值解法，但会阐述其在更广泛领域的关联性。 结语 《科学计算的基石：数值分析原理与方法》是一本旨在为读者提供扎实数值计算技能和深刻理论理解的指南。本书强调原理与实践的结合，通过严谨的数学推导和对算法性能的深入分析，帮助读者建立起对数值方法的信心。掌握本书内容，读者将能够自信地运用计算机解决复杂的科学与工程问题，深入探索未知世界，并在不断发展的技术浪潮中保持竞争力。这本书不仅仅是一本教科书，更是开启科学计算大门的一把钥匙。

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