Lattices and Ordered Sets pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Roman, Steven

出品人:

页数:320

译者:

出版时间:2008-9

价格:$ 90.34

装帧:

isbn号码:9780387789002

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 序理论
• 格理论
• 序理论
• 代数结构
• 离散数学
• 组合数学
• 数学基础
• 集合论
• 拓扑学
• 抽象代数
• 数学

《抽象代数基础：群、环与域的探索》 这本书将带领读者踏上一段严谨而迷人的数学旅程，深入探索抽象代数的核心概念。我们将从最基本也是最富普遍性的结构——群（Groups）——开始，逐步构建起对代数世界更深层次的理解。 第一部分：群论的基石 在本书的开篇，我们将详细阐述群的定义。一个群是一个集合，配合一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元存在以及逆元存在这四个基本公理。我们不会仅仅停留在定义层面，而是会深入探讨这些公理的意义，以及它们如何塑造了群的结构。 群的定义与例子： 我们将从直观的例子入手，例如整数加法群 ($mathbb{Z}, +$)，非零实数乘法群 ($mathbb{R}^$, $ imes$)，以及对称群（Permutation Groups）。通过这些例子，读者可以直观地体会到抽象代数的强大之处，即用一套统一的语言描述看似不同的数学对象。 子群与陪集： 进一步，我们将引入子群（Subgroups）的概念。子群是群的“小兄弟”，它们本身也构成一个群。我们将学习如何识别子群，并理解子群在揭示群结构中的重要作用。陪集（Cosets）是另一个关键概念，它们将群划分成一系列互不相交的子集，为理解商群（Quotient Groups）奠定基础。 同态与同构： 函数在数学中扮演着桥梁的角色，在群论中也不例外。群同态（Group Homomorphisms）是保持群运算结构的映射，它们揭示了不同群之间的联系。当同态是双射时，我们就称之为群同构（Group Isomorphisms）。同构意味着两个群在代数结构上是等价的，尽管它们的元素可能不同。我们将通过大量的例子来阐明同态和同构的构造与判断。 正规子群与商群： 正规子群（Normal Subgroups）是理解群结构的“核心”。它们是那些其左陪集与右陪集总是相等的特殊子群。正规子群的存在使得我们能够构造出“商群”（Quotient Groups），这是理解单群（Simple Groups）和有限群分类的关键。我们将详细推导商群的定义和运算规则，并探讨一些重要的商群例子，如整数模 $n$ 加法群 $mathbb{Z}_n$。 循环群与生成元： 循环群（Cyclic Groups）是最简单的群之一，它们的每一个元素都可以由一个元素通过群运算反复生成。我们将深入研究循环群的性质，包括其子群结构，以及有限循环群与整数模 $n$ 加法群之间的深刻联系。生成元（Generators）的概念将帮助我们理解如何用最少的元素来描述一个群。 有限群的基本概念： 我们将简要介绍有限群（Finite Groups）的一些基本性质，例如拉格朗日定理（Lagrange's Theorem），它指出任何有限群的子群的阶（元素的个数）整除群的阶。这将为我们理解有限群的结构提供一个有力的工具。 第二部分：环的抽象世界 在掌握了群论的基础后，我们将步入一个更为丰富的代数结构——环（Rings）。环是在集合上定义了两个二元运算（通常是加法和乘法），并且这两个运算都满足一系列特定的公理。 环的定义与例子： 我们将从环的定义开始，包括加法构成阿贝尔群（Abelian Group），乘法满足结合律，以及乘法对加法满足分配律。我们将考察各种类型的环，例如整数环 ($mathbb{Z}$)，多项式环 ($R[x]$)，以及矩阵环。 交换环与单位环： 进一步，我们将区分交换环（Commutative Rings）和单位环（Rings with Unity）。在交换环中，乘法运算满足交换律，这使得许多运算更加简化。单位环则额外要求乘法运算存在单位元。 子环与理想： 类似于群的子群，环也有子环（Subrings）。子环是环的“子集”，并且本身也构成一个环。而理想（Ideals）则是环论中比子环更重要的概念。理想是特殊的子集，它们与环的乘法运算之间存在特殊的“吸收”性质。理想在构造商环（Quotient Rings）中起着至关重要的作用，其作用类似于群论中的正规子群。 环同态与环同构： 同样，我们将定义环同态（Ring Homomorphisms）和环同构（Ring Isomorphisms）。这些保持环运算结构的映射是理解不同环之间关系的强大工具。 商环与零因子： 我们将学习如何根据理想构造商环（Quotient Rings）。商环是理解某些重要环结构（如域）的基础。我们还会探讨零因子（Zero Divisors）的概念，即在环中相乘不为零但其中一个乘数为零的元素，这会极大地影响环的性质。 第三部分：域的探索与应用 在环的基础上，我们将进一步聚焦于一类特殊的环——域（Fields）。域是满足更多运算要求的环，特别是在乘法运算上，除了零元之外的任何元素都有乘法逆元。 域的定义与例子： 我们将给出域的严格定义，并展示常见的域，如实数域 ($mathbb{R}$)，复数域 ($mathbb{C}$)，以及有理数域 ($mathbb{Q}$)。我们还将介绍有限域（Finite Fields），如整数模 $p$ 加法乘法域 $mathbb{Z}_p$（当 $p$ 为素数时）。 域的性质： 我们将深入探讨域的各种基本性质，例如域中不存在零因子，以及域的任何非零元素都可以进行除法。 子域与域扩张： 域的子集如果本身构成一个域，则称为子域（Subfields）。域扩张（Field Extensions）是域论研究的核心内容，它研究如何通过添加元素来“扩张”一个已有的域，从而构造出更复杂的域。 多项式环与不可约多项式： 我们将讨论多项式环（Polynomial Rings）在域上的性质。不可约多项式（Irreducible Polynomials）在域扩张中扮演着关键角色，它们类似于素数在整数中的作用，是构造新域的基本“积木”。 域论在数学中的作用： 我们将简要介绍域论在代数数论、伽罗瓦理论、编码理论和密码学等重要数学分支中的应用，以展示其深远的理论价值和广泛的实践意义。 本书的特色： 严谨的数学论证： 本书将提供清晰、完整的数学证明，帮助读者理解每一个结论是如何得出的。 丰富的例题与习题： 为了加深理解，本书包含了大量的例题，以及精心设计的习题，涵盖了从基础到进阶的各个层面。 循序渐进的教学方法： 本书的章节安排循序渐进，从最基本的概念出发，逐步引入更复杂的结构，确保读者能够逐步建立起完整的知识体系。 概念的深入剖析： 我们不仅会给出定义，更会深入剖析每个概念背后的思想和联系，帮助读者建立直观的理解。 无论您是数学专业的学生，还是对抽象数学充满好奇的爱好者，本书都将是您探索群、环、域精彩世界的绝佳起点。通过对这些基本代数结构的深入学习，您将能够更好地理解更高级的数学理论，并为其在科学和技术领域的广泛应用奠定坚实的基础。

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本书主要介绍序理论和格论的基本理论，极少涉及其应用。内容丰富，清晰明快，既可以作教材也可以做参考书。总体来说对读者比较友好，突出理论本身使初学者更容易抓住重点。本书各小节间独立性较强，作为参考书也能很快找到需要的内容。

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