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出版者:

作者:Tobey, John/ Slater, Jeffrey/ Crawford, Jenny (CON)/ Blair, Jamie

出品人:

页数:768

译者:

出版时间:2008-12

价格:$ 194.36

装帧:

isbn号码:9780321578297

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 中级代数
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 学习
• 方程
• 函数
• 多项式
• 因式分解

揭秘数字世界的底层逻辑：精通现代数学核心概念 一部面向渴望深入理解数学核心、构建坚实分析基础的读者的权威著作。 本书并非聚焦于代数运算的细枝末节，而是致力于为读者搭建一个理解现代科学、工程、经济学乃至计算机科学背后的数学框架。我们相信，真正的数学力量源于对基本原理的深刻洞察和灵活运用，而非单纯的公式记忆。 第一部分：概念的基石——从离散到连续的过渡 本部分旨在夯实读者对数学语言的理解，并平滑地过渡到更高级的分析工具。我们摒弃了枯燥的纯粹符号操作，转而关注概念的几何意义和实际应用场景。 第一章：重塑函数观念——动态关系的精确描述 函数的本质： 不仅仅是输入与输出的映射，更是变量间相互依赖关系的抽象建模。深入探讨函数的定义域、值域的严格界限，及其在物理定律（如运动方程、热传递）中的角色。 超越线性： 线性函数作为理想化的模型，其局限性在真实世界中显而易见。本章重点剖析了二次、三次及高次多项式的行为特征——根的分布、转折点的意义（极值点的初步探讨），以及它们如何更精确地拟合非线性现象。 超越基础： 引入反函数与复合函数的概念，不仅仅是计算技巧，而是理解信息流向和变量转换的核心工具。例如，在物理学中，温度从摄氏到华氏的转换过程，即是一个复合函数在起作用。 第二章：有理与无理的边界——数系的拓展与约束 有理数的极限： 深入考察分数如何表示现实世界中的比例与比率。对分数运算的深入探讨，特别是复分式的化简，旨在训练读者处理复杂代数结构的能力。 无理性的必然性： 为什么存在 $sqrt{2}$ 这样的数？我们不只是陈述 $sqrt{2}$ 是无理数，而是通过严谨的证明展示其在欧几里得几何和更广泛的度量系统中的不可避免性。 指数的威力： 指数函数的引入，强调其在描述增长与衰减过程中的无可替代性。从自然数的指数到有理数指数，再到对实数指数的直观理解，为后续的指数和对数模型打下基础。 第二部分：约束与优化——不等式、方程组与系统分析 现实世界很少是精确平衡的，更多的是受到限制和追求最佳状态。本部分专注于处理“多于”或“少于”的数学表达，以及多变量间的相互作用。 第三章：不等式的力量——界限、容差与可行区域 线性不等式的几何解释： 如何将一个或多个不等式转化为二维平面上的“可行区域”。这对于理解资源分配、预算限制等实际问题至关重要。 绝对值的双重性： 绝对值不仅仅是距离的度量，更是对误差范围或双向波动的数学表示。解绝对值不等式，是掌握“容差”概念的关键一步。 高阶不等式的求解策略： 对于二次及更高次不等式，我们不再依赖简单的符号测试，而是结合函数图像的零点和曲线的凹凸性来确定解集，建立起代数与图形的强关联。 第四章：多维交互——方程组与矩阵的初步审视 联立方程的意义： 两个或多个变量在满足多个条件下的唯一解。重点讲解二元和三元线性方程组的求解方法（消元法、代入法），强调其在工程平衡点计算中的应用。 矩阵的视角（非代数运算核心）： 在本章中，矩阵被引入作为组织和简化多变量系统信息的工具。我们关注其结构而非行列式或逆矩阵的复杂计算，理解系数矩阵如何直观地表示变量间的耦合程度。 非线性系统的挑战： 探讨当方程组中包含二次或更高次项时，解的数量（可能为零、一、有限多或无限多）是如何变化的，以及图形交点如何对应于物理系统的稳定状态。 第三部分：复杂结构的解析——多项式与有理函数的深入剖析 本部分将目光聚焦于构成绝大多数连续模型基础的多项式函数，并引出其在特定点上的行为限制——有理函数。 第五章：多项式——从因式到根的探索 余式定理与因子定理的实用价值： 它们是如何将复杂的根式问题转化为简单的除法问题的。掌握这些定理，是高效处理高次多项式的关键。 有理根定理与超越复杂性： 如何系统地寻找可能存在的有理根，避免盲目尝试。这是一种严谨的、结构化的搜索方法。 多项式的图解行为： 零点（根）的重数如何决定图像与x轴的接触方式（穿过或相切）。这为理解振动、信号衰减等现象提供了视觉模型。 第六章：有理函数的结构与渐近行为 定义域的断裂： 为什么有理函数（多项式之比）会在某些点“消失”？对垂直渐近线的精确识别，对应于物理系统中资源耗尽或模型失效的临界点。 宏观趋势的预测： 水平渐近线和斜渐近线的意义。它们告诉我们，当变量趋向无穷大或无穷小时，函数行为的最终归宿，这对于长期趋势预测至关重要。 在局部进行线性近似： 如何通过函数在某一点的局部特性，来理解其在邻近区域的行为——这是微积分思想的萌芽，展示了代数模型如何向更精细的分析工具过渡。 第四部分：序列、级数与数列的无限之美 本部分将视野从单一函数的分析扩展到无限多个项的累积，这是理解连续过程离散化和统计分布的基础。 第七章：数列的规律性——从算术到几何的演变 算术数列： 恒定的增量，代表匀速变化过程（如等速运动）。求和公式的推导，展示了如何用有限的工具把握累加。 几何数列： 恒定的比率，代表指数级增长或衰减（如复利、放射性衰变）。其求和的特殊性质，特别是收敛性的讨论，引出下一章的主题。 第八章：无限的聚合——级数与收敛性 无穷级数的概念框架： 探索一个序列的无限项相加后，结果是趋于一个确定的有限值（收敛），还是无限膨胀（发散）。 几何级数收敛的临界点： 严格证明 $|r| < 1$ 时几何级数收敛的条件，这在金融建模和概率计算中具有核心地位。 未知的边界： 简要介绍更复杂的级数（如调和级数）如何发散，以此拓宽读者对“无穷大”的理解，并为后续学习更强大的泰勒级数打下直觉基础。 --- 本书的价值定位： 本书旨在成为一座坚实的桥梁。它不满足于代数计算的表面工作，而是深入挖掘每种数学工具背后的逻辑结构、几何直觉和建模能力。通过对函数、方程组、不等式以及序列的系统性梳理，读者将获得一个清晰、连贯的数学思维体系，为未来学习微积分、线性代数或概率论等高级课程做好充分的准备。它培养的不是解题机器，而是能用数学语言审视和解决复杂现实问题的分析家。

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