Sub-riemannian Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Calin, Ovidiu/ Chang, Der-Chen

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:2009-4

价格:$ 134.47

装帧:

isbn号码:9780521897303

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Sub-riemannian
• Mathematics
• Geometry
• 2009
• Sub-Riemannian Geometry
• Differential Geometry
• Geometric Analysis
• Singular Geometry
• Control Theory
• Optimal Control
• Non-smooth Analysis
• Mathematical Physics
• Harmonic Analysis
• Partial Differential Equations

《亚黎曼几何》 这本书为读者深入探索一个引人入胜的数学领域——亚黎曼几何——提供了一套严谨而详尽的导引。亚黎曼几何是对黎曼几何概念的自然延伸，它将向量场上的非退化二次型（度量张量）替换为一个子空间的集合，这些子空间在每一点都通过一组“可延展”的向量来定义。这种改变虽然看似微小，却开启了一个充满独特现象和挑战的几何世界，为我们理解空间结构和运动提供了全新的视角。 本书从最基础的概念出发，逐步构建起亚黎曼几何的理论框架。开篇我们会首先复习必要的可微流形和张量分析的知识，确保读者对后续内容的理解有扎实的基础。接着，我们将正式引入亚黎曼结构的定义，详细阐述子空间、可延展性以及它们的几何意义。这一部分将聚焦于理解亚黎曼度量如何影响空间的局部几何性质，以及如何从子空间的角度来描绘空间的“可通行性”。 随后，本书将深入探讨亚黎曼几何的核心议题之一：测地线。在亚黎曼空间中，测地线不再仅仅是连接两点的最短路径，而是沿着定义的子空间方向“尽可能直”的路径。我们将详细推导亚黎曼测地线的变分方程，分析其性质，并探讨存在奇异测地线的可能性，这是与黎曼几何的一个显著区别。我们会看到，由于子空间的限制，测地线的行为会变得更加复杂和有趣，例如在接触几何中出现的“水平曲线”和“垂直曲线”的概念，以及由它们构成的测地线网络的复杂结构。 本书还将深入研究亚黎曼几何中的曲率概念。虽然没有全局的度量张量，亚黎曼空间仍然可以定义一些形式的曲率，例如与子空间的可延展性相关的曲率，或者通过特定方法（如Hessian算子）定义的“水平曲率”。我们将介绍这些曲率的计算方法，并探讨它们在描述空间几何性质方面的作用。这些曲率的概念对于理解亚黎曼空间的拓扑和全局行为至关重要。 一个特别值得关注的主题是可延展性（controllability）和可达性（reachability）。在亚黎曼空间中，由于只能沿着子空间的方向移动，一个点能到达的区域受到极大的限制。本书将详细分析可延展性条件，并引入可达性集的概念。我们将探讨如何利用可达性来表征亚黎曼空间的全局几何特征，以及在哪些条件下，空间中的任何两点都可以相互到达。这一部分与控制理论有着深刻的联系，为理解动态系统的可控性提供了几何上的解释。 本书还将涉足一些重要的亚黎曼几何模型，例如海森堡群上的亚黎曼几何（Heisenberg group）和联系几何（contact geometry）。海森堡群上的亚黎曼几何是研究亚黎曼几何的重要范例，它具有丰富的几何结构和许多有趣的性质。联系几何则是在奇数维流形上定义的亚黎曼结构，具有独特的几何和拓扑特性，并且在物理学，特别是理论物理学中，有着重要的应用。 为了帮助读者掌握抽象的概念，本书将包含大量的例子和计算。从低维空间的直观几何解释，到具体流形上的测地线和曲率计算，我们力求让理论与实践相结合。每一个重要的定理和定义都配有清晰的阐述和相关的例子，帮助读者更好地理解。 本书的最后一章将探讨亚黎曼几何的最新进展和潜在应用。我们将简要介绍一些前沿的研究方向，例如亚黎曼流形的度量性质、与偏微分方程的联系，以及在计算机视觉、机器人学、以及理论物理学（如引力理论和量子场论）中的应用前景。我们希望通过展示亚黎曼几何的活跃研究领域，激发读者进一步探索的兴趣。 《亚黎曼几何》适合数学、物理学以及相关工程领域的研究生和高年级本科生。对于已经熟悉黎曼几何或微分几何的读者来说，本书将提供一个有益的扩展和新的视角。对于初学者，本书的循序渐进的叙述方式和丰富的例证，将引导他们逐步领略亚黎曼几何的魅力。本书的目标是培养读者对亚黎曼几何的深刻理解，并为他们未来在该领域的研究打下坚实的基础。

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这本书的阅读体验，很大程度上取决于作者对**历史脉络**的梳理和对**前沿争议**的介绍。在我看来，一本经典的几何学著作不应该只是一堆定理和证明的堆砌，它必须能让读者感受到这门学科是如何一步步从欧几里得空间的概念中挣脱出来，拥抱更广阔的几何世界的。我期待看到作者如何评价和区分诸如Cartan-Alekseev-Chow定理的现代阐释，以及不同学派在定义“完整性”和“可达性”上的细微差别。这种对学术遗产的尊重和批判性继承，能让读者构建起一个更立体、更具批判性的知识框架。如果书中能巧妙地穿插一些数学家的逸闻趣事，或者对某一关键证明的发现过程进行生动的描述，那阅读起来的体验会更加引人入胜。总而言之，我希望这本书能成为一部既能供高年级本科生作为挑战性阅读材料，又能让资深研究人员在其中发现新视角的“里程碑”式的著作。

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从一个长期致力于将数学工具应用于工程优化领域的应用数学家的角度来看，这本书的吸引力在于其潜在的**算法可行性**。很多纯数学的几何理论虽然优美，但在实际计算中却往往因为维度灾难或数值稳定性问题而束之高阁。我关注的核心在于，书中对**超曲面**的曲率张量（如Heisenberg群上的曲率）的分析是否导向了可以被有效数值模拟的离散化方案？是否探讨了在计算机辅助设计或路径规划中，如何利用这些亚黎曼几何的特性来设计更优化的、受限于非完整约束的运动轨迹？如果它只是停留在符号计算层面，那么对应用领域而言，价值将大打折扣。我希望看到书中包含一些关于如何利用**次梯度方法**或**变分原理**来解决亚黎曼测地线方程的实例分析，从而真正将抽象的微分几何转化为解决现实世界中优化问题的强大工具。这种结合，才是真正具有时代意义的数学著作。

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这本书的出版着实让我这位常年混迹于纯数学领域的读者感到一阵兴奋与好奇，它仿佛是一扇通往全新数学风景的窗户。从封面设计和排版来看，就能感受到作者团队在内容组织上的匠心独运，那份严谨与考究，是任何一本严肃的数学专著都应具备的基石。我期待它能以一种既保持深刻又不失清晰的方式，为我们铺陈出黎曼几何的“非完美”延伸——广义的亚黎曼几何。更重要的是，我希望它能巧妙地衔接起理论物理中关于非完整约束系统的直观理解与高维微分几何的抽象美学，而不是仅仅停留在纯粹的拓扑或代数构造上。阅读这类前沿书籍，最怕的就是那种晦涩难懂、术语堆砌的写作风格，我真心盼望作者能用更具启发性的语言，引导我们理解那些微妙的曲率概念是如何在切空间不再是内积空间的环境下重新定义的。如果它能成功地搭建起从经典微分几何到更具现实意义的控制理论或机器人运动学之间的桥梁，那这本书的价值就不仅仅是学术上的了，它将成为跨学科研究者案头必备的工具书。

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作为一名主要研究经典微分几何和拓扑学的学者，我对这本书的期望是它能提供一个真正具有洞察力的视角，来审视那些在标准黎曼框架下被“平滑”处理掉的奇异性。我尤其关注作者是如何处理**非完整约束**的积分可解性问题，以及那些由此产生的、在接触结构中至关重要的非平凡流形。通常，这类题材的教材要么过于偏重于抽象的分析方法，让几何直觉完全迷失在无穷级数的海洋里；要么又过于依赖于特定的例子，使得理论的普适性大打折扣。我的直觉告诉我，一本优秀的教材应该在这两者之间找到微妙的平衡点——既要精确推导出那些关键的微分方程和不等式，又要辅以足够直观的图示或几何解释，帮助我们理解为什么在某个方向上‘走不通’，以及这种‘走不通’如何塑造了流形的内在几何结构。如果这本书能有效地阐释这些结构如何影响测地线的行为，比如，在哪些条件下可以保证光滑的“捷径”存在，那它无疑将是我未来研究的重要参考。

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坦率地说，我对这类深入特定子领域的专业书籍总是抱有一种谨慎的乐观。我最看重的是作者对**经典基础**的重述是否得当。在进入更复杂的亚黎曼结构之前，读者是否能清晰地回顾和理解切空间上的张量分析、李导数和外微分在推广到亚黎曼框架时所面临的挑战？如果这些前置知识的铺垫过于仓促或依赖于其他不那么容易获取的参考资料，那么这本书的受众面就会被大大压缩。我希望看到一种循序渐进的教学法，也许可以从接触流形（Contact Manifolds）开始，逐步引入那些定义了亚黎曼度量的“垂直”和“水平”方向之间的微妙区分。此外，对于那些寻求理论物理应用（如等离子体约束或经典力学中的约束系统）的读者来说，这本书中关于**可积性**和**控制理论**的讨论深度，将直接决定其适用范围。我迫切想知道，作者是否提供了足够清晰的例子来说明，在不满足黎曼完备性的空间中，‘最短路径’概念是如何被重构的。

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