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出版者:Society for Industrial and Applied Mathematics

作者:Kazuo Murota

出品人:

页数:411

译者:

出版时间:1987-1-1

价格:GBP 60.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780898715408

丛书系列:

图书标签:

• Optimization
• 离散凸分析
• 凸优化
• 组合优化
• 数学规划
• 离散数学
• 算法
• 理论计算机科学
• 运筹学
• 优化理论
• 凸几何

图解数学史：从毕达哥拉斯到量子力学 本书并非一本枯燥的定理证明集，而是一场穿越时空的数学之旅，旨在揭示数学思想的演变脉络及其对人类文明的深远影响。我们将从古希腊的黄金时代启程，探寻毕达哥拉斯学派对数与和谐的痴迷，了解欧几里得《几何原本》的逻辑严谨如何奠定西方数学的基石。随后，我们将目光投向东方，领略古代中国在天文学、算术以及方程求解方面的卓越成就，如《九章算术》所展现的实用数学智慧。 在中世纪的沉寂之后，文艺复兴的曙光点亮了欧洲大陆。我们将在这一时期见证代数的萌芽，卡尔达诺和塔塔利亚等数学家如何为解三次方程而展开激烈的学术争论，这不仅是数学史上的重要事件，也折射出那个时代学者们对知识的渴望与竞争。紧接着，解析几何的诞生，笛卡尔的坐标系如何巧妙地将几何的直观性与代数的运算性融为一体，为后来的微积分奠定了不可或缺的基础。 十七世纪是数学史上一个辉煌的世纪。牛顿和莱布尼茨独立发明微积分，这一划时代的工具不仅彻底改变了科学研究的面貌，也深刻影响了我们理解运动、变化以及无限的概念。我们将深入浅出地剖析微积分的核心思想，并追溯其在物理学、工程学以及经济学等领域的早期应用。同时，概率论的诞生，帕斯卡和费马在赌博问题上的探讨，预示着对不确定性的数学刻画将成为未来科学的重要组成部分。 十八世纪，数学家们在微积分的基础上不断深化研究，傅立叶级数、微分方程等概念应运而生，极大地拓展了数学工具的边界。我们也将探讨数学在社会科学中的早期尝试，如社会契约论中对公平与正义的数学化思考，尽管初步，却充满了前瞻性。 十九世纪是数学“纯粹化”和“抽象化”的时代。高斯的“数学王子”称号并非浪得虚名，他在数论、代数、几何、概率等多个领域都做出了奠基性的贡献。高斯对数论的深入研究，例如同余理论，不仅具有深刻的理论意义，也为现代密码学埋下了伏笔。我们还将介绍非欧几何的诞生，黎曼、罗巴切夫斯基等人的工作如何挑战了欧几里得的公理体系，开启了对空间本质的全新认识，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。群论的出现，更是将抽象代数推向了一个新的高度，其在对称性研究中的应用，渗透到物理学、化学乃至艺术的方方面面。 进入二十世纪，数学的发展呈现出前所未有的广度和深度。集合论的公理化，康托尔的开创性工作，虽然一度引发争议，却为现代数学建立了一个坚实的基础。哥德尔不完备定理的出现，以一种震撼的方式揭示了形式系统的内在局限性，引发了人们对真理、证明以及逻辑边界的深刻反思。数学与计算机科学的联姻，图灵机的构想，计算复杂性理论的兴起，彻底改变了我们对计算能力的认知，并催生了信息时代的到来。 量子力学的数学框架，希尔伯特空间、算符等抽象概念，如何精确地描述微观世界的奇妙现象，我们将以通俗易懂的方式呈现。张量的引入，爱因斯坦的场方程，如何将引力理解为时空的弯曲，极大地颠覆了我们对宇宙的直观感受。 本书还关注数学在解决现实世界问题中的作用。线性规划的出现，如何高效地优化资源分配，在经济学和运筹学中发挥着至关重要的作用。图论的应用，如何在网络分析、交通规划、社交媒体分析等领域提供强大的工具。 此外，我们还将探讨数学的哲学内涵。数学的真理性究竟从何而来？数学是人类心智的创造，还是对客观现实的发现？这些问题，从柏拉图的理念论到维特根斯坦的语言游戏，一直在哲学家和数学家之间引发着不绝的辩论。 本书的叙述风格力求生动有趣，避免使用过于艰深的术语。我们将通过大量的图示、故事和类比，帮助读者理解抽象的数学概念。每一个章节都聚焦于一个或几个关键的数学思想或人物，并阐述其产生的历史背景、核心内容及其后续影响。我们不会止步于数学定理的陈述，而是更侧重于讲述数学思想是如何孕育、发展并最终影响人类文明进程的。 从毕达哥拉斯对数的热爱，到量子力学的奇幻世界，数学始终是理解和改造世界的强大引擎。本书希望能够激发读者对数学的兴趣，认识到数学不仅仅是抽象的符号和公式，更是人类智慧的结晶，是通往理解宇宙奥秘的金钥匙。通过回顾数学史的辉煌篇章，我们也能更好地展望数学在未来的无限可能。

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这本书带给我最大的震撼，是它如何优雅地处理了“维度灾难”的问题。在处理高维离散数据时，计算复杂性通常是呈指数级增长的。作者在这本书中引入的几个核心概念，比如某些特定形式的“拟模函数”（submodular functions）在离散凸集上的性质，提供了一种在不牺牲太多精度的情况下，有效降低计算维度的可能性。我花了好大力气去理解那些关于“次梯度”在离散空间中如何定义的段落，这与我们熟悉的连续函数的次梯度概念有着本质的区别，它涉及到偏序关系和方向导数的离散版本。我感觉自己仿佛被拉入了一个更高维度的几何空间中进行思考。这本书的排版和符号系统非常规范，这在处理大量数学公式时显得尤为重要，能最大限度地减少阅读中的符号混淆。总而言之，它不是一本用来快速解决眼前问题的书，而是一本能让你从根本上理解离散结构优化难题的“基石”之作。读完之后，我对如何构建高效的启发式算法，有了全新的、更具理论支撑的信心。

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我买下这本《离散凸分析》主要是因为我最近参与的一个项目需要处理大规模网络流问题，传统的算法在处理一些非线性的成本函数时显得力不从心。我希望能找到一些更具鲁棒性的数学工具来指导算法设计。这本书的价值在于它提供了一种强大的、统一的语言来描述这些复杂的离散现象。它里面关于“Minkowski 和”在离散空间中的性质讨论，对我启发特别大。我过去总是把离散问题和连续问题割裂开来，认为它们是两个独立的世界。然而，这本书巧妙地展示了两者之间并非是楚河汉界，而是存在着一种深刻的、通过“离散化”和“凸包”连接的桥梁。虽然书中的某些章节，特别是涉及到特定代数结构的论证部分，阅读起来需要极大的专注力，我甚至不得不停下来，查阅好几本基础的组合数学和格论的参考书才能跟上作者的思路。但付出这些努力是值得的，因为它让我意识到，很多困扰我很久的算法瓶颈，其根源可能在于对底层数学结构理解不够透彻。这本书更像是一本“内功心法”，它教你的不是招式，而是如何调动全身的“气力”去应对各种突发情况。

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坦白说，这本书的“劝退指数”绝对是五颗星。如果不是有明确的研究需求或者深厚的数学背景，普通读者恐怕连第一章都难以顺利通过。我个人是偏向于应用层面的研究者，面对这种纯粹的理论构建，我的阅读体验是断断续续、充满了挫败感的。它不是那种可以让你在通勤路上轻松翻阅的读物，它要求你必须找一个绝对安静、不受打扰的环境，准备好大量的草稿纸和计算工具。书中的证明极其严谨，几乎没有遗漏任何一个逻辑跳跃点，这对于追求理论完备性的人来说是优点，但对于我这种急于见到“应用成果”的人来说，就显得有些拖沓了。我尤其对其中关于“离散下半连续性”的讨论印象深刻，这在处理那些涉及集合选择和资源分配的现实问题时至关重要。这本书的价值在于它建立了一种严谨的“数学语言规范”，让原本模糊不清的直觉判断，能够被转化为可以被严格验证的定理和命题。它不是一本“工具箱”，而更像是一本“锻造工具的冶金学教材”。

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这本书的书名实在是太“硬核”了，光是看到“离散凸分析”这几个字，我就知道这不是一本轻松的读物。说实话，我一开始是带着一种既好奇又畏惧的心情打开它的。我本职工作是应用数学方向的，平时接触的更多是连续优化和泛函分析，对于涉及到格点、整数约束的离散结构，总觉得有点力不从心。这本书的作者显然对这个领域有着深刻的理解，他不仅仅是罗列公式和定理，更重要的是，他试图构建一个完整的、可以操作的理论框架。我特别欣赏他对基本概念的梳理，比如什么是“离散凸性”的精确定义，以及它与传统凸性的微妙关系。很多时候，我们处理实际问题时，数据本身就是离散的，而传统的凸优化工具往往需要依赖连续性假设，这在很多工程和经济模型中都是不成立的。这本书恰好填补了这一块的理论空白，它提供了一套全新的视角来看待那些看似“不规则”的优化问题。我感觉我像是在攀登一座理论的高峰，每爬升一步，都能看到更广阔的风景，尽管过程颇为艰辛，但最终的收获是巨大的知识体系的重塑。我对这本书的结构设计也印象深刻，它不像一些教科书那样枯燥乏味，而是通过一系列精心设计的例证，引导读者去思考离散结构在优化中的独特美感。

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这本书的魅力在于它的“去中心化”结构。它不像传统教材那样，紧紧围绕一个核心大定理层层展开，而是像一个精密的钟表，由许多独立但相互关联的子系统构成。每一个章节都可以看作是对离散优化某一特定侧面的深入挖掘。我特别喜欢作者在介绍新概念时，总是先给出其在经典凸分析中的对应物，然后清晰地指出两者在离散世界中是如何“变异”或“退化”的。这种对比的叙述方式，极大地帮助了我建立起新的认知模型。举个例子，书中对“极值点”在离散凸集上的特性的描述，完全颠覆了我过去对“最优解一定出现在边界”这种直觉的理解，它揭示了在离散世界中，最优性可能藏在“内部”的特殊结构中。这本书需要反复阅读，因为它的信息密度实在太高了，很多精妙的结论需要多次咀嚼才能体会到其中的深意。它要求读者摒弃掉对连续光滑世界的依赖，彻底拥抱离散世界的“棱角分明”。对于任何想在组合优化、图论算法或计算经济学领域有所建树的人来说，这本书与其说是一本参考书，不如说是一份必备的“理论身份证”。

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