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出版者:American Mathematical Society

作者:Ernst Binz and Sonja Pods

出品人:

页数:299

译者:

出版时间:2008-12-3

价格:USD 88.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821844953

丛书系列:

图书标签:

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• Heisenberg group
• Sub-Riemannian geometry
• Harmonic analysis
• Lie groups
• Geometric group theory
• Differential geometry
• Mathematical physics
• Partial differential equations
• Representation theory
• Operator theory

《海森堡群的几何学》 这本书深入探讨了海森堡群这一在数学和物理学中都扮演着重要角色的数学结构，并对其几何学性质进行详尽的分析。海森堡群，作为一种非交换李群，其独特的代数结构赋予了它丰富而复杂的几何特征。本书将从代数基础出发，逐步构建理解海森堡群几何学的必要工具和概念。 核心内容概述： 1. 代数基础与表示论： 海森堡群的定义与性质： 本书将首先清晰地定义海森堡群，并阐述其核心代数结构，包括其非交换性、中心子以及子群的性质。我们将深入研究其李代数，这是理解海森堡群几何学的关键。 表示论入门： 为了深入理解海森堡群的几何行为，了解其表示论至关重要。本书将介绍海森堡群的不可约表示，特别是其离散和连续表示。这些表示将为我们在函数空间中研究海森堡群提供丰富的视角。 2. 度量与几何结构： 海森堡度量： 本书将重点分析海森堡群上定义的各种自然度量。特别地，我们将关注 Carnot-Carathéodory (CC) 度量，它是在海森堡群的切空间上通过一组特殊的向量场来定义的。我们将详细讨论 CC 度量的性质，包括其度量空间结构、测地线以及由此产生的测地距离。 亚黎曼几何的视角： 将海森堡群视为一个黎曼流形，讨论其曲率张量、Ricci 曲率以及标量曲率。我们将探索这些几何量与海森堡群代数结构之间的深刻联系。 亚黎曼流形上的体积增长与收缩： 分析海森堡群上的体积增长行为，以及与此相关的几何现象。 3. 几何分析与微分方程： 拉普拉斯算子与热方程： 研究海森堡群上的亚黎曼切比雪夫算子（通常称为海森堡拉普拉斯算子）及其性质。我们将分析海森堡群上的热方程，探讨其解的性质，例如最大值原理、收缩性等，这些都与几何结构息息相关。 调和函数与调和映照： 引入海森堡群上的调和函数的概念，并研究其存在性、唯一性以及边界值问题。 4. 几何变换与对称性： 相似变换与等距变换： 分析海森堡群上的相似变换和等距变换，理解它们如何在几何上作用于海森堡流形。 海森堡群上的对称性： 探索海森堡群自身的内在对称性，以及它们如何影响其几何性质。 5. 应用与联系： 非欧几何的类比： 本书将探讨海森堡群的几何学与经典黎曼几何之间的联系与区别，展示非欧几何的丰富性。 与物理学的联系： 简要提及海森堡群在量子力学（例如海森堡不确定性原理）以及信号处理等领域的应用，从而说明其几何性质的重要性。 本书特色： 循序渐进的结构： 从基础概念出发，逐步深入到复杂的几何分析和性质。 严谨的数学论证： 提供清晰、详实的证明和推导。 丰富的几何直觉： 旨在帮助读者建立对抽象数学概念的几何理解。 连接代数与几何： 强调代数结构如何塑造和决定几何行为。 《海森堡群的几何学》适合数学专业研究生、研究人员以及对李群、黎曼几何、几何分析以及它们在其他科学领域中应用感兴趣的读者。通过阅读本书，读者将能够深刻理解海森堡群作为一类重要的几何对象所展现出的丰富而迷人的几何特性。

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如果用一句话来概括这本书给我的感受，那就是“洞察力与系统性的完美结合”。它成功地将海森堡群从一个简单的矩阵代数例子，提升到了一个可以进行丰富几何和分析研究的独立对象。例如，书中关于其“齐性空间”（Homogeneous Spaces）的构造和性质的论述，让我看到了如何通过群作用来赋予非线性空间以几何意义。作者在讨论如何利用傅里叶变换来分析群上的函数空间时，采取了一种非常分析性的视角，这与前面偏向拓扑和代数的章节形成了很好的互补。整本书的知识密度极高，几乎每一页都包含了值得反复咀嚼的数学见解。对于那些希望超越标准李群理论，专门研究幂零群几何特性的研究人员来说，这本书提供了一套非常成熟且深入的研究方法论。它不仅是知识的传授，更是一种高级数学思维模式的培养，引导读者从更宏观的结构层次去理解局部细节是如何相互关联的。

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这本书最让我感到震撼的是它对“测地线流”的深入剖析。作者不仅仅是定义了测地线，而是详细探讨了它们在海森堡群的非零曲率空间中的行为。特别是关于双曲性（Hyperbolicity）的讨论，尽管海森堡群本身不是经典的负曲率空间，但其局部结构和某些特定子群的行为，却展现出了有趣的类双曲特性。书中引入的若干关键引理和推论，直接成为了我后续研究某些非阿贝尔群结构时的重要参考点。这些推论的证明，往往需要巧妙地结合对数和指数函数的性质，以及对群元素的范数（Norms）的细致估计。这种对细节的关注，使得整本书的数学结构异常稳固。我特别欣赏作者在引入新的几何量时，总会先给出其在欧几里得空间或更简单群中的对应物，再过渡到海森堡群的复杂环境，这种循序渐进的方式，极大地降低了理解复杂几何概念的门槛，即使面对的是如此专业的题材。

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我必须承认，这本书的写作风格非常古典，带着一丝十九世纪末数学的严谨和对完美逻辑链条的执着。它更侧重于“为什么”和“如何构造”，而非“应用在哪里”。在介绍完基础的连通性和紧凑性概念之后，作者立即转向了对指数映射（Exponential Map）的详细分析，这部分内容需要读者对指数映射的收敛性和全局性质有深刻的理解。书中对李群拓扑结构的探讨，特别是关于其中心（Center）的分解和对基本群（Fundamental Group）的计算，处理得一丝不苟，每一步论证都清晰可见，没有丝毫模糊地带。对于我这种偏好几何直观的读者来说，有时候会觉得某些代数推导略显冗长，但反过来想，正是这种冗长确保了结论的无可指摘。这本书更像是一部严格的教科书或参考手册，而不是一本旨在普及概念的科普读物。它要求读者坐下来，拿出纸笔，与作者一同完成每一段论证的构建，从中获得的成就感是巨大的。

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阅读体验嘛，得说相当“硬核”，完全不是那种可以轻松翻阅的休闲读物。这本书的深度体现在它对不变量理论和表示论的集成上。它没有停留在介绍海森堡群的基本矩阵表示，而是迅速深入到如何利用其不变子空间来理解群的动力学。我记得有一个章节专门讨论了施罗德方程（Schrödinger equation）在海森堡群作用下的演化，那部分的数学推导非常精妙，将量子力学的波包扩散问题，完美地映射到了群的表示理论框架下。作者在处理测不变量（measure-invariant）问题时的细腻处理，显示出其深厚的分析功底。读到这里，我感觉自己仿佛在操作一个极其复杂的物理模型，而数学语言就是搭建这个模型的工具。这本书的价值在于，它提供了一个统一的视角，将看似分散的代数、分析和几何分支，通过海森堡群这个核心枢纽紧密地编织在一起。如果你只是想了解海森堡群的几个基本性质，这本书可能过于“杀鸡用牛刀”，但如果你想掌握用几何语言来刻画这类群的全部工具箱，那它就是无可替代的。

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这本《Heisenberg群的几何学》读下来，我感觉像是进行了一场极其严谨而又充满美感的数学探险。作者以一种近乎建筑师般的精确性，层层剥开了海森堡群这一复杂代数结构背后的几何直觉。书中对于群作用下的微分几何的探讨，尤其引人入胜。它不仅仅是罗列公式，而是巧妙地将抽象的群论与具体的测地线、曲率等概念联系起来。我特别欣赏作者在介绍幂零李群的结构时所采用的清晰路径，尽管材料本身深奥，但作者的叙述却保持了惊人的可读性。每一个定理的证明都经过了精心的设计，既保留了数学的严谨性，又尽量避免了不必要的符号堆砌。那些关于卡坦子代数（Cartan subalgebras）和不变黎曼度量的讨论，让人对如何“看见”高维空间中的对称性有了全新的认识。对于任何希望深入理解非紧致李群及其相关几何，尤其是涉及到量子力学或信号处理基础的数学家来说，这本书提供了一个坚实且优雅的蓝图。它要求读者具备扎实的代数和微分几何背景，但回报是极高的——对这种特定群类的几何特性，你会获得一种近乎直觉的把握。

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