Introduction to Partial Differential Equations and Hilbert Space Methods pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Gustafson, Karl E.

出品人:

页数:480

译者:

出版时间:1997-7

价格:$ 22.54

装帧:

isbn号码:9780486612713

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 希尔伯特空间
• 泛函分析
• 数值分析
• 数学物理
• PDE
• 有限元
• 变分法
• 谱方法
• 应用数学

数学物理前沿：泛函分析、微分几何与非线性动力学导论 本书旨在为高等数学、理论物理及工程科学领域的学生与研究人员提供一个深入而全面的视角，探索现代数学物理的基石——泛函分析、微分几何以及非线性动力学在解决复杂问题中的核心应用。全书内容紧密围绕这些领域的前沿进展及其在物理学、应用数学中的实际建模能力构建。 第一部分：抽象空间与算子理论：泛函分析的深度剖析 本部分聚焦于泛函分析的理论基础，旨在建立处理无限维空间中函数空间的稳固框架。不同于传统的有限维线性代数，本章将重点探讨如何在抽象的向量空间上定义拓扑结构、范数和内积，并深入研究这些结构对算子性质的影响。 1. 拓扑向量空间与度量空间的基础 我们将从严格的集合论和拓扑学基础出发，定义完备性、可分性和紧致性在无限维空间中的特殊表现。巴拿赫空间（Banach Spaces）和希尔伯特空间（Hilbert Spaces）的构造将是本节的核心。特别是，我们将详细讨论区分强收敛与弱收敛的物理意义，这对于理解时间演化系统的长期稳定性至关重要。 2. 线性算子与谱理论 本章将深入探讨定义在这些抽象空间上的线性算子的性质。从有界线性算子到无界线性算子，我们关注闭性、稠密性以及自伴随性（Self-Adjointness）在物理系统（如量子力学中的可观测量）中的重要性。 谱理论的构建： 我们将遵循经典的 Riesz 框架，逐步推导出有界算子的谱的定义，并自然过渡到紧算子的谱理论。随后，对于一般巴拿赫空间上的有界线性算子，将详细阐述其解析函数演算，这为理解算子的矩阵表示（即使在无限维情况下）提供了工具。 非紧算子的谱： 介绍 Fredholm 理论及其与紧算子谱的联系，以及讨论一般拓扑空间上算子的广义谱概念。 3. 变分法与最优控制 泛函分析的直接应用体现在变分原理中。本章将从 Euler-Lagrange 方程的无穷维推广出发，探讨泛函的变分（Fréchet 导数）。我们将讨论 Sobolev 空间（一类重要的函数空间，结合了函数值和其导数的 $L^p$ 范数）作为能量最小化问题的自然解空间。同时，我们将引入最优控制理论的框架，利用庞加莱-庞特里亚金极大值原理，在约束条件下寻找最优解的结构。 --- 第二部分：几何的语言：微分几何与流形理论 本部分将数学语言从线性空间提升至非线性、弯曲的空间——流形。微分几何是现代物理学（从广义相对论到规范场论）不可或缺的数学工具。 1. 流形与张量分析 我们将从抽象拓扑空间出发，引入光滑流形（Smooth Manifolds）的概念，重点关注 坐标无关性 的核心思想。 切空间与向量场： 详细定义在流形上一个点的切空间，作为线性逼近的工具。向量场被定义为切空间的截面，其作用是描述空间中每一点的局部方向和速率。 张量场： 介绍协变和反变张量，这是描述物理量（如电磁场、应力-应变）如何随坐标变换的精确工具。我们将阐述 黎曼几何 的基础，包括黎曼度规张量、联络（Connections）和克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）。 2. 测地线与曲率 测地线（Geodesics）是弯曲空间中的“直线”。本章将推导测地线方程，并讨论它在牛顿力学（惯性运动）和广义相对论（时空中的自由落体）中的统一描述。 黎曼曲率张量： 这是衡量空间“弯曲”程度的内在量度。我们将深入探讨黎曼曲率、里奇曲率（Ricci Curvature）和斯卡拉曲率（Scalar Curvature）的定义及其物理意义（例如，里奇曲率与物质能量密度的关系）。 外微分与积分：引入微分形式（Differential Forms，即高阶的共变张量）作为积分和微分的统一工具，讨论德·拉姆上同调（De Rham Cohomology）在拓扑分析中的初步应用。 --- 第三部分：时间的演化：动力系统与混沌理论 本部分转向时间依赖性的问题，特别是研究非线性系统在相空间中的长期行为，这是理解天气预报、流体力学和复杂物理现象的关键。 1. 动力系统的基本结构 从一阶常微分方程组 $dot{mathbf{x}} = mathbf{F}(mathbf{x}, t)$ 出发，我们将研究系统的相空间（Phase Space）结构。 相流与不变集： 定义相流（Flow）作为时间演化算子，并分析不变集（如平衡点、极限环）的存在性与稳定性。重点讨论 Poincaré-Andronov 稳定性理论，区分稳定、不稳定和鞍点。 哈密顿系统与李维尔定理： 考察保守系统（哈密顿系统）的特性，特别是李维尔定理——描述相空间体积在保守演化下的守恒性，以及这与热力学可逆性的关系。 2. 混沌的度量与拓扑 当系统表现出对初始条件的极端敏感性时，即进入混沌状态。本章将提供量化混沌的数学工具。 庞加莱截面 (Poincaré Sections)： 介绍如何利用截面将高维连续系统转化为低维离散映射，以揭示复杂动力学中的周期轨道和混沌区域。 敏感依赖性与李雅普诺夫指数 (Lyapunov Exponents)： 详细阐述李雅普诺夫指数的定义，它是衡量相邻轨迹分离率的指标。一个或多个正的李雅普诺夫指数是系统混沌的严格数学标志。 奇异吸引子 (Strange Attractors)： 介绍洛伦兹系统等经典案例，探讨奇异吸引子的分形结构，并初步引入豪斯多夫维数（Hausdorff Dimension）的概念，用以描述这些非整数维度的集合。 本书的结构设计旨在构建一个连贯的知识体系：从最基础的无限维线性结构（泛函分析），到描述空间几何的工具（微分几何），最终应用于分析复杂时间演化过程（动力系统）。通过这种整合，读者将获得一个强大的数学框架，用以精确地建模和分析现代科学中最具挑战性的问题。

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