Introduction to Partial Differential Equations and Hilbert Space Methods pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Gustafson, Karl E.

出品人:

頁數:480

译者:

出版時間:1997-7

價格:$ 22.54

裝幀:

isbn號碼:9780486612713

叢書系列:

圖書標籤:

• 偏微分方程
• 希爾伯特空間
• 泛函分析
• 數值分析
• 數學物理
• PDE
• 有限元
• 變分法
• 譜方法
• 應用數學

數學物理前沿：泛函分析、微分幾何與非綫性動力學導論 本書旨在為高等數學、理論物理及工程科學領域的學生與研究人員提供一個深入而全麵的視角，探索現代數學物理的基石——泛函分析、微分幾何以及非綫性動力學在解決復雜問題中的核心應用。全書內容緊密圍繞這些領域的前沿進展及其在物理學、應用數學中的實際建模能力構建。 第一部分：抽象空間與算子理論：泛函分析的深度剖析 本部分聚焦於泛函分析的理論基礎，旨在建立處理無限維空間中函數空間的穩固框架。不同於傳統的有限維綫性代數，本章將重點探討如何在抽象的嚮量空間上定義拓撲結構、範數和內積，並深入研究這些結構對算子性質的影響。 1. 拓撲嚮量空間與度量空間的基礎 我們將從嚴格的集閤論和拓撲學基礎齣發，定義完備性、可分性和緊緻性在無限維空間中的特殊錶現。巴拿赫空間（Banach Spaces）和希爾伯特空間（Hilbert Spaces）的構造將是本節的核心。特彆是，我們將詳細討論區分強收斂與弱收斂的物理意義，這對於理解時間演化係統的長期穩定性至關重要。 2. 綫性算子與譜理論 本章將深入探討定義在這些抽象空間上的綫性算子的性質。從有界綫性算子到無界綫性算子，我們關注閉性、稠密性以及自伴隨性（Self-Adjointness）在物理係統（如量子力學中的可觀測量）中的重要性。 譜理論的構建： 我們將遵循經典的 Riesz 框架，逐步推導齣有界算子的譜的定義，並自然過渡到緊算子的譜理論。隨後，對於一般巴拿赫空間上的有界綫性算子，將詳細闡述其解析函數演算，這為理解算子的矩陣錶示（即使在無限維情況下）提供瞭工具。 非緊算子的譜： 介紹 Fredholm 理論及其與緊算子譜的聯係，以及討論一般拓撲空間上算子的廣義譜概念。 3. 變分法與最優控製 泛函分析的直接應用體現在變分原理中。本章將從 Euler-Lagrange 方程的無窮維推廣齣發，探討泛函的變分（Fréchet 導數）。我們將討論 Sobolev 空間（一類重要的函數空間，結閤瞭函數值和其導數的 $L^p$ 範數）作為能量最小化問題的自然解空間。同時，我們將引入最優控製理論的框架，利用龐加萊-龐特裏亞金極大值原理，在約束條件下尋找最優解的結構。 --- 第二部分：幾何的語言：微分幾何與流形理論 本部分將數學語言從綫性空間提升至非綫性、彎麯的空間——流形。微分幾何是現代物理學（從廣義相對論到規範場論）不可或缺的數學工具。 1. 流形與張量分析 我們將從抽象拓撲空間齣發，引入光滑流形（Smooth Manifolds）的概念，重點關注 坐標無關性 的核心思想。 切空間與嚮量場： 詳細定義在流形上一個點的切空間，作為綫性逼近的工具。嚮量場被定義為切空間的截麵，其作用是描述空間中每一點的局部方嚮和速率。 張量場： 介紹協變和反變張量，這是描述物理量（如電磁場、應力-應變）如何隨坐標變換的精確工具。我們將闡述 黎曼幾何 的基礎，包括黎曼度規張量、聯絡（Connections）和剋裏斯托費爾符號（Christoffel Symbols）。 2. 測地綫與麯率 測地綫（Geodesics）是彎麯空間中的“直綫”。本章將推導測地綫方程，並討論它在牛頓力學（慣性運動）和廣義相對論（時空中的自由落體）中的統一描述。 黎曼麯率張量： 這是衡量空間“彎麯”程度的內在量度。我們將深入探討黎曼麯率、裏奇麯率（Ricci Curvature）和斯卡拉麯率（Scalar Curvature）的定義及其物理意義（例如，裏奇麯率與物質能量密度的關係）。 外微分與積分：引入微分形式（Differential Forms，即高階的共變張量）作為積分和微分的統一工具，討論德·拉姆上同調（De Rham Cohomology）在拓撲分析中的初步應用。 --- 第三部分：時間的演化：動力係統與混沌理論 本部分轉嚮時間依賴性的問題，特彆是研究非綫性係統在相空間中的長期行為，這是理解天氣預報、流體力學和復雜物理現象的關鍵。 1. 動力係統的基本結構 從一階常微分方程組 $dot{mathbf{x}} = mathbf{F}(mathbf{x}, t)$ 齣發，我們將研究係統的相空間（Phase Space）結構。 相流與不變集： 定義相流（Flow）作為時間演化算子，並分析不變集（如平衡點、極限環）的存在性與穩定性。重點討論 Poincaré-Andronov 穩定性理論，區分穩定、不穩定和鞍點。 哈密頓係統與李維爾定理： 考察保守係統（哈密頓係統）的特性，特彆是李維爾定理——描述相空間體積在保守演化下的守恒性，以及這與熱力學可逆性的關係。 2. 混沌的度量與拓撲 當係統錶現齣對初始條件的極端敏感性時，即進入混沌狀態。本章將提供量化混沌的數學工具。 龐加萊截麵 (Poincaré Sections)： 介紹如何利用截麵將高維連續係統轉化為低維離散映射，以揭示復雜動力學中的周期軌道和混沌區域。 敏感依賴性與李雅普諾夫指數 (Lyapunov Exponents)： 詳細闡述李雅普諾夫指數的定義，它是衡量相鄰軌跡分離率的指標。一個或多個正的李雅普諾夫指數是係統混沌的嚴格數學標誌。 奇異吸引子 (Strange Attractors)： 介紹洛倫茲係統等經典案例，探討奇異吸引子的分形結構，並初步引入豪斯多夫維數（Hausdorff Dimension）的概念，用以描述這些非整數維度的集閤。 本書的結構設計旨在構建一個連貫的知識體係：從最基礎的無限維綫性結構（泛函分析），到描述空間幾何的工具（微分幾何），最終應用於分析復雜時間演化過程（動力係統）。通過這種整閤，讀者將獲得一個強大的數學框架，用以精確地建模和分析現代科學中最具挑戰性的問題。

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