Theories in Probability pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Louis Narens

出品人:

页数:232

译者:

出版时间:2007-8

价格:$ 98.00

装帧:

isbn号码:9789812708014

丛书系列:

图书标签:

概率论
概率模型
随机过程
数理统计
理论概率
数学
统计学
随机性
测度论
极限理论

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具体描述

Standard probability theory has been an enormously successful contribution to modern science. However, from many perspectives it is too narrow as a general theory of uncertainty, particularly for issues involving subjective uncertainty. This first-of-its-kind book is primarily based on qualitative approaches to probabilistic-like uncertainty, and includes qualitative theories for the standard theory as well as several of its generalizations. One of these generalizations produces a belief function composed of two functions: a probability function that measures the probabilistic strength of an uncertain event, and another function that measures the amount of ambiguity or vagueness of the event. Another unique approach of the book is to change the event space from a boolean algebra, which is closely linked to classical propositional logic, to a different event algebra that is closely linked to a well-studied generalization of classical propositional logic known as intuitionistic logic. Together, these new qualitative theories succeed where the standard probability theory fails by accounting for a number of puzzling empirical findings in the psychology of human probability judgments and decision making.

概率论中的理论探索：超越基础，深入前沿本书旨在为概率论研究者和高阶学习者提供一个全面而深入的理论框架，聚焦于概率论的公理化基础、随机过程的深度分析以及统计推断的现代视角。我们避开了初级教科书中常见的概率基本概念和简单分布的介绍，而是直接切入那些构成现代概率论核心支柱的、更抽象和更具挑战性的理论结构。本书的结构分为四个核心部分，每部分都构建在前一部分的基础上，逐步将读者导向概率论的尖端研究领域。 --- 第一部分：测度论基础与概率空间的高级结构本部分是全书的理论基石，重点在于概率论的测度论起源和严格形式化。我们不再将概率视为单纯的频率或古典的古典定义，而是将其置于 $sigma$-代数、可测空间和概率测度的严格测度论框架之下。 1. 测度空间与$sigma$-代数的精细结构：深入探讨$sigma$-代数的生成、完备性以及波雷尔集 $mathcal{B}(mathbb{R}^n)$ 的构造。我们详细分析了勒贝格测度（Lebesgue Measure）在 $mathbb{R}^d$ 上的性质，并将其与一般测度空间的概念进行对比，特别是外测度（Outer Measure）在构造可测集时的关键作用。 2. 概率测度的特征与转换：核心内容包括勒贝格-斯蒂尔切斯积分 (Lebesgue-Stieltjes Integration) 在处理累积分布函数时的优势，以及随机变量作为可测函数在概率空间上的严格定义。我们对条件期望（Conditional Expectation）进行了详尽的测度论阐述，将其定义为 $L^1$ 空间中的投影，并讨论了其在马尔可夫性分析中的必要性。 3. 概率测度的收敛性：这一章节是统计推断的基础。我们详细区分并分析了依概率收敛 (Convergence in Probability)、依分布收敛 (Convergence in Distribution) 和几乎必然收敛 (Almost Sure Convergence) 的异同。重点阐述了连续映射定理 (Continuous Mapping Theorem) 和 Slutsky 定理在这些收敛模式下的精确表述和应用。此外，还引入了测度收敛 (Convergence in Measure) 及其与前述收敛模式的复杂关系。 --- 第二部分：随机过程的精细化分析本部分将视角从静态的随机变量扩展到随时间演化的随机现象，聚焦于随机过程的样本路径性质、平稳性理论和鞅论的核心概念。 1. 随机过程的路径正则性：深入探讨布朗运动（Brownian Motion）的路径性质，包括处处不可微性 (Nowhere Differentiability)、二次变差 (Quadratic Variation) 的精确计算，以及赫维斯-辛钦定理 (Hjorth-Khinchine Theorem) 在平稳增量过程中的应用。我们对维纳测度 (Wiener Measure) 进行了深入分析，并考察了其在路径积分中的初步应用。 2. 独立增量过程与马尔可夫过程的深入研究：对泊松过程 (Poisson Process) 进行推广，引入复合泊松过程 (Compound Poisson Process)。在马尔可夫链方面，我们超越了简单的状态空间转移，重点分析了状态空间的连通性、常返性 (Recurrence) 与零返性 (Transience) 的判定标准（如利用势理论或特征方程），以及遍历性 (Ergodicity) 的条件。 3. 鞅论：现代金融与信息论的桥梁：鞅（Martingale）是本部分的核心。我们详细定义了上鞅 (Supermartingale)、下鞅 (Submartingale) 和鞅，并严格证明了上鞅收敛定理 (Doob's Martingale Convergence Theorem) 及其推论。重点讨论了Doob-Meyer 分解定理，将任意一个过程分解为鞅、可预测过程的积分和有限变差部分，这为处理复杂的随机动态系统提供了强大的工具。 --- 第三部分：大数定律与中心极限定理的现代拓扑与泛函分析视角本部分将概率论的极限理论置于更广阔的函数空间中进行考察，探讨在更一般的随机变量集合上极限存在的条件。 1. 随机变量的赋范空间嵌入：考察随机变量在 $L^p$ 空间中的结构，重点分析Kolmogorov 嵌入定理 (Kolmogorov Embedding Theorem)。我们讨论了随机变量序列在不同 $L^p$ 范数下的收敛性，并探讨了随机变量的等距嵌入问题。 2. 泛函中心极限定理 (Functional Central Limit Theorems, FCLT)：这超越了经典的中心极限定理（CLT）。我们详细阐述了 Skorokhod 嵌入，并严格证明了 Donsker-Prokhorov 定理，该定理表明部分和过程在适当缩放后会收敛于维纳过程（布朗桥或布朗运动），这是验证许多统计量渐近分布的基石。我们还介绍了 Berkes-Hirschler 定理在非平稳序列中的应用。 3. 强一致大数定律的推广：深入分析 Kolmogorov 的强一致大数定律 (SLLN) 的条件，并探讨了不等价随机变量序列的 SLLN，例如使用截断方法或矩条件来保证几乎必然收敛。 --- 第四部分：统计推断的严谨性与非参数方法本部分将概率论的理论工具直接应用于统计推断的实际问题，关注估计量和检验统计量的渐近性质以及现代非参数方法的理论基础。 1. 渐近正态性与效率：严格推导费舍尔信息量 (Fisher Information) 和克拉美-劳下界 (Cramér-Rao Lower Bound) 的性质，并证明在正则条件下，极大似然估计量 (MLE) 渐近有效性的测度论解释。我们引入了局部渐近正态性 (LAN) 的概念，这是评估统计检验有效性的关键。 2. 非参数估计的收敛性：针对核密度估计 (Kernel Density Estimation)，我们详细分析了均方误差 (MSE) 的分解，推导了最优带宽的选择标准。我们关注依概率收敛 (Consistency) 和渐近正态性的条件，特别是对核函数和平滑度的要求。 3. 经验过程与Kolmogorov-Smirnov检验：将数据视为随机变量的样本，构建经验分布函数 (Empirical Distribution Function, EDF)。本章的核心是Donsker-Prokhorov 定理在 EDF 上的应用，导出了 Kolmogorov-Smirnov 统计量的极限分布——布朗桥的极值分布。我们还讨论了 Glivenko-Cantelli 定理在保证 EDF 收敛到真实 CDF 时的作用。 --- 本书的难度设定要求读者已经掌握高等数学、实分析以及基础的测度论知识。每一章都包含大量具有挑战性的定理证明和高级习题，旨在培养读者对概率论内在逻辑和结构进行批判性分析的能力。本书不提供任何预设的应用场景，而是致力于揭示概率论作为一门数学分支的内在美学和严密性。