Iterative Methods for Solving Inverse and Ill-posed Problems with Data Given on the Part of the Boun pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Kabanikhin, Sergey I./ Bektemesov, M. F./ Nusseitova, A. T.

出品人:

页数:450

译者:

出版时间:2013-4

价格:$ 249.73

装帧:

isbn号码:9783110198706

丛书系列:

图书标签:

• Inverse Problems
• Ill-posed Problems
• Iterative Methods
• Boundary Data
• Numerical Analysis
• Partial Differential Equations
• Regularization
• Optimization
• Mathematical Physics
• Applied Mathematics

线性代数基础与数值计算的基石 本书深入探讨了线性代数的核心概念及其在数值计算中的应用，为读者构建坚实的数学基础，以理解和解决复杂的科学与工程问题。我们摒弃了过于抽象的理论推导，转而侧重于实用性、几何直觉的培养以及算法的实现细节。 第一部分：向量空间与线性变换的直观理解 本部分致力于阐明向量空间这一基本结构。我们将从欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 出发，逐步引入抽象向量空间的定义。重点在于线性无关性、基和维数的概念，并使用具体的例子（如多项式空间、函数空间）来帮助理解这些抽象概念的实际意义。 子空间的概念与投影： 我们详细讨论了四种基本子空间（列空间、零空间、行空间和左零空间），特别是它们之间的正交关系。一个核心的几何直觉建立在投影之上——任何向量都可以被唯一地分解到子空间及其正交补空间中。这为后续解决最小二乘问题奠定了理论基础。 线性变换的矩阵表示： 线性变换被视为连接不同向量空间的桥梁。我们探讨了如何利用选定的基来表示线性变换的矩阵，以及相似变换如何允许我们在不同基下观察同一变换的不同侧面。这包括了对特征值和特征向量的深入剖析，它们揭示了线性系统在特定方向上仅发生缩放而不改变方向的特性。特征值分解（对于对角矩阵）被视为理解复杂线性系统动态行为的关键工具。 第二部分：矩阵分解与数值稳定性 矩阵分解是数值线性代数的生命线，它将复杂的矩阵运算分解为一系列更简单、更易于处理的步骤。本部分详细介绍了最重要、最常用的几种分解方法。 LU 分解： 探讨了使用高斯消元法实现 LU 分解的过程，包括主元选择（部分和完全）对数值稳定性的影响。我们分析了矩阵的稀疏性在 LU 分解中的保持问题，这对于大规模系统至关重要。 QR 分解： 重点介绍了 Gram-Schmidt 正交化过程的局限性以及更稳定的 Householder 反射和 Givens 旋转方法。QR 分解是求解最小二乘问题的标准方法，本书不仅展示了其数学推导，还分析了其在计算效率和误差控制方面的优势。 奇异值分解 (SVD)： SVD 被誉为“矩阵的黄金标准”。我们从几何上解释了 SVD 如何描述任何线性变换（旋转、缩放、再旋转）。SVD 的应用贯穿始终，特别是它在确定矩阵的秩和提供最佳低秩近似方面的强大能力。 第三部分：求解线性方程组的迭代方法 对于维度极高或矩阵结构特殊的线性系统 $Ax=b$，直接求解法（如 LU 分解）往往计算成本过高或内存不可行。本部分聚焦于迭代方法的原理、收敛性分析及其在工程中的实际应用。 经典迭代法： 详细分析了雅可比 (Jacobi) 和高斯-赛德尔 (Gauss-Seidel) 方法。收敛性分析是本节的重点，我们通过分析迭代矩阵的谱半径来判断何时这些方法会收敛，并讨论了如何通过预处理（如对角占优）来改善收敛速度。 Krylov 子空间方法： 这是现代大规模线性系统求解的核心。我们深入探讨了 共轭梯度法 (CG) 的推导，它适用于对称正定系统。接着，我们介绍了更通用的 GMRES (广义最小残差法) 和 双共轭梯度法 (BiCGSTAB)，它们在非对称系统中的应用。理解 Krylov 子空间如何逐步逼近精确解的方向是掌握这些高级算法的关键。 预处理技术： 迭代方法的收敛速度严重依赖于系统矩阵的条件数。本部分系统地介绍了各种预处理器（如不完全 LU 分解 ILU、不完全 Cholesky 分解 ICC），展示了它们如何通过变换系统矩阵来加速迭代过程，使原本不可行的计算变得可行。 第四部分：特征值问题的数值算法 特征值和特征向量在振动分析、主成分分析 (PCA) 和稳定性分析中扮演核心角色。本书关注于如何在不精确计算解析解的情况下，可靠地估算这些关键量。 幂法与反幂法： 幂法被用作理解迭代如何收敛到最大特征值（或最小特征值，通过反幂法）的入门工具。我们分析了其收敛率与其第二大特征值间的关系。 QR 算法： QR 算法是计算所有特征值的最可靠和最常用的方法。我们详细阐述了 QR 算法的迭代过程，包括如何利用 Hesenberg 变换来预处理矩阵以提高效率。对于非对称矩阵，我们讨论了将其约化到拟上三角 (Schur) 形式的重要性。 Lanczos 算法： 针对大型稀疏对称矩阵，Lanczos 算法被证明是最高效的特征值估计方法。它通过在 Krylov 子空间内构造三对角矩阵来简化问题，从而实现快速迭代。 通过对这些基础理论的扎实掌握和对计算方法的深入剖析，读者将能够自信地分析和实现解决高维、病态线性系统的有效数值方案。本书的侧重点在于建立清晰的数学模型与稳定、高效的计算流程之间的桥梁。

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