Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables (Computer Science & Applied Mathemati pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Academic Press

作者:James M. Ortega

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1970-06

价格:USD 81.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780125285506

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• 非线性方程
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新一代计算方法与高性能数值分析 本书聚焦于现代科学与工程领域中一类至关重要的数学模型——大规模、高维度的非线性方程组的求解。 随着计算能力的飞速发展，复杂系统的建模日益精细，这些模型往往归结为求解 $F(mathbf{x}) = mathbf{0}$ 形式的方程组，其中 $F: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$，且 $n$ 通常非常大。本书旨在为研究人员、高级研究生以及需要处理复杂数值问题的工程师提供一套全面、深入且实用的理论框架与先进算法。 全书结构严谨，从基础理论的重新审视开始，逐步过渡到前沿的优化与加速技术。我们摒弃了对初级数值分析概念的重复叙述，而是将重点放在如何有效、稳定、高效地处理真实世界尺度的问题。 第一部分：理论基础与经典迭代的重构 本部分致力于夯实理解高级迭代方法的必要理论基础，并对经典算法进行现代视角下的批判性分析。 第一章：多变量函数空间与收敛性分析的深化 本章首先回顾了巴拿赫不动点定理在非线性系统中的应用，但重点转向了局部收敛域的精确几何刻画。我们引入了基于高阶导数的条件数估计，用于预测迭代过程的稳定性边界。具体内容包括： 1. Hessian 矩阵的谱特性与局部二次收敛的障碍： 深入探讨了奇异点和近奇异点如何影响牛顿法的收敛速度，并引入了基于矩阵分解（如Cholesky分解的正则化变体）的预处理策略。 2. 非局部收敛的概率分析： 对于随机性或噪声影响下的非线性系统，我们利用随机微分方程（SDE）的视角，构建了迭代路径的概率密度函数，从而量化了全局收敛的期望时间。 3. 域收缩与区间算术的结合： 重新审视了Krawczyk运算符，并将其应用于高维情形，以提供严格的解存在性验证，而非仅仅是逼近。 第二章：牛顿法及其变体的鲁棒性增强 牛顿法作为理论基石，其主要挑战在于全局收敛性和对初始猜测的敏感性。本章集中于解决这些实际问题。 1. 信任域方法（Trust-Region Methods）的现代实现： 详细阐述了如何高效求解信任域子问题（Dog-Leg、More’s Dog Leg、以及基于共轭梯度法的近似求解器），特别关注在非光滑或非凸区域的处理策略。 2. 阻尼牛顿法（Damped Newton Methods）的自适应步长控制： 探讨了基于 Armijo-Goldstein 或精确线搜索的混合策略，并提出了曲率修正的自适应阻尼因子，该因子依赖于当前点目标函数梯度的范数与前一步的修正向量。 3. 拟牛顿方法的内存优化与精度折衷： 重点分析了BFGS、DFP和Broyden族方法在$n$ 远大于存储容量时的处理，介绍了L-BFGS（Limited-memory BFGS）的并行化版本及其在稀疏系统中的应用瓶颈。 第二部分：高级迭代框架与效率优化 本部分聚焦于超越经典方法的求解范式，强调计算效率、并行化潜力以及对特定系统结构的适应性。 第三章：加速收敛：多重网格与域分解的融合 对于具有特定代数结构（如偏微分方程离散化导致的系统）的非线性问题，标准迭代方法的收敛速度会显著下降。 1. 非线性多重网格（Nonlinear Multigrid, NL-MG）方法： 详细介绍了如何将标准的V-cycle或W-cycle概念推广到非线性方程组，包括非线性预处理子（Nonlinear Preconditioner）的选择，以及在不同网格层面如何处理残差方程。 2. 并行化域分解（Domain Decomposition, DD）技术： 阐述了基于非重叠和重叠区域分解的并行策略，如Schwarz方法。重点分析了非线性雅可比矩阵的并行反演在DD框架下的挑战，并介绍了代数多层次分解（Algebraic Multilevel Methods, AMM）如何与DD方法结合以加速收敛。 3. 非线性预处理器的构建： 探讨了如何利用目标问题的物理结构（如对流项、扩散项）来构建一个近似的、易于求解的线性子系统作为预处理器。 第四章：面向大规模系统的非单调与随机优化方法 当系统规模庞大或数据本身带有随机性时，传统的单调收敛算法不再适用。 1. 非单调线搜索与全局收敛： 介绍了Aitken加速技术在非单调序列中的应用，以及如何设计记忆型缓冲机制来平衡局部探索和全局探索，从而避免陷入平坦区域。 2. 随机梯度下降（SGD）的非线性系统扩展： 针对数据驱动的建模，我们探讨了如何将随机梯度方法（如SVRG, SAGA）应用于求解由大量独立函数项之和构成的非线性系统。关键在于如何构造和更新平均梯度估计以保证迭代方向的有效性。 3. 高维优化中的稀疏性恢复： 对于目标函数或解向量具有内在稀疏性的问题，本章引入了基于$ell_1$范数惩罚项的迭代框架，并讨论了如何将Bregman散度最小化技术与非线性求解器相结合。 第三部分：特殊结构问题的求解与应用导向 本部分深入特定类型的非线性问题，提供了定制化的算法和性能分析。 第五章：稀疏性、矩阵分解与内存优化 处理拥有数百万变量的系统，内存和计算复杂度是决定性因素。 1. 稀疏雅可比矩阵的有效存储与求导： 讨论了坐标法（COO）、压缩行/列存储（CSR/CSC）的优缺点，并着重于自动微分（Automatic Differentiation, AD）在计算稀疏一阶和二阶导数时的性能优势，特别是前向模式与伴随模式的选取策略。 2. 迭代反向求解（Iterative Refinement）在非线性系统中的应用： 重新审视了线性系统的迭代反向求解，并将其推广到非线性残差的修正。重点分析了在低精度雅可比矩阵下，如何通过高精度残差校正来维持整体解的精度。 3. 基于特征值分解的降阶模型（Reduced Order Models, ROM）： 探讨了如何使用Proper Orthogonal Decomposition (POD) 或 Empirical Interpolation Method (EIM) 来构建非线性系统的低维代理模型，从而在快速、实时模拟中进行近似求解。 第六章：非光滑与互补性问题的处理 许多实际问题（如接触力学、最优控制）的数学描述涉及非光滑函数或互补约束。 1. 光滑化技术（Smoothing Techniques）： 详细介绍了对数-巴里耶（Log-Barrier）和平方惩罚函数的应用，并讨论了如何选择合适的平滑参数以确保光滑化后的问题与原问题解的近似关系。 2. 半光滑牛顿法（Semismooth Newton Methods）： 阐述了Clarke次微分的概念，并展示了如何利用局部光滑化子（Smooth Approximation）来构建一个可行的牛顿系统，从而在非光滑点附近实现超线性收敛。 3. 基于内点法的非线性互补问题（NCP）求解： 深入分析了目标函数为 $min_{mathbf{x}} mathbf{x}^T F(mathbf{x})$ 时的解法，重点在于障碍函数（Barrier Function）的选择及其对迭代稳定性的影响。 全书以算法的可移植性与高性能计算为最终目标，不仅提供了扎实的数学原理，更强调了在现代并行架构（如GPU加速的线性代数库）上实现这些先进方法的工程实践指南。本书的深度和广度使其成为处理复杂数值问题的研究人员和工程师不可或缺的参考资料。

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在最近的一次学术会议上，听闻了几位同行在讨论非线性方程组求解的最新进展，其中就反复提到了迭代方法的优化和加速技巧。这让我立刻联想到了我最近淘到的一本旧书，它的标题恰好与这个领域高度相关。我至今还记得当时在二手书店里发现它时的惊喜，那是一种在看似普通的书堆里，突然挖掘出宝藏的感觉。书的装帧虽然有些年头，但内页的字迹依然清晰，封面上“Computer Science & Applied Mathematics Monograph”的字样，就已经预示了其内容的专业性和跨学科性。我虽然不是数学家，但作为一名长期从事数值模拟工作的工程师，我深知求解复杂的非线性方程组对于很多问题的解决至关重要，比如流体力学、结构分析、以及经济模型等。这本书无疑为我提供了一个深入理解这些求解方法的理论基础和实用技巧的绝佳机会。我迫不及待地想知道书中会详细阐述哪些具体的迭代算法，以及它们各自的收敛条件、稳定性和计算效率。尤其想了解作者如何将理论与实际计算中的一些“坑”相结合，给出一些避免数值不稳定的建议。

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我一直对数学建模及其在现实世界中的应用很感兴趣，尤其是那些看似抽象的数学概念，是如何被转化为解决实际问题的工具的。这本书的名字，"Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables"，一下子就抓住了我的注意力。它听起来就像是连接了纯粹的数学理论和工程实践的桥梁。我设想，这本书应该会详细介绍一系列用于求解多变量非线性方程组的迭代算法，这些算法可能包括一些非常经典的方法，比如牛顿-拉夫逊法，以及一些更为现代、效率更高的变种。我想象着书中会详细地解释这些算法的数学原理，比如如何通过泰勒展开来近似非线性函数，如何构建雅可比矩阵，以及如何进行迭代更新。更重要的是，我期待书中能够提供一些关于如何选择最适合特定问题的算法的指导，以及如何处理一些可能出现的数值问题，比如收敛速度慢、求解失败等。这本书在我看来，一定是一本能够帮助我深刻理解“计算科学”和“应用数学”这两个领域如何紧密结合，共同解决复杂问题的宝典。

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作为一名计算机科学的初学者，我对那些能够将数学理论转化为实际程序的知识格外着迷。这本书的副标题“Computer Science & Applied Mathematics Monograph”便立刻吸引了我，它暗示着本书将理论的严谨性和计算的实用性相结合。我猜想，本书的核心内容会围绕着如何通过迭代的方式来求解包含多个变量的非线性方程组。这听起来就像是一个充满挑战但又极其重要的计算机科学问题。我想象着书中会详细介绍各种迭代算法的原理，也许会涉及像牛顿法、不动点迭代等经典方法，并且会深入探讨它们的数学基础，比如收敛性分析、误差估计等。更令我期待的是，书中很可能还会提供一些关于这些算法在计算机上实现时的具体细节，比如如何高效地计算雅可比矩阵，如何处理稀疏矩阵，以及一些防止数值溢出的技巧。对于应用数学的部分，我期待书中能给出一些实际的应用案例，展示这些算法在物理学、工程学、经济学等领域的实际应用，从而帮助我理解理论知识的价值。

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最近在准备一个关于复杂系统仿真的项目，其中涉及到大量的数值计算，特别是求解一些高度非线性的方程组。我的导师向我推荐了一系列经典文献，其中一本的名字就引起了我的注意。它并非一本大众读物，而是一本在学术圈子里可能颇受推崇的“专著”。标题中“Iterative Solution”和“Nonlinear Equations in Several Variables”这两个关键词，直接点明了这本书的核心内容，这正是我目前最迫切需要深入了解的领域。我猜测，这本书一定是对各种迭代求解非线性方程组方法的深度剖析，从理论推导到算法实现，可能无所不包。我尤其感兴趣的是，作者是如何组织这些内容的，是按照方法本身的家族分类，还是按照应用场景来展开？书中是否会包含一些算法的优化策略，比如如何提高收敛速度，或者如何处理大规模的方程组？另外，对于“Monograph”这个词的理解，我倾向于认为这是一本聚焦于某个特定主题的、深度而非广度的学术著作，所以其内容必然是相当扎实和专业的，适合有一定数学基础的读者深入研读。

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这本书的封面设计就充满了学术的严谨感，深蓝色调搭配简洁的标题字体，透露出一种沉静而深刻的知识气息。翻开第一页，纸张的质感也相当不错，厚实而略带些微的绒感，让人在阅读时能感受到一种来自书本本身的“诚意”。虽然我还没有深入研读其中的具体算法和证明，但仅仅是浏览一下目录和前言，就足以让我对作者的专业造诣和对这个领域的贡献产生敬意。开篇的引言部分，作者用一种颇具启发性的方式介绍了非线性方程组求解的挑战与重要性，并勾勒出了迭代法在该领域的核心地位。字里行间流露出的对复杂数学问题的洞察力，以及对计算方法严谨性的追求，都让我对书中即将展开的内容充满了期待。我尤其好奇作者将如何系统地介绍各种经典的迭代算法，比如牛顿法及其变种，以及这些方法在实际工程和科学研究中的应用案例。这本书在我看来，更像是一本需要静下心来细细品味的研究手册，而非一本轻松的读物，但正是这种深度，才使得它在图书馆的书架上显得如此独特和珍贵。

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