Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables (Computer Science & Applied Mathemati pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Academic Press

作者:James M. Ortega

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1970-06

價格:USD 81.00

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9780125285506

叢書系列:

圖書標籤:

• qw
• 1
• 非綫性方程
• 迭代方法
• 多變量
• 數值分析
• 科學計算
• 優化算法
• 計算機科學
• 應用數學
• 數值方法
• 方程求解

新一代計算方法與高性能數值分析 本書聚焦於現代科學與工程領域中一類至關重要的數學模型——大規模、高維度的非綫性方程組的求解。 隨著計算能力的飛速發展，復雜係統的建模日益精細，這些模型往往歸結為求解 $F(mathbf{x}) = mathbf{0}$ 形式的方程組，其中 $F: mathbb{R}^n o mathbb{R}^n$，且 $n$ 通常非常大。本書旨在為研究人員、高級研究生以及需要處理復雜數值問題的工程師提供一套全麵、深入且實用的理論框架與先進算法。 全書結構嚴謹，從基礎理論的重新審視開始，逐步過渡到前沿的優化與加速技術。我們摒棄瞭對初級數值分析概念的重復敘述，而是將重點放在如何有效、穩定、高效地處理真實世界尺度的問題。 第一部分：理論基礎與經典迭代的重構 本部分緻力於夯實理解高級迭代方法的必要理論基礎，並對經典算法進行現代視角下的批判性分析。 第一章：多變量函數空間與收斂性分析的深化 本章首先迴顧瞭巴拿赫不動點定理在非綫性係統中的應用，但重點轉嚮瞭局部收斂域的精確幾何刻畫。我們引入瞭基於高階導數的條件數估計，用於預測迭代過程的穩定性邊界。具體內容包括： 1. Hessian 矩陣的譜特性與局部二次收斂的障礙： 深入探討瞭奇異點和近奇異點如何影響牛頓法的收斂速度，並引入瞭基於矩陣分解（如Cholesky分解的正則化變體）的預處理策略。 2. 非局部收斂的概率分析： 對於隨機性或噪聲影響下的非綫性係統，我們利用隨機微分方程（SDE）的視角，構建瞭迭代路徑的概率密度函數，從而量化瞭全局收斂的期望時間。 3. 域收縮與區間算術的結閤： 重新審視瞭Krawczyk運算符，並將其應用於高維情形，以提供嚴格的解存在性驗證，而非僅僅是逼近。 第二章：牛頓法及其變體的魯棒性增強 牛頓法作為理論基石，其主要挑戰在於全局收斂性和對初始猜測的敏感性。本章集中於解決這些實際問題。 1. 信任域方法（Trust-Region Methods）的現代實現： 詳細闡述瞭如何高效求解信任域子問題（Dog-Leg、More’s Dog Leg、以及基於共軛梯度法的近似求解器），特彆關注在非光滑或非凸區域的處理策略。 2. 阻尼牛頓法（Damped Newton Methods）的自適應步長控製： 探討瞭基於 Armijo-Goldstein 或精確綫搜索的混閤策略，並提齣瞭麯率修正的自適應阻尼因子，該因子依賴於當前點目標函數梯度的範數與前一步的修正嚮量。 3. 擬牛頓方法的內存優化與精度摺衷： 重點分析瞭BFGS、DFP和Broyden族方法在$n$ 遠大於存儲容量時的處理，介紹瞭L-BFGS（Limited-memory BFGS）的並行化版本及其在稀疏係統中的應用瓶頸。 第二部分：高級迭代框架與效率優化 本部分聚焦於超越經典方法的求解範式，強調計算效率、並行化潛力以及對特定係統結構的適應性。 第三章：加速收斂：多重網格與域分解的融閤 對於具有特定代數結構（如偏微分方程離散化導緻的係統）的非綫性問題，標準迭代方法的收斂速度會顯著下降。 1. 非綫性多重網格（Nonlinear Multigrid, NL-MG）方法： 詳細介紹瞭如何將標準的V-cycle或W-cycle概念推廣到非綫性方程組，包括非綫性預處理子（Nonlinear Preconditioner）的選擇，以及在不同網格層麵如何處理殘差方程。 2. 並行化域分解（Domain Decomposition, DD）技術： 闡述瞭基於非重疊和重疊區域分解的並行策略，如Schwarz方法。重點分析瞭非綫性雅可比矩陣的並行反演在DD框架下的挑戰，並介紹瞭代數多層次分解（Algebraic Multilevel Methods, AMM）如何與DD方法結閤以加速收斂。 3. 非綫性預處理器的構建： 探討瞭如何利用目標問題的物理結構（如對流項、擴散項）來構建一個近似的、易於求解的綫性子係統作為預處理器。 第四章：麵嚮大規模係統的非單調與隨機優化方法 當係統規模龐大或數據本身帶有隨機性時，傳統的單調收斂算法不再適用。 1. 非單調綫搜索與全局收斂： 介紹瞭Aitken加速技術在非單調序列中的應用，以及如何設計記憶型緩衝機製來平衡局部探索和全局探索，從而避免陷入平坦區域。 2. 隨機梯度下降（SGD）的非綫性係統擴展： 針對數據驅動的建模，我們探討瞭如何將隨機梯度方法（如SVRG, SAGA）應用於求解由大量獨立函數項之和構成的非綫性係統。關鍵在於如何構造和更新平均梯度估計以保證迭代方嚮的有效性。 3. 高維優化中的稀疏性恢復： 對於目標函數或解嚮量具有內在稀疏性的問題，本章引入瞭基於$ell_1$範數懲罰項的迭代框架，並討論瞭如何將Bregman散度最小化技術與非綫性求解器相結閤。 第三部分：特殊結構問題的求解與應用導嚮 本部分深入特定類型的非綫性問題，提供瞭定製化的算法和性能分析。 第五章：稀疏性、矩陣分解與內存優化 處理擁有數百萬變量的係統，內存和計算復雜度是決定性因素。 1. 稀疏雅可比矩陣的有效存儲與求導： 討論瞭坐標法（COO）、壓縮行/列存儲（CSR/CSC）的優缺點，並著重於自動微分（Automatic Differentiation, AD）在計算稀疏一階和二階導數時的性能優勢，特彆是前嚮模式與伴隨模式的選取策略。 2. 迭代反嚮求解（Iterative Refinement）在非綫性係統中的應用： 重新審視瞭綫性係統的迭代反嚮求解，並將其推廣到非綫性殘差的修正。重點分析瞭在低精度雅可比矩陣下，如何通過高精度殘差校正來維持整體解的精度。 3. 基於特徵值分解的降階模型（Reduced Order Models, ROM）： 探討瞭如何使用Proper Orthogonal Decomposition (POD) 或 Empirical Interpolation Method (EIM) 來構建非綫性係統的低維代理模型，從而在快速、實時模擬中進行近似求解。 第六章：非光滑與互補性問題的處理 許多實際問題（如接觸力學、最優控製）的數學描述涉及非光滑函數或互補約束。 1. 光滑化技術（Smoothing Techniques）： 詳細介紹瞭對數-巴裏耶（Log-Barrier）和平方懲罰函數的應用，並討論瞭如何選擇閤適的平滑參數以確保光滑化後的問題與原問題解的近似關係。 2. 半光滑牛頓法（Semismooth Newton Methods）： 闡述瞭Clarke次微分的概念，並展示瞭如何利用局部光滑化子（Smooth Approximation）來構建一個可行的牛頓係統，從而在非光滑點附近實現超綫性收斂。 3. 基於內點法的非綫性互補問題（NCP）求解： 深入分析瞭目標函數為 $min_{mathbf{x}} mathbf{x}^T F(mathbf{x})$ 時的解法，重點在於障礙函數（Barrier Function）的選擇及其對迭代穩定性的影響。 全書以算法的可移植性與高性能計算為最終目標，不僅提供瞭紮實的數學原理，更強調瞭在現代並行架構（如GPU加速的綫性代數庫）上實現這些先進方法的工程實踐指南。本書的深度和廣度使其成為處理復雜數值問題的研究人員和工程師不可或缺的參考資料。

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這本書的封麵設計就充滿瞭學術的嚴謹感，深藍色調搭配簡潔的標題字體，透露齣一種沉靜而深刻的知識氣息。翻開第一頁，紙張的質感也相當不錯，厚實而略帶些微的絨感，讓人在閱讀時能感受到一種來自書本本身的“誠意”。雖然我還沒有深入研讀其中的具體算法和證明，但僅僅是瀏覽一下目錄和前言，就足以讓我對作者的專業造詣和對這個領域的貢獻産生敬意。開篇的引言部分，作者用一種頗具啓發性的方式介紹瞭非綫性方程組求解的挑戰與重要性，並勾勒齣瞭迭代法在該領域的核心地位。字裏行間流露齣的對復雜數學問題的洞察力，以及對計算方法嚴謹性的追求，都讓我對書中即將展開的內容充滿瞭期待。我尤其好奇作者將如何係統地介紹各種經典的迭代算法，比如牛頓法及其變種，以及這些方法在實際工程和科學研究中的應用案例。這本書在我看來，更像是一本需要靜下心來細細品味的研究手冊，而非一本輕鬆的讀物，但正是這種深度，纔使得它在圖書館的書架上顯得如此獨特和珍貴。

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我一直對數學建模及其在現實世界中的應用很感興趣，尤其是那些看似抽象的數學概念，是如何被轉化為解決實際問題的工具的。這本書的名字，"Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables"，一下子就抓住瞭我的注意力。它聽起來就像是連接瞭純粹的數學理論和工程實踐的橋梁。我設想，這本書應該會詳細介紹一係列用於求解多變量非綫性方程組的迭代算法，這些算法可能包括一些非常經典的方法，比如牛頓-拉夫遜法，以及一些更為現代、效率更高的變種。我想象著書中會詳細地解釋這些算法的數學原理，比如如何通過泰勒展開來近似非綫性函數，如何構建雅可比矩陣，以及如何進行迭代更新。更重要的是，我期待書中能夠提供一些關於如何選擇最適閤特定問題的算法的指導，以及如何處理一些可能齣現的數值問題，比如收斂速度慢、求解失敗等。這本書在我看來，一定是一本能夠幫助我深刻理解“計算科學”和“應用數學”這兩個領域如何緊密結閤，共同解決復雜問題的寶典。

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在最近的一次學術會議上，聽聞瞭幾位同行在討論非綫性方程組求解的最新進展，其中就反復提到瞭迭代方法的優化和加速技巧。這讓我立刻聯想到瞭我最近淘到的一本舊書，它的標題恰好與這個領域高度相關。我至今還記得當時在二手書店裏發現它時的驚喜，那是一種在看似普通的書堆裏，突然挖掘齣寶藏的感覺。書的裝幀雖然有些年頭，但內頁的字跡依然清晰，封麵上“Computer Science & Applied Mathematics Monograph”的字樣，就已經預示瞭其內容的專業性和跨學科性。我雖然不是數學傢，但作為一名長期從事數值模擬工作的工程師，我深知求解復雜的非綫性方程組對於很多問題的解決至關重要，比如流體力學、結構分析、以及經濟模型等。這本書無疑為我提供瞭一個深入理解這些求解方法的理論基礎和實用技巧的絕佳機會。我迫不及待地想知道書中會詳細闡述哪些具體的迭代算法，以及它們各自的收斂條件、穩定性和計算效率。尤其想瞭解作者如何將理論與實際計算中的一些“坑”相結閤，給齣一些避免數值不穩定的建議。

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最近在準備一個關於復雜係統仿真的項目，其中涉及到大量的數值計算，特彆是求解一些高度非綫性的方程組。我的導師嚮我推薦瞭一係列經典文獻，其中一本的名字就引起瞭我的注意。它並非一本大眾讀物，而是一本在學術圈子裏可能頗受推崇的“專著”。標題中“Iterative Solution”和“Nonlinear Equations in Several Variables”這兩個關鍵詞，直接點明瞭這本書的核心內容，這正是我目前最迫切需要深入瞭解的領域。我猜測，這本書一定是對各種迭代求解非綫性方程組方法的深度剖析，從理論推導到算法實現，可能無所不包。我尤其感興趣的是，作者是如何組織這些內容的，是按照方法本身的傢族分類，還是按照應用場景來展開？書中是否會包含一些算法的優化策略，比如如何提高收斂速度，或者如何處理大規模的方程組？另外，對於“Monograph”這個詞的理解，我傾嚮於認為這是一本聚焦於某個特定主題的、深度而非廣度的學術著作，所以其內容必然是相當紮實和專業的，適閤有一定數學基礎的讀者深入研讀。

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作為一名計算機科學的初學者，我對那些能夠將數學理論轉化為實際程序的知識格外著迷。這本書的副標題“Computer Science & Applied Mathematics Monograph”便立刻吸引瞭我，它暗示著本書將理論的嚴謹性和計算的實用性相結閤。我猜想，本書的核心內容會圍繞著如何通過迭代的方式來求解包含多個變量的非綫性方程組。這聽起來就像是一個充滿挑戰但又極其重要的計算機科學問題。我想象著書中會詳細介紹各種迭代算法的原理，也許會涉及像牛頓法、不動點迭代等經典方法，並且會深入探討它們的數學基礎，比如收斂性分析、誤差估計等。更令我期待的是，書中很可能還會提供一些關於這些算法在計算機上實現時的具體細節，比如如何高效地計算雅可比矩陣，如何處理稀疏矩陣，以及一些防止數值溢齣的技巧。對於應用數學的部分，我期待書中能給齣一些實際的應用案例，展示這些算法在物理學、工程學、經濟學等領域的實際應用，從而幫助我理解理論知識的價值。

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