凸函数和奥尔里奇空间 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:М. А. 克拉斯诺西尔斯基

出品人:

页数:227

译者:吴从炘

出版时间:1962

价格:0

装帧:21cm

isbn号码:9781025141152

丛书系列:

图书标签:

• 科普
• 调和分析
• 实分析7
• Orlicz空间
• 凸分析
• 奥尔里奇空间
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• 优化理论
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• 固定点理论
• 应用数学

《凸函数与奥尔里奇空间》 本书深入探讨了现代数学分析中的两个重要且相互关联的概念：凸函数与奥尔里奇空间。这两个概念在泛函分析、优化理论、偏微分方程以及更广泛的应用数学领域占据着核心地位。本书旨在为读者提供一个系统、严谨且深入的理解框架，使其能够掌握这些工具的理论基础、内在联系以及在不同研究方向上的应用潜力。 第一部分：凸函数理论 本部分将从基础出发，逐步构建起对凸函数的全面认识。 基本定义与性质： 我们将首先介绍凸函数的核心定义，即函数图像上任意两点连线位于函数图像之上。在此基础上，我们将详细阐述凸函数的关键性质，例如连续性、可微性（一阶和二阶导数）、上凸集、以及与保凸运算（如求和、求最大值、复合等）的关系。 凸函数的度量与分类： 深入讨论凸函数的度量，例如詹森不等式（Jensen's Inequality）在刻画凸函数中的作用。我们将区分严格凸函数、强凸函数以及一般的凸函数，并分析它们在优化问题求解中的差异和优劣。 凸集的几何性质： 凸函数与凸集密不可分。本书将花费一定篇幅来分析凸集的定义、性质及其与凸函数的关系。我们将介绍极端点、支撑集、分离定理等概念，并阐述它们在理解凸函数行为中的重要性。 凸函数与优化： 凸函数的理论很大程度上源于其在优化问题中的优越性。我们将详细介绍凸优化问题的基本框架，包括目标函数、约束条件。重点分析凸优化问题的全局最优性保证，以及如何利用凸性简化搜索算法和分析算法收敛性。我们将探讨诸如梯度下降、牛顿法等基本优化算法在凸函数上的应用。 特殊类型的凸函数： 除了普适性的凸函数，本书还将涉及一些具有特殊结构和重要意义的凸函数，例如： 指数函数族： 在概率论、信息论中广泛应用的凸函数。 范数函数： 向量空间中的核心概念，特别是 $L_p$ 范数，在机器学习、信号处理中扮演关键角色。 共轭函数： 这是一个强大的工具，用于将优化问题转化为对偶问题，并深刻揭示凸函数的内在结构。我们将详细介绍芬赫尔-莱让德（Fenchel-Legendre）共轭的定义、计算以及其在凸分析中的应用。 第二部分：奥尔里奇空间 本部分将聚焦于一类重要的函数空间——奥尔里奇空间，并揭示其与凸函数之间深层的联系。 度量空间与Banach空间基础： 在介绍奥尔里奇空间之前，我们将简要回顾度量空间和Banach空间的基本概念，为理解奥尔里奇空间的拓扑结构打下基础。 奥尔里奇空间的定义： 本书将严谨地定义奥尔里奇空间。我们将引入“模”（Orlicz norm）的概念，并阐述奥尔里奇空间的构成：一类具有特定模的实值函数空间。我们将分析模的性质，以及它如何赋予空间特殊的度量和拓扑结构。 Young函数及其与奥尔里奇空间的关系： Young函数是构造奥尔里奇空间的基石。我们将详细定义Young函数，探讨其性质（如单调性、凸性、增长条件等），并阐述如何通过Young函数来定义相应的奥尔里奇空间 $L_M(Omega)$。我们将深入分析Young函数与空间范数之间的相互作用。 奥尔里奇空间的性质： 嵌入性质： 讨论奥尔里奇空间与其他经典函数空间（如 $L_p$ 空间）之间的包含关系和嵌入性质。我们将分析在何种条件下，奥尔里奇空间是 $L_p$ 空间的子空间或超集。 完备性： 证明奥尔里奇空间是Banach空间，即它是完备的。这将是理解其分析性质（如收敛性、存在性定理）的关键。 对偶空间： 计算奥尔里奇空间的对偶空间，并分析对偶空间与原始空间之间更深层次的联系。这对于理解泛函分析中的一些重要定理至关重要。 紧性和收敛性： 探讨奥尔里奇空间中的紧性条件，以及在不同拓扑下（如强收敛、弱收敛）的收敛性概念，这在研究微分方程的解的存在性和性质时尤为重要。 奥尔里奇空间在微分方程中的应用： 奥尔里奇空间在研究非线性偏微分方程、拟线性方程、方程的弱解理论等方面具有不可替代的作用。我们将展示如何利用奥尔里奇空间的范数和拓扑性质来定义和分析方程的解，证明解的存在性、唯一性、以及一些正则性结果。例如，在研究具有临界增长非线性的方程时，奥尔里奇空间提供了一个比 $L_p$ 空间更合适的分析框架。 第三部分：凸函数与奥尔里奇空间的联系及综合应用 本部分将重点连接前两部分的内容，展示凸函数理论如何深刻地影响并支撑奥尔里奇空间的分析，并进一步探讨两者在更广泛领域的综合应用。 凸函数作为奥尔里奇空间中的重要元素： 我们将回顾并强调Young函数本身的凸性在定义和研究奥尔里奇空间范数中的核心作用。凸函数理论为理解模的性质、判断函数是否属于特定奥尔里奇空间提供了基础。 泛函分析视角： 从泛函分析的角度，我们将深化对凸函数与奥尔里奇空间的理解。例如，共轭函数的概念可以自然地推广到奥尔里奇空间及其对偶空间的研究中，为分析和求解问题提供新的视角。 优化理论与奥尔里奇空间： 探讨在奥尔里奇空间中定义的优化问题。当目标函数或约束条件涉及奥尔里奇空间中的函数时，凸优化理论的许多结果依然适用，但需要对范数和空间结构进行更细致的分析。 偏微分方程中的协同应用： 深入研究凸函数与奥尔里奇空间在偏微分方程研究中的协同作用。许多非线性算子或目标泛函本身是凸的，并且它们作用于奥尔里奇空间或其子空间。理解这些凸性有助于分析算子的性质（如单调性、强制性），从而证明方程解的存在性和唯一性。 信息论与机器学习的联系（展望）： 简要提及凸函数和奥尔里奇空间在信息论（如熵的概念）和机器学习（如正则化项、损失函数的设计）中的潜在联系和应用前景，展示这些抽象理论的实际价值。 目标读者 本书适合数学专业研究生、博士生，以及对泛函分析、凸分析、偏微分方程、优化理论有浓厚兴趣的科研人员和高级工程师。具备基本的实分析和泛函分析知识的读者将更容易理解本书内容。 本书特色 理论严谨，逻辑清晰： 建立在扎实的数学基础之上，每一步推导都力求严谨。 内容全面，深度适中： 覆盖凸函数和奥尔里奇空间的核心概念，并深入探讨其内在联系和应用。 概念直观，例证丰富： 辅以清晰的几何解释和具体的数学例子，帮助读者理解抽象概念。 理论与应用结合： 强调理论在偏微分方程、优化等领域的应用，展现数学工具的强大生命力。 本书致力于为读者提供一个坚实的理论基础和广阔的视野，使其能够自信地运用凸函数与奥尔里奇空间这两个强大的数学工具，去探索和解决更复杂、更深入的数学问题。

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说实话，这本书的厚度一开始让我有些却步，但翻开第一页后，我才明白“厚”绝不是“冗余”的代名词。作者的笔触极为细腻，对于每一个定义的引入都交代了其历史背景和被提出的动机，这让整个理论体系显得有血有肉，而不是一堆冰冷的规则。我特别欣赏作者在介绍一些经典定理时，会穿插引用不同数学家在该领域的开创性工作，这种人文关怀让冰冷的数学变得充满温度。特别是关于“最优控制”那一章节，作者并没有直接跳入复杂的微分方程，而是先从一个工程学的实际问题入手，层层剥茧，最终将问题归结到抽象的数学框架中，这种由实践到理论的引导方式，极大地增强了我的代入感和学习的内驱力。读完后，我感觉自己对数学与现实世界连接的理解深刻了许多，那种“原来如此”的顿悟感是无与伦比的。

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我购买这本书纯粹是出于好奇，因为它的书名听起来就充满了深奥的魅力。实际阅读下来，我必须承认，这是一部极具权威性的参考书。作者在处理理论的严谨性上达到了近乎苛刻的程度，几乎没有留下任何可以被挑战的逻辑漏洞。特别是对“紧致性”概念的讨论，通过对不同度量空间下收敛序列的对比分析，展现了空间结构对函数性质的决定性影响。我尤其喜欢作者在每章末尾设置的“思考题”，这些题目往往不是简单的计算，而是需要综合运用本章乃至前几章知识点的综合性问题，真正考验读者的融会贯通能力。这本书的价值在于，它不仅仅是知识的传递者，更是思维方式的塑造者，它强迫你去思考“为什么是这样”，而不是仅仅接受“它就是这样”。

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这是一本需要静下心来、配上一杯浓咖啡才能完全消化的著作。它的阅读体验是反功利的，你不能指望快速浏览就能掌握其精髓。作者的叙述风格带着一种近乎哲学家的沉稳和笃定，他似乎不急于把你推向终点，而是更享受在通往真理的路上对每一步进行详尽的描摹。我个人感觉，这本书对于那些已经有一定基础，想要寻求更深层次理解的读者来说，价值无可替代。其中关于范数等价性的探讨，作者给出了至少三种不同的证明路径，每一种都展示了数学逻辑的灵活多变，这对我拓展解题思路帮助极大。唯一的“挑战”可能在于，你需要时刻保持高度的专注，因为一旦分心，你可能需要回溯好几页才能重新跟上作者那精妙且毫不拖沓的论证步伐。

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这本书简直是一场思维的盛宴，我读完后感觉自己的大脑被重新塑形了一遍。作者对数学概念的阐述达到了出神入化的境界，那种层层递进、由浅入深的讲解方式，让人在不自觉中就领悟了那些原本看似高不可攀的理论。尤其是在处理那些涉及极限和收敛性的证明时，那种严谨和清晰的逻辑链条，就像是为你的思考过程打下了一块坚实的地基。我记得有一章专门讨论了某个拓扑空间的性质，作者用了很多非常巧妙的比喻来帮助理解那些抽象的结构，使得我这个非专业背景的读者也能窥见其精妙之处。全书的排版和图示设计也极为考究，那些复杂的公式和图形不再是令人望而生畏的符号堆砌，反而成了引导理解的清晰路标。读这本书的过程，与其说是学习，不如说是一次智力上的探险，每一次翻页都充满了期待，生怕错过任何一个精妙的推导。

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这本书给我带来的冲击是结构性的，它改变了我对数学美学的基本认知。作者似乎在用一种诗意的语言来描述最硬核的结构，行文间透露着一种对数学世界本身规律的敬畏。最令我印象深刻的是，作者在介绍一个核心定理时，花了大量篇幅去讨论这个定理在不同领域（如概率论、变分法）的应用场景，这种跨学科的视野拓展，让我看到了数学语言的普适性和强大力量。这本书的文字密度非常高，每一句话都可能蕴含着关键信息，因此我常常需要借助笔记和草稿纸来梳理作者的思路脉络。阅读完毕后，我感觉自己对“结构”和“边界”这两个概念有了全新的、更深刻的体会，这远远超出了我最初预期的学习收获。它更像是一部引导人进入更高维度思考的“心法秘籍”。

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