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页数:346

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出版时间:2010-8

价格:39.00元

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isbn号码:9787302231936

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计算机科学基础系列：算法设计与分析精要 本书面向所有对计算机科学核心理论有深入探究需求的读者， 旨在提供一套严谨、全面且富含实践指导意义的算法设计与分析框架。本书的构建哲学，是建立在坚实的数学基础之上，并强调算法思维在解决复杂计算问题中的普适性与效率考量。 第一部分：基础回顾与理论奠基 (Foundational Review and Theoretical Grounding) 本部分着重于巩固读者在进入高级算法设计前所必需的数学和离散结构知识。我们不会冗余地重复基础编程语言的语法，而是直接聚焦于支撑算法效率分析的数学工具。 第一章：计算模型的严谨性探讨 本章首先引入图灵机（Turing Machine）作为理论计算的基石模型，明确可计算性（Computability）的边界。在此基础上，详细剖析了随机存取机器（Random Access Machine, RAM）模型，并解释为何RAM模型更适合用于分析现代计算机上的实际运行时间。重点讨论了时间复杂度与空间复杂度的精确度量标准，如大O、Ω、Θ符号的严格定义和应用场景。为后续的渐进分析提供无可辩驳的数学框架。我们详细探讨了常数因子在不同计算模型间的差异，并阐述了为什么在渐进分析中忽略常数是合理的理论选择，但在工程实践中需要谨慎。 第二章：离散数学与概率基础的算法应用 本章深入探讨了对算法分析至关重要的离散数学分支。内容包括：组合计数原理（排列、组合、鸽巢原理）在确定算法最坏情况下的应用；生成函数（Generating Functions）如何用于求解复杂递推关系，尤其是在分析分治算法时；以及高级的数论基础，如模运算、欧拉定理和费马小定理，这些是高效实现密码学算法和快速整数运算的关键。此外，概率论部分侧重于概率分析方法，包括期望值计算、随机变量的独立性，以及马尔可夫不等式和切比雪夫不等式在分析随机化算法（如快速排序的平均情况分析）中的实际应用。 第二部分：经典算法范式与效率优化 (Classic Algorithmic Paradigms and Efficiency Optimization) 本部分是本书的核心，系统地介绍了构建高效算法的几种核心思想和范式，并深入剖析了每种范式的理论优势与局限性。 第三章：排序与搜索的深层优化 除了标准排序算法（如归并排序、堆排序）的实现细节外，本章将重点放在基于比较排序的理论下界的证明，即 $Omega(n log n)$ 极限的严格推导。我们详细分析了非比较排序，如基数排序（Radix Sort）和计数排序（Counting Sort），讨论了它们在特定数据约束下的性能优势，并精确界定了它们的时间复杂度何时优于基于比较的算法。搜索算法方面，侧重于平衡搜索树（如红黑树、AVL树）的自平衡机制，而非简单介绍其结构，而是深入探讨了旋转操作的维护不变性（Invariants）以及最坏情况下的对数时间保证的数学证明。 第四章：分治、动态规划与贪心策略 (Divide and Conquer, Dynamic Programming, and Greedy Strategy) 这一章系统地比较了三种最主要的优化设计范式： 分治法 (Divide and Conquer): 重点在于使用主定理（Master Theorem）对递归关系进行精确求解，并提供其适用范围的详细判据。 动态规划 (Dynamic Programming): 强调如何识别最优子结构（Optimal Substructure）和重叠子问题（Overlapping Subproblems）。我们将通过矩阵链乘法、最长公共子序列等经典案例，展示自底向上（Bottom-Up）和自顶向下加备忘录（Top-Down with Memoization）的机制差异与性能权衡。特别关注状态空间压缩技术在减少空间复杂度的应用。 贪心算法 (Greedy Algorithms): 核心在于证明贪心选择性质（Greedy Choice Property）和最优子结构的同时存在，以保证局部最优解导向全局最优解。我们将通过霍夫曼编码和活动选择问题，展示如何构建严格的证明来支持贪心策略的正确性。 第五章：图论算法的进阶应用 (Advanced Graph Algorithms) 本章超越了基础的图遍历（DFS/BFS），专注于需要复杂数据结构辅助的高效图算法： 最短路径： 详细分析了Dijkstra算法的实现，特别关注使用斐波那契堆（Fibonacci Heaps）如何将其时间复杂度从 $O(E log V)$ 优化到 $O(E + V log V)$。接着深入探讨 Bellman-Ford 算法在处理负权边时的机制，以及 Floyd-Warshall 算法的矩阵乘法视角。 最小生成树 (MST): 对 Kruskal 算法中并查集（Disjoint Set Union, DSU）的数据结构操作（路径压缩与按秩合并）进行深入的Amortized（摊还）时间复杂度分析，证明其近线性时间性能。 网络流理论： 引入最大流-最小割定理，并详细分析 Ford-Fulkerson 方法的各种实现（如 Edmonds-Karp 使用 BFS 寻找增广路径），以及更高效的 Dinic 算法的层图构造原理。 第三部分：高级主题与计算复杂性理论 (Advanced Topics and Computational Complexity Theory) 本部分将读者带入算法研究的前沿领域，探讨求解难度极大的问题以及我们对计算极限的理解。 第六章： NP-完全性与不可解性 (NP-Completeness and Intractability) 这是理论计算机科学中最关键的部分。本章不只是罗列已知的NP-完全问题，而是提供一套完整的理论工具来证明新问题的NP-完全性： 可归约性 (Reducibility): 详细解释了多项式时间归约（Polynomial-Time Reduction）的定义和意义。 经典NP-完全问题证明： 提供了从 SAT (可满足性问题) 出发，逐步归约到 3-SAT、Clique、Vertex Cover、Hamiltonian Cycle 等关键问题的完整、严谨的证明路径。 近似算法设计： 既然这些问题通常无法在多项式时间内精确求解，本章将介绍设计近似算法的策略，如：PTAS (多项式时间近似方案) 的概念，以及针对特定问题的性能比分析（Performance Ratio）。 第七章：随机化算法与概率分析的深化 (Randomized Algorithms and Deeper Probabilistic Analysis) 本章探讨了如何通过引入随机性来提高算法的效率或简化复杂性，同时控制出错的概率。 Las Vegas vs. Monte Carlo 算法： 明确区分这两种随机化方法，并给出各自的代表性例子（如 Miller-Rabin 素性测试）。 线性代数与随机化： 引入了基于矩阵乘法和随机抽样的算法思想，探讨在处理大规模数据时，如何利用随机采样来近似计算某些代数结构。 概率工具的应用： 深入应用概率方法中的概率引理（Probabilistic Method），例如，如何利用期望的线性来证明一个具有良好性质的结构必然存在，而无需构造它。 第八章：数据结构的高级抽象与应用 (Advanced Data Structure Abstractions) 本章关注那些支撑复杂算法的高级抽象数据结构，强调其设计原理而非仅仅是实现。 B 树与外部存储优化： 详细分析 B 树和 B+ 树如何针对磁盘I/O进行优化，并计算其访问时间复杂度与磁盘块大小的关系，这对于处理超大数据集的数据库和文件系统至关重要。 计算几何基础数据结构： 引入对数结构的视角，如 K-D 树和四叉树/八叉树，用于多维空间搜索，并讨论它们的退化情况。 持久性数据结构 (Persistent Data Structures)： 探讨如何在不丢失旧版本状态的情况下高效地更新数据结构（例如，函数式编程中的Persistent Red-Black Trees），以及它们在版本控制和历史查询中的作用。 总结 本书力求为读者提供一个清晰的逻辑链条，从计算的理论模型出发，通过严谨的数学工具，系统地掌握解决复杂计算问题的设计范式，并最终理解计算复杂性的本质限制。本书的全部内容均围绕算法设计的理论深度、效率分析的精确性以及范式转换的逻辑展开，不涉及任何特定操作系统或应用软件的配置指南。

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