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出版者:Oxford Science Publications

作者:Derek F.Holt

出品人:

页数:363

译者:

出版时间:1989

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780198535591

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《完美群论：理论与应用》 引言 群论，作为现代数学中最基本、最具影响力的分支之一，其研究对象——群——广泛地渗透在代数、几何、拓扑、数论乃至物理、化学等众多学科之中。群论的丰富性在于其抽象的结构能够捕捉现实世界中对称性的本质，从而提供强大的工具来分析和理解复杂的系统。在群论的浩瀚领域中，“完美群”以其独特的性质和深刻的数学结构，成为了一个引人入胜的研究课题。本书《完美群论：理论与应用》旨在系统地梳理和阐述完美群的概念、分类、性质及其在不同领域的实际应用，为读者提供一个全面而深入的视角。 第一章：群论基础回顾 在深入探讨完美群之前，有必要对群论的基础概念进行一次清晰而严谨的回顾。本章将涵盖： 群的定义与基本性质： 介绍群的公理（封闭性、结合律、单位元、逆元），以及由公理推导出的重要基本性质，如单位元的唯一性、逆元的唯一性、左消去律与右消去律等。 子群与陪集： 定义子群的概念，并探讨子群的判别准则。引入左陪集与右陪集，阐述其性质，特别是当群为有限群时，拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）将在此得到介绍，它揭示了子群阶与群阶的关系。 正规子群与商群： 定义正规子群（normal subgroup）的核心概念，即其陪集构成一个群。在此基础上，介绍商群（quotient group）的构造，以及商群在刻画群结构时的重要作用。 同态与同构： 定义群同态（group homomorphism）和群同构（group isomorphism），阐述它们在保持群结构上的作用。重点介绍同态基本定理（First Isomorphism Theorem），它在理解商群与同态像的关系上起着关键作用。 循环群与阿贝尔群： 介绍最简单但也最重要的群——循环群（cyclic group）的定义、结构和性质。讨论阿贝尔群（abelian group），即交换群，并介绍有限阿贝尔群的分类定理。 置换群与凯莱定理： 介绍置换群（permutation group）的概念，以及凯莱定理（Cayley's Theorem），该定理表明任何群都可以嵌入到一个置换群中，这提供了理解抽象群的另一种途径。 第二章：完美群的概念与定义 本章将正式引入完美群的核心概念，并从理论层面奠定后续研究的基础。 非交换性与单群（Simple Groups）： 在深入完美群之前，理解“非交换性”的普遍性以及“单群”在群论分类中的基础地位至关重要。我们将回顾一些基本的非阿贝尔群，并初步介绍单群的定义——除了平凡子群和自身之外没有其他正规子群的群。 完美群的定义： 给出完美群（perfect group）的严格定义：一个群 $G$ 被称为完美群，如果它等于其交换子子群（commutator subgroup），即 $G = G'$。 交换子子群（Commutator Subgroup）： 详细介绍交换子（commutator）的定义 $[a, b] = a b a^{-1} b^{-1}$，以及由所有交换子生成的子群 $G'$。阐述 $G'$ 的性质：它是 $G$ 的一个正规子群，并且商群 $G/G'$ 是一个阿贝尔群。 完美群的等价刻画： 证明 $G$ 是完美群的几个等价条件： $G = G'$ $G/Z(G)$ 是非阿贝尔群（此处 $Z(G)$ 为 $G$ 的中心） $G$ 的任何非平凡阿贝尔商群都不存在。 单群与完美群的关系： 探讨单群与完美群之间的联系。一个非阿贝尔单群必然是完美的。反之，一个有限完美群若非阿贝尔，则其导出子群 $G'$ 必为非阿贝尔单群。 平凡例子与非平凡例子： 介绍一些显而易见的完美群，例如所有阿贝尔群，其交换子子群为空群（或单位元），而它们的导出子群是单位元，所以它们不满足 $G=G'$ 的定义，除非它们本身是单位元。我们需要关注的是非阿贝尔完美群。介绍一些简单的非阿贝尔完美群，例如 $SL(2, 3)$。 第三章：完美群的结构与分类 完美群的分类是群论中最具挑战性的课题之一。本章将聚焦于这一领域，介绍一些关键的结构定理和分类进展。 有限单群分类的意义： 简要介绍有限单群分类（Classification of Finite Simple Groups, CFSG）的重大成果，指出单群是构成所有有限群的基本“积木”。理解完美群的结构，很大程度上依赖于对其作为单群的“上层建筑”的理解。 有限完美群的性质： 中心： 证明完美群的中心 $Z(G)$ 必须是有限群的西罗 $p$-子群（Sylow $p$-subgroups）的子集。 商群： 任何完美群 $G$ 都满足 $G/G'$ 是一个阿贝尔群。对于完美群，这意味着 $G/G' = {1}$，即 $G' = G$。 重要的完美群家族： 交错群（Alternating Groups）： $A_n$ 对于 $n ge 5$ 是非阿贝尔单群，因此是完美群。我们将证明 $A_n' = A_n$ 对于 $n ge 5$。 李型群（Groups of Lie Type）： 许多李型群（如 $PSL(n, q)$、$PSU(n, q^2)$、$PSp(2n, q)$、$PS Omega(n, q)$ 等）在特定条件下是单群，因此也是完美群。我们将介绍这些群的构造，并简要说明它们在有限单群分类中的地位。 怪兽群（Monster Group）及其他稀有单群： 简要提及一些非常巨大的、在有限单群分类中扮演特殊角色的怪诞群（sporadic simple groups），以及它们是否为完美群（许多是）。 无限完美群： 介绍一些无限的完美群的例子，例如群的无限李群（infinite dimensional Lie groups）及其离散子群，或者一些特定的无限递推群（recursive groups）。 第四章：完美群的计算与判定 理论分类固然重要，但如何在具体问题中识别和计算完美群，以及判定一个群是否是完美群，也是实际应用中不可或缺的。 计算交换子子群： 介绍计算给定群的交换子子群 $G'$ 的算法和策略。这通常涉及生成元和关系，以及对群结构进行细致的分析。 判定完美群的算法： 基于 $G=G'$ 的定义，可以设计算法来判定一个有限群是否为完美群。这可能涉及到计算 $G'$ 的阶，并检查 $G'$ 是否与 $G$ 相等。 子群与正规性检验： 运用已有的群论工具，如西罗定理、正规子群的判别法等，来辅助判定和分析完美群的结构。 计算工具与软件： 介绍一些现有的计算代数系统（如 GAP, Magma, SageMath）在群论计算中的应用，它们可以帮助进行复杂的计算，如计算交换子子群、判定单群等。 第五章：完美群在数学中的应用 完美群的深刻结构使其在数学的多个领域扮演着重要的角色，尤其是在代数几何、数论和表示论中。 代数几何中的应用： 对称群与几何对象的对称性： 很多几何对象（如多面体、代数簇）的对称性可以用群来刻画。完美群作为重要的非阿贝尔单群，其子群结构可以反映出这些几何对象的精细对称性质。 黎曼曲面与自同构群： 完美群（特别是李型群和交错群）的某些嵌入和子群结构与黎曼曲面的自同构群（automorphism groups）紧密相关，这在代数几何和复几何中具有重要意义。 数论中的应用： 模形式与格（Lattices）： 某些特殊的完美群，特别是李型群，与模形式、申密（Shimura）簇以及具有大量对称性的格（lattices）之间存在深刻的联系，这在数论和表示论的交叉领域有广泛研究。 椭圆曲线与群结构： 虽然椭圆曲线的加法群本身是阿贝尔的，但某些与之相关的代数结构和构造可能会涉及非阿贝尔群，其中完美群的性质可能会被用来分析其上的对称性或子结构。 表示论中的应用： 单群的表示： 研究完美群的表示理论，即如何将完美群映射到向量空间的线性变换群。单群的表示理论是理解任意群表示的基础。 李代数与李群的联系： 许多完美群是李群（Lie groups）的离散子群，或者它们是李代数（Lie algebras）的化（universal cover）的离散子群。研究这些李群和李代数之间的联系，是连接代数、几何和分析的重要桥梁。 第六章：完美群在其他学科的应用（初步展望） 虽然完美群主要在纯数学中扮演核心角色，但其深刻的对称性概念也为其他学科提供了理论上的启示和潜在的应用方向。 理论物理中的对称性： 物理学中，对称性是描述自然规律最根本的原则之一。从粒子物理到凝聚态物理，群论扮演着至关重要的角色。虽然直接应用完美群作为基本粒子物理模型的对称性群的例子较少，但其作为单群分类中的“极端”例子，为理解理论模型中的对称性极限和复杂结构提供了思想上的启示。 密码学中的潜在联系： 尽管目前关于完美群在密码学中的直接应用研究尚不深入，但群论在公钥密码学中（如离散对数问题）的应用是基础。对复杂群结构（包括完美群）的深入理解，理论上可能为设计新的加密算法或分析现有算法的安全性提供思路，尤其是在研究具有复杂代数结构的密码学体制时。 生物信息学与复杂系统： 在处理基因序列比对、蛋白质折叠等复杂生物信息学问题时，对结构和对称性的分析至关重要。虽然直接应用完美群不太可能，但从完美群所代表的极端对称性概念中，可以启发对生物系统中的复杂网络结构和演化机制的理解。 结论 《完美群论：理论与应用》一书，从基础概念出发，系统地阐述了完美群的定义、性质、结构和分类，并探讨了其在数学各分支中的重要应用，以及在其他学科的潜在影响。完美群作为群论中一类具有特殊意义的群，其研究不仅深化了我们对群结构的认识，也为理解数学与其他科学的联系提供了深刻的洞见。本书旨在为读者提供一个扎实的研究基础，激发对这一迷人领域的进一步探索。

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这本书的封面设计简直太引人注目了，那种深邃的蓝色调，配上烫金的标题，拿在手里就感觉分量十足。我本来是抱着试试看的心态买的，毕竟市面上关于……（此处省略具体书籍内容，因为要求不包含）的书已经很多了，很难有让人眼前一亮的感觉。然而，当我翻开第一页，那种细腻的纸质触感和排版的美观度就已经让我心里一动。作者的叙事风格非常克制，没有过多渲染情绪，而是用一种近乎冷静的笔触，娓娓道来那些错综复杂的人物关系和背景设定。我尤其欣赏作者在构建世界观时所下的功夫，每一个细节似乎都经过了深思熟虑，即便是看似不经意的对话，也可能在后续章节中揭示出重要的线索。阅读过程中，我常常会停下来，回味某些段落的措辞，那种韵味和力量感，是快餐式阅读难以提供的。不得不说，这本书成功地抓住了一种独特的氛围感，让人一旦沉浸其中，就很难抽离出来，仿佛自己也成为了那个特定时空的一部分，体验着角色的喜怒哀乐。这种深度的代入感，是我近期阅读体验中非常罕见的，绝对值得细细品味。

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这本书的节奏把控得真是太高明了，完全不是那种一上来就抛出重磅炸弹的叙事手法。它更像是一部慢炖的浓汤，初入口可能平淡无奇，但随着温度的升高，那种复合的香气才慢慢渗透出来，直抵心扉。我花了将近一个下午才读完前三分之一，不是因为内容晦涩，而是因为我发现自己总是在不经意间被一些极其精妙的观察点所吸引，需要停下来思考一下作者是如何捕捉到人类内心最微妙的那部分挣扎与渴望的。文字的密度很高，但绝不堆砌，每一个词语的选择都像是经过了严格的筛选，只为承载最大的信息量和情感张力。我甚至注意到，作者在处理时间线推进时，使用了非线性的手法，这要求读者必须保持高度的专注，但回报是丰厚的——真相大白的那一刻，所有的散点才会完美地连成一线，那种豁然开朗的快感，简直让人拍案叫绝。对于喜欢需要动脑筋、品咂文字的读者来说，这本书绝对是不可多得的佳作。

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这本书带来的最大震撼，并非在于它讲述了什么惊天动地的大事，而在于它对“日常”的解构和重塑。作者似乎拥有一种魔力，能将最普通不过的生活场景，瞬间拔高到哲学思辨的层面。我发现自己开始用一种全新的视角去看待我自己的生活片段，去思考那些潜藏在习惯性行为背后的驱动力。这种“去陌生化”的写作技巧非常高超，它让你感觉自己正在阅读的是一个宏大的寓言，尽管故事的载体可能只是几个普通人的命运轨迹。结构上的创新也值得称赞，它没有采用传统的起承转合，而是像一个精密的仪器，各个部件咬合得天衣无缝，即使是看似冗余的支线情节，最终也为核心主题增添了无可替代的维度。我向所有追求文学深度而非仅仅是情节刺激的读者郑重推荐，这本书提供了一种少有的、关于存在和选择的深刻探讨。

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说实话，我一开始对作者的文学功底持保留态度的，毕竟现在很多畅销书的深度和厚度都让人堪忧。但是，这本书彻底扭转了我的看法。它的语言风格极其成熟，融合了古典的严谨和现代的灵动，形成了一种既有历史感又不失活力的独特声调。书中的意象运用尤其出色，比如几次对某种特定自然现象的描写，不仅仅是简单的背景烘托，更是直接映射了角色当时的心理状态或命运转折点。我特别留意了角色之间的对话，那种“言外之意”的张力构建得极其自然，你几乎能感受到屏幕（或者说，纸面）后那股暗涌的交流，远比直接的表白来得有力和真实。读完最后一章，我甚至产生了一种强烈的冲动，想立刻回过头去重读开篇，去寻找那些在初读时被我忽略的、如今看来至关重要的“伏笔”——这无疑是一本可以反复阅读，并能每次带来新发现的作品。它挑战的不是读者的理解力，而是读者的耐心和细致程度。

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读完这本书，我的心情久久不能平静，不是因为情节的狗血，而是因为它所营造出的一种近乎宿命论的悲剧美学。作者对“失落”和“追寻”这两个主题的探讨达到了令人心碎的层次。情绪的表达非常内敛，大量的留白反而让情感的冲击力成倍增加，读者不得不主动填补那些未言明的空白，在这个过程中，自己的情感也无可避免地被投入进去。我尤其欣赏作者对于细节的掌控，比如对某个特定地点的反复提及，它从一个简单的场景符号，逐渐演变成了一种精神图腾，象征着所有未完成的梦想和未愈合的伤口。这本书的后劲很大，不是那种读完立刻合上的激动，而是一种缓慢渗透、在你脑海中持续发酵的感觉，它会让你在接下来的几天里，偶尔停下来，对着窗外发呆，思考那些更本质的问题。这是一本真正能留下印记的作品，它不讨好任何人，只是忠实地呈现了一个复杂的、充满张力的人性世界。

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后来也没用上

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