Lie Groups, Lie Algebras, and Cohomology pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Princeton University Press

作者:Anthony W. Knapp

出品人:

页数:528

译者:

出版时间:1988-5-1

价格:USD 110.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780691084985

丛书系列:Mathematical Notes

图书标签:

• 数学
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群、代数与形变：探索数学深层结构的旅程 在浩瀚的数学宇宙中，有一些理论如同璀璨的星辰，它们不仅自身蕴含着深刻的数学美，更是连接不同数学分支、揭示宇宙规律的桥梁。《群、代数与形变》正是这样一部旨在引领读者深入探索李群、李代数以及它们与上同调理论之间错综复杂联系的著作。这本书并非对某个具体数学分支的浅尝辄止，而是力求构建一个融会贯通的视角，展现这些核心概念如何相互交织，共同构建起描述对称性、动力系统以及形变过程的强大数学框架。 本书的起点，是李群——这一数学中的“连续对称性”的语言。李群是一类具有光滑流形结构的群，它们在描述几何、物理中的连续变换方面扮演着至关重要的角色。从最基本的旋转群 SO(n) 到更复杂的李群，本书将细致地剖析它们的定义、性质以及它们在几何和拓扑学中的应用。我们将一同领略李群如何精确地编码了旋转、平移等连续的几何变换，以及它们如何在微分几何、微分方程等领域中展现其强大的表现力。书中将探讨李群的子群、陪集空间等基本概念，并逐步深入到李群的表示论，理解群的元素如何作用于向量空间，这是理解更深层结构的基石。 与李群紧密相连的是李代数。如果说李群描述的是连续变换本身，那么李代数则像是描述这些变换“在无穷小尺度下的行为”的工具。本书将详细阐述李代数的定义、结构以及它们与对应李群之间的深刻联系。我们将学习如何从一个李群构造出其李代数，反之亦然，理解这种“线性化”过程的数学原理。李代数的向量空间结构、李括号的性质，以及如李代数的表示、李代数同态等概念，都将在书中得到详尽的介绍。特别地，我们将关注一些重要的李代数，如幂零李代数、可解李代数、半单李代数等，理解它们的结构特征以及它们在分类和研究中的重要性。本书还将探讨李代数与微分几何中向量场、曲率等概念的内在联系，展示李代数如何成为研究流形几何性质的有力工具。 然而，数学的魅力远不止于静态的结构。形变——这一概念，揭示了数学对象如何在微小的扰动下保持其基本性质，或者如何从一种形态平滑地过渡到另一种形态。本书将引入上同调理论，作为理解和量化这些形变的强大语言。上同调理论，特别是与李代数和李群相关的上同调，能够捕捉到数学对象中一些微妙的、难以直接观察的性质。我们将从基础的代数同调概念出发，逐步深入到上同调群的构造、性质以及它们在不同数学领域中的应用。 本書的核心之一，便是揭示李代数上同调如何用来研究李代数的形变。我们将看到，李代数上同调群 H^n(g, V) 能够度量一个李代数 g 的某个表示 V 的“扭曲”程度。当 V 是 g 本身时，它能告诉我们李代数自身的结构在“线性扰动”下的稳定性。这在研究数学物理中场论的对称性破缺、以及量子群等非线性代数结构的起源时尤为重要。我们将深入研究李代数上同调的计算方法，包括使用链复形和上链复形，并探讨一些经典的计算范例。 此外，本书还将探索群上同调。如果李代数上同调揭示了“无穷小”的形变，那么群上同调则可以捕捉到群本身的拓扑性质以及它在某个空间上的作用所产生的“整体”效应。我们将学习群上同调群 H^n(G, A) 的定义，以及它如何衡量一个群 G 在某个模 A 上的作用所带来的“全局性”信息。这在代数拓扑学中研究纤维丛、主丛以及代数几何中研究代数簇的性质时具有极其重要的意义。 本書的敘事線將會是循序漸進的，從基礎概念的引入，到複雜理論的構建，再到它們之間的深刻聯繫的揭示。開篇將會以直觀的例子引導讀者進入李群的世界，例如旋轉和李群 SO(3) 的例子。隨後，我們將進入李代數的嚴謹定義和結構分析，逐步介紹凱斯代數、包絡代數等重要概念。 在深入探討上同調理論時，本書將會從抽象的定義出發，但會通過具體的例子來輔助理解。例如，在介紹李代数上同调时，我们会研究泊松流形上的向量场，或者考虑李代数表示论中的重要例子，如李代数 sl(2, C) 的表示。在群上同调的部分，我们可能会涉及一些经典的例子，例如球面上的向量场，或者关于基本群的例子。 本书并非仅仅是这些概念的罗列，更侧重于展现它们之间的“化学反应”。例如，我们将深入探讨 “双重性” 的思想，即李代数上同调如何反映李群的某些拓扑性质，反之亦然。我们将审视 Hopf 代数 的概念，它在某种程度上可以被看作是李代数和更广泛的代数结构之间的桥梁。 本书还将触及一些更前沿但与本书主题密切相关的领域，例如 形变量子化 的思想。形变量子化是一种将经典力学中的泊松代数“量子化”为量子力学中的交换代数的过程，而这个过程的核心正是形变的概念，并且与李代数和量子群有着千丝万缕的联系。虽然本书不会对这些领域进行深入的讲解，但会提供足够的背景知识，让读者理解这些概念的根源。 總而言之，《群、代数与形变》旨在为数学爱好者、研究生以及研究人员提供一条通往深刻理解李群、李代数以及上同调理论的清晰路径。它将不仅仅是一本教科书，更是一次思维的探险，一次对数学结构深层奥秘的探索之旅。本书的读者将有机会学习如何运用这些强大的数学工具来分析对称性、理解连续变换的本质，以及量化数学对象在形变过程中的行为。通过对这些核心概念及其相互作用的深入剖析，本书期望能激发读者对数学更广阔视野的认识，并为进一步的研究打下坚实的基础。

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这本书的封面设计简直是一场视觉盛宴，那种深邃的蓝色调搭配着精准的几何线条，让我一上手就感受到了它蕴含的数学深度。我是在一个偶然的机会下接触到这本书的，当时我对纯粹的拓扑学和微分几何还没有太多涉猎，这本书的出现简直像是为我打开了一扇全新的窗户。从阅读体验上来说，作者的叙事方式非常引人入胜，他没有采用那种刻板的、纯粹的公理化推导，而是巧妙地将历史背景和物理直觉融入到复杂的数学概念中。比如说，在介绍李群的基本结构时，他会穿插一些关于对称性和守恒定律的直观解释，这极大地降低了我作为初学者的理解门槛。我尤其欣赏书中对例子和图示的运用，那些精心绘制的图表，远比枯燥的文字更能直观地展示出流形上的切空间是如何与李代数紧密联系起来的。这本书的排版也非常考究，每一个定理和引理都分界清晰，公式的编号和引用系统做得非常人性化，即便是需要反复查阅的细节，也能迅速定位。整体而言，这本书给人的感觉是严谨而不失温度，它不只是一个知识的容器，更像是一个耐心的向导，引导读者一步步深入到高深数学的殿堂。我花了好几周时间才读完第一章，但那种豁然开朗的感觉，是任何其他教材都无法比拟的。

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从装帧和纸张的质量来看，这本书显然是为需要反复研读的读者准备的。它的装订非常坚固，即使我经常需要将它平铺在桌面上，或者夹带着去实验室翻阅，它也丝毫没有出现散页或磨损的迹象。纸张的质地偏哑光，很好地抑制了反光，这在长时间阅读复杂的数学符号时，极大地减轻了眼睛的疲劳。我注意到，作者在处理符号系统时有着极高的自洽性，这在动辄涉及几十个不同字母和上下标的代数结构中，是多么难能可贵。每一个希腊字母、每一个黑板粗体字母，都有着明确的定义范围，并且在全书范围内保持一致，这避免了阅读过程中因为符号混乱而产生的挫败感。这种对细节的极致追求，体现了作者对读者体验的尊重。坦白说，市面上许多教材在出版时会忽略这些“小事”，但正是这些“小事”，决定了一本书的可用性和长期价值。这本书的厚度虽然令人望而生畏，但一旦开始阅读，你会发现每一页都是充实的，没有丝毫的灌水或冗余。它是一本值得被珍藏和反复参考的工具书。

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读完这本书后，我感觉自己对现代物理学中的规范场理论和弦理论的数学基础有了一个全新的、坚实的基础认知。这本书不仅仅停留在纯粹的数学描述层面，它非常巧妙地平衡了数学的内在美感与它在物理世界中的实际应用价值。例如，书中关于李群作用于微分流形上时，如何定义李导数和无穷小变换的部分，写得极其精妙。作者没有满足于代数层面的定义，而是深入探讨了这些变换如何影响流形上的张量场和微分形式，这对于理解爱因斯坦场方程的对称性或者量子场论中的规范不变性至关重要。我特别欣赏它对“内积”和“度量”的讨论，这部分内容在其他书籍中往往一笔带过，但在这里却被细致地剖析，展示了如何通过黎曼度量来赋予李代数一个“结构”的直观意义。这本书的参考文献列表也显示了作者深厚的学术功底，它不仅引用了古典的数学著作，还包含了许多近期的研究论文，这使得这本书具有很强的时效性和前瞻性。对于那些希望将数学工具与前沿物理问题紧密结合的研究人员来说，这本书无疑是一座金矿。

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这本书最让我感到惊喜的是它在介绍完核心的代数和几何结构之后，并没有戛然而止，而是提供了一章非常具有洞察力的应用展望。这一章虽然篇幅相对较短，但其内容密度极高，它触及了如表示论在晶体物理中的应用，以及李群在几何量子化中的现代角色。作者没有深入到这些应用领域的具体细节，而是提供了一个高屋建瓴的视角，让读者能够清晰地看到自己所学到的抽象工具是如何在实际科学探索中发挥作用的。这种“收尾”的处理方式，极大地激发了我继续探索相关交叉学科的热情。它像是一个优秀的导师，在成功教会你如何使用一把复杂的工具后，会告诉你这把工具能够修理哪些宏伟的机器。此外，书中对一些历史上的争论点的处理也十分公允，它清晰地梳理了不同数学学派在定义和命名上的差异，帮助读者建立起一个更宏观的学术视野。总而言之，这本书不仅仅是关于“是什么”的描述，更是关于“为什么这样”和“它能做什么”的深入探讨，这使得它在众多参考书中脱颖而出，成为一本真正的传世之作。

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我得说，这本书的深度和广度是超乎我想象的。我曾尝试阅读过几本被誉为“经典”的同类主题书籍，但它们往往在处理一些关键的过渡性概念时显得过于跳跃，或者干脆假设读者已经拥有了深厚的背景知识。然而，这本书的作者显然对读者的“痛苦”感同身受，他在处理从群表示到群上纤维丛这些核心内容时，展现出了一种令人敬佩的耐心和细致。我记得最清楚的是关于上同调理论的引入部分，那通常是让许多学习者望而却步的地方。这本书没有直接抛出复杂的张量积和德拉姆复形的定义，而是先通过对一些简单拓扑空间（比如圆环面）的上同调计算，建立起读者的直觉模型，然后再逐步提升到更抽象的范畴。这种“由浅入深，层层递进”的教学法，使得原本晦涩难懂的概念变得触手可及。此外，书中所选取的习题质量极高，它们并非简单的重复性计算，而是真正考验读者对所学概念理解程度的“小挑战”，很多习题的解答思路本身就是对理论的进一步深化和拓展。这本书的价值，不亚于一本精心编排的学术论文集，它真正做到了将前沿研究的成果，以最易于吸收的方式呈现给专业读者。

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只读了chapter 4, 5, 6。写得非常平易近人，细节都写清楚了，非常良心，适合学生自学，没接触过 homological algebra 也能直接读。但是 typo 有点多了。打字机打出来的读起来还是有些不习惯。

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只读了chapter 4, 5, 6。写得非常平易近人，细节都写清楚了，非常良心，适合学生自学，没接触过 homological algebra 也能直接读。但是 typo 有点多了。打字机打出来的读起来还是有些不习惯。

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只读了chapter 4, 5, 6。写得非常平易近人，细节都写清楚了，非常良心，适合学生自学，没接触过 homological algebra 也能直接读。但是 typo 有点多了。打字机打出来的读起来还是有些不习惯。

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这本书好老...