组合凸性和代数几何 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:埃瓦尔德

出品人:

页数:372

译者:

出版时间:2011-7

价格:49.00元

装帧:平装

isbn号码:9787510037566

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

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组合凸性和代数几何：跨越抽象的桥梁 在数学的宏伟殿堂中，组合学和代数几何是两座巍峨的山峰，它们各自以其独特的语言和工具，深刻地探索着结构的本质和空间的奥秘。组合学，以离散的元素和计数为基石，捕捉着事物的排列组合规律；代数几何，则运用方程和多项式，描绘出光滑而优美的几何形状。长期以来，这两门学科虽然各自独立发展，却在不经意间显露出奇妙的联系。本书《组合凸性和代数几何》旨在揭示并深入探讨这种联系，尤其聚焦于“组合凸性”这一核心概念，以此为桥梁，连接起抽象的代数结构与具体的几何形态，展现数学思维的深度与广度。 本书并非简单地罗列两个领域的知识点，而是致力于构建一个有机而严谨的理论框架，展示如何运用组合学的思想和方法来理解和解决代数几何中的问题，反之亦然。我们将从组合凸性的角度出发，引入一系列重要的概念和工具，这些工具能够有效地描述和分析代数簇（algebraic varieties）的内在结构，并从中提取出丰富的组合信息。 第一部分：组合凸性的基石 在本书的第一部分，我们将打下坚实的基础，深入浅出地介绍组合凸性这一核心概念。这部分内容将循序渐进，确保读者即使是初次接触，也能逐步掌握其精髓。 多面体与凸包：我们将从最直观的几何对象——多面体（polyhedra）开始，详细阐述其定义、性质以及构造方法。特别地，我们将关注由一组点集构成的凸包（convex hull），探讨其在组合和几何上的特征。例如，我们将讨论凸包的顶点、边、面等组成部分，以及它们之间的关系。读者将学习如何通过组合的方式来描述一个多面体，例如通过其顶点的坐标或面方程。 单纯复形与胞腔复形：在此基础上，我们将引入更一般化的组合结构——单纯复形（simplicial complex）和胞腔复形（cell complex）。单纯复形是由单纯形（点、线段、三角形、四面形等）拼接而成的几何对象，而胞腔复形则由更高维度的“胞腔”组成。我们将深入研究这些复形的组合性质，例如其骨架（skeleton）、连通性、同调群等，并揭示它们与几何形状的内在联系。我们将看到，如何通过组合的方式来刻画这些拓扑空间。 组合凸性的度量与不变量：为了量化和区分不同的组合凸体，我们将引入一系列重要的组合不变量（combinatorial invariants）。这包括但不限于：欧拉示性数（Euler characteristic）、顶点数、边数、面数、体积、表面积等。我们将探讨这些不变量的计算方法，以及它们在区分不同几何形状时的作用。更重要的是，我们将关注与代数几何相关的组合不变量，例如与多项式方程解集相关的组合特征。 多面体的对偶性：对偶性（duality）是组合学中一个强大的概念，我们将深入探讨多面体及其组合结构的对偶关系。例如，一个多面体的顶点对应着另一个多面体的面，反之亦然。我们将研究这种对偶性如何帮助我们更深入地理解几何对象，以及它在代数几何中的应用。 第二部分：组合凸性在代数几何中的视角 在掌握了组合凸性的基本工具后，本书的第二部分将聚焦于如何将这些组合概念应用于代数几何领域，揭示两者之间深刻而隐秘的联系。 代数簇的组合描述：我们将探讨如何使用组合凸性的语言来描述代数簇。对于光滑代数簇，其某些“局部”或“全局”的组合性质可能编码了其代数结构的信息。我们将研究如何将代数簇上的函数、理想、模（moduli）空间等概念，转化为组合结构上的问题。例如，我们可能会研究代数簇的“视野”（view）或“投影”（projection）所形成的组合几何。 格点多面体与代数几何：格点多面体（lattice polytopes）是组合凸性中一个特别重要的对象，其顶点都位于整点上。我们将深入研究格点多面体与代数簇之间的联系。例如，某些代数簇的结构可以由格点多面体的组合性质来编码，而格点多面体的组合属性（如体积、泰勒数）则能提供关于代数簇的信息。我们将介绍Picard-Fuchs方程与格点多面体之间的关系，以及Gröbner基与特定多面体之间的对应。 Toric 簇的组合基础：Toric 簇（toric varieties）是代数几何中一类特殊的簇，它们与格点多面体有着极其紧密的联系。本书将详细介绍Toric簇的构造，以及它们与格点多面体之间的双射关系。我们将展示如何利用Toric簇的组合性质来研究其代数几何特性，例如其上的线性系统、上同调环等。这部分内容将深入到Toric簇的经典理论，并强调其组合构造的重要性。 代数集合的组合边界：我们将研究代数集合（algebraic sets）的组合边界。对于某些代数集合，其边界可以被自然地看作是一个组合对象，例如一个单纯复形或胞腔复形。我们将探索如何通过分析这些组合边界来理解代数集合的结构，并从中提取重要的代数几何信息。 第三部分：高级主题与前沿应用 在构建了组合凸性与代数几何之间的桥梁之后，本书的第三部分将进一步探索更高级的主题和前沿应用。 模空间与组合几何：模空间（moduli spaces）是代数几何中的一个核心概念，它们是几何对象的“空间”。我们将研究如何使用组合凸性的思想来理解和分析模空间的结构。例如，某些模空间的“紧化”（compactification）可以被看作是一个组合对象，而这个对象上的组合结构则编码了模空间的几何性质。我们将探讨如Mukai和Kontsevich等数学家在该领域的重要工作。 代数几何的计算方法：本书将介绍如何利用组合凸性的方法来开发代数几何的计算算法。例如，我们可以利用Gröbner基的组合性质来加速代数几何问题的求解，或者利用多面体的性质来设计高效的计算几何算法。我们将介绍一些基于组合方法的计算代数几何的工具和技术。 与理论物理的联系：在更广泛的意义上，组合凸性与代数几何的结合在理论物理领域，尤其是在弦论和量子场论中，扮演着越来越重要的角色。我们将简要介绍这种联系，例如 Mirror Symmetry 的思想，以及它如何启发了组合几何和代数几何的深刻洞见。 未来的展望：最后，我们将对该领域未来的发展方向进行展望，探讨尚未解决的问题和潜在的研究课题。我们将强调组合凸性在未来代数几何研究中的重要性和广阔前景。 本书的目标读者包括代数几何、组合数学、计算数学以及理论物理等领域的学生、研究人员以及对这些交叉领域感兴趣的读者。我们力求在保持数学严谨性的同时，使其内容尽可能地易于理解和吸收。通过本书的学习，读者将能够以全新的视角审视代数几何，并掌握利用组合学的强大工具来解决代数几何问题的能力，从而更好地理解数学结构之美。

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这本书的理论深度令人叹服，但其最大的魅力，或许在于它所体现出的一种超越学科界限的哲学思辨性。在探讨那些极其抽象的结构时，作者偶尔会“放慢脚步”，进行一些关于“存在性”、“完备性”以及“数学美学”的探讨。他会引发读者思考：我们所描述的这些结构，究竟是人类思维的建构，还是客观世界本身所固有的规律？书中对对称性、不变性这些概念的阐述，已经远远超越了纯粹的计算层面，上升到了形而上的层面。例如，在某一章节的尾声，作者用一段精炼的文字总结了某个看似冰冷的概念背后所蕴含的和谐与秩序，这种对数学美学的歌颂，给予了读者一种精神上的滋养。它让我们意识到，我们在处理这些复杂的符号和公式时，实际上是在与一种深刻的、普遍的真理进行对话。这本书读完之后，带给我的不仅仅是专业技能的提升，更是一种看待世界方式的微妙转变，一种对逻辑和秩序的更高层面的敬畏。

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这本书的难度梯度设计，简直是教科书级别的典范。我发现它在结构上做了非常精妙的划分，每一个章节的末尾都附带着数量可观且难度层层递进的习题集。初级的练习旨在巩固刚刚学到的核心定义和基础操作，确保读者能够扎实地掌握每一个基本模块。等到章节中后段，习题的复杂度开始显著提升，它们往往要求读者综合运用前面学到的两三个不同章节的知识点，进行跨领域的联结和思考。我个人特别欣赏那些“挑战性”习题，它们往往需要读者跳出书中既有的框架，进行一些创造性的推导或者证明。更妙的是，有些习题的提示信息给得非常巧妙——它不是直接给出下一步，而是用一种看似不相干的引述或另一个数学分支的观点来暗示方向，这种“点到为止”的引导，极大地锻炼了读者的独立解决问题的能力，避免了过度依赖解答手册的弊端。可以说，这本书不仅仅是在传授知识，更是在训练读者的“数学肌肉”。

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这本书的装帧设计给我留下了非常深刻的印象。硬壳封面摸上去质感十足，那种略带粗糙但又非常结实的触感，让人立刻联想到经典学术著作的厚重与权威。设计风格走的是极简主义路线，深色调的背景上，书名和作者信息采用了非常清晰、略带衬线的字体，排版疏朗有致，没有一丝多余的装饰，这本身就传递出一种强烈的信号：内容是核心，没有花哨。侧脊的烫金工艺虽然低调，但在光线下能隐约反射出低调的光泽，透露出一种低调的奢华感。翻开扉页，纸张的选择也十分考究，不是那种亮得刺眼的白，而是偏向米白色的道林纸，既保证了阅读时的舒适度，也减少了反光，长时间阅读眼睛不容易疲劳。尤其是内页的印刷，墨迹浓郁，图表线条清晰锐利，对于涉及复杂公式和图形的学术书籍来说，这一点至关重要。它不仅仅是一本书，更像是一件值得收藏的艺术品，让人在捧读之前就已经对即将展开的知识旅程充满了敬意和期待。这种对物理形态的重视，让人感觉作者和出版社对这部作品倾注了极大的心血，绝非草草了事之作。

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作为一名在相关领域摸爬滚打多年的研究者，我通常对市面上那些“快餐式”的教材持保留态度。然而，这本书真正让我眼前一亮的地方在于它对前沿研究方向的洞察和整合能力。它并没有止步于介绍那些已经固化在经典教材中的内容，而是花了相当大的篇幅，探讨了近年来领域内几个正在活跃的、具有争议性的研究课题。例如，在讨论某个复杂结构的性质时，作者引用了近五年内顶级期刊上发表的几篇关键论文的核心观点和证明思路，并用这本书的语言体系进行了重构和阐释。这种处理方式的价值在于，它有效地弥合了经典理论与当前研究前沿之间的鸿沟。对于像我这样需要紧跟最新动态的读者来说，它充当了一个优秀的“翻译器”和“汇编者”，帮助我们将那些散落在不同角落、用不同术语描述的前沿成果，有效地整合进自己已有的知识框架中，极大地提高了信息处理的效率。

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我是在一个研讨会上偶然听说了这本书的，当时一位资深的教授提到它时，语气里充满了对作者深厚功底的赞许。我立刻去图书馆借阅了这本书，试图探究它究竟有何魔力。初读之下，我被作者那种近乎于讲故事的叙述方式所吸引。他并没有直接抛出晦涩的定义和复杂的定理，而是像一位经验丰富的向导，先描绘出某个数学领域宏大的图景，然后才引导读者深入到具体的细节之中。这种循序渐进的处理方式，极大地降低了初学者的入门门槛。比如，他在介绍某个抽象概念时，会巧妙地引入一个非常直观的几何类比，将高维空间中的运动感用平面上的阴影变化来解释，让人豁然开朗。更难能可贵的是，书中对历史脉络的梳理也极为到位，每当引入一个新工具或新视角时，作者都会回溯其思想的起源，点出前人是如何一步步摸索到这一步的，使得知识点不再是孤立的真理，而是有生命力的发展过程。这让阅读体验充满了探索的乐趣，而不是枯燥的记忆。

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