索伯列夫空间论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:王向东

出品人:

页数:300

译者:

出版时间:2004-5-1

价格:42.00

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787030125446

丛书系列:

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《索伯列夫空间论》是一部数学专著，深入探讨了在数学分析、偏微分方程、以及与物理学相关领域中占据核心地位的索伯列夫空间。这本书旨在为读者提供对这些重要函数空间进行系统性、详尽性理解的框架，并展现它们在解决现代数学难题中的强大应用。 本书的开篇，将首先回顾泛函分析中的基础概念，为读者建立坚实的理论基础。我们将详细介绍赋范线性空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间等概念，并探讨它们的性质与结构。在此基础上，我们将引入勒贝格积分和勒贝格可积函数空间 $L^p$ 的概念，这为后续索伯列夫空间的定义奠定了不可或缺的基础。读者将学习到勒贝格测度和积分的理论，理解其优越性以及与黎曼积分的区别，并通过丰富的例子加深对 $L^p$ 空间的认识。 紧接着，本书的核心内容——索伯列夫空间的定义与基本性质——将展开论述。我们将精确地定义一阶、二阶乃至更高阶的索伯列夫空间 $W^{k,p}(Omega)$ 和 $H^k(Omega)$，并详细解释其定义中“广义导数”的概念。广义导数是索伯列夫空间的核心，它允许我们在不要求函数本身处处可微的情况下，依然能够谈论其导数的性质。我们将通过直观的例子和严格的数学推导，阐明广义导数的引入如何克服传统微积分的局限性，从而拓展可研究函数的范围。 本书将系统地研究索伯列夫空间的各种代数性质和拓扑性质。我们将证明索伯列夫空间是完备的巴拿赫空间，并探讨其作为希尔伯特空间的情况。索伯列夫嵌入定理是本书的重点之一，它描述了索伯列夫空间如何嵌入到更一般的函数空间，如连续函数空间 $C^k(Omega)$、积分空间 $L^q(Omega)$ 等。这些嵌入关系揭示了函数的平滑性和积分性质之间的深刻联系，为理解函数的行为提供了强大的工具。本书将详细推导并讨论各种嵌入定理的条件与结论，包括索伯列夫嵌入定理、尼伦伯格-格朗瓦尔嵌入定理以及吴氏嵌入定理等，并举例说明其在分析中的重要性。 除了嵌入性质，本书还将深入研究索伯列夫空间的迹定理（Trace Theorem）。迹定理是研究偏微分方程边界条件的关键，它描述了在索伯列夫空间中函数在边界上的“值”的性质。我们将详细推导迹定理，并阐述其在处理具有边界条件的偏微分方程时所起的决定性作用。 此外，本书还将探讨索伯列夫空间中重要的代数结构，例如内积、范数以及它们之间的关系。我们将深入分析索伯列夫范数是如何构造的，以及它如何反映函数的导数信息。索伯列夫空间中的紧嵌入定理也将是本书的一个重要讨论方向，它对于理解算子在这些空间中的紧致性行为至关重要，并与不动点定理等分析工具紧密相连。 本书的后半部分，我们将聚焦索伯列夫空间在解决实际数学问题中的应用。我们将详细探讨偏微分方程理论，尤其是椭圆型、抛物型和双曲型方程的弱解理论。索伯列夫空间是定义和研究这些方程弱解的自然框架。本书将通过一系列经典算例，展示如何利用索伯列夫空间和相关的嵌入、迹定理来证明解的存在性、唯一性、以及解的各种光滑性估计。例如，我们将讨论泊松方程、热方程、波动方程等的定解问题，并展示如何运用变分法和能量方法来获得它们的弱解。 本书还将触及与索伯列夫空间密切相关的其他函数空间，例如贝索夫空间（Besov spaces）和空间（) spaces。我们将概述这些空间的定义和性质，并解释它们与索伯列夫空间之间的关系，进一步拓宽读者的研究视野。 最后，本书将对一些前沿的研究方向进行展望，例如非线性偏微分方程、多复变中的索伯列夫空间、以及索伯列夫空间在几何分析、概率论和机器学习等交叉学科中的应用。这些内容旨在激发读者进一步探索索伯列夫空间理论的兴趣，并鼓励他们将其应用于自己的研究领域。 本书的目标读者是数学专业高年级本科生、研究生以及对偏微分方程、泛函分析和相关应用领域感兴趣的研究人员。本书力求内容严谨、逻辑清晰、论证充分，并通过丰富的例题和习题帮助读者巩固所学知识，提升分析能力。阅读本书需要具备一定的实分析和泛函分析基础。

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总而言之，对于任何希望在偏微分方程、变分法或相关领域达到专业水准的人来说，《索伯列夫空间论》是一本不可或缺的基石。我特别喜欢作者在关键定理证明后留下的“思考题”——它们并非简单的练习，而是引导你去探索该理论在更复杂、更高维结构中可能出现的推广和限制。书中对权重索伯列夫空间（Weighted Sobolev Spaces）的介绍，虽然篇幅相对较少，但其敏锐的洞察力已经为读者指明了通往前沿研究的方向。这本书的价值在于，它不仅教授了“是什么”，更深刻地阐释了“为什么是这样”，并预示了“未来会怎样”。它要求读者付出努力，但回报是巨大的知识体系的重塑和分析思维的升华，绝对是值得反复研读的经典之作。

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这部作品的排版和符号系统也值得称赞，清晰度极高，这在处理涉及多重指标和复杂积分符号的书籍中尤为难得。但更吸引我的是作者对“泛函分析的视角”的强调。索伯列夫空间固然是PDE的利器，但作者始终没有忘记将其置于更宏大的泛函空间理论框架下审视。书中对这套空间作为完备赋范空间，以及它们如何构成特定希尔伯特空间的完备化过程的论述，体现了一种深层次的数学统一观。特别是当它论及Sobolev空间上的Riesz表示定理的应用时，那种将几何直观与分析工具完美融合的感觉，让人心悦诚服。这不像是一本关于单一主题的书，而更像是一堂关于现代数学分析的精选大师课，处处透露着结构之美和逻辑之严密，让人在阅读时时刻保持高度的智力兴奋感。

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拿到这本书的时候，说实话，我对它的期待是偏向于教科书式的、枯燥的理论阐述，但读进去之后，才发现作者的叙事节奏掌控得极为高明。它不像某些严谨的数学专著那样冷硬，反而带着一种引导者的耐心。尤其欣赏它在讲解那些复杂的嵌入定理（如 $W^{k,p} hookrightarrow C^m$）时所采用的循序渐进的论证结构。作者没有急于抛出最强的结论，而是先通过具体的例子，比如一维情况下的积分表示，逐步引导读者理解“函数及其导数的 $L^p$ 范数”这一核心概念是如何在保证函数足够“好”的同时，还能容纳那些在经典意义下不可微但实际应用中又极为重要的函数族。我特别喜欢书后附带的几章历史背景介绍，它让整个理论体系的建立不再是空中楼阁，而是充满了历史的必然性与偶然性，这极大地增强了阅读的趣味性和代入感，让我感觉自己不是在啃理论，而是在参与一场伟大的数学发现之旅。

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这本书在处理数学工具的“实用性”上做得非常出色，这对于从事数值分析或偏微分方程数值解法的研究人员来说至关重要。它不仅仅停留在理论的完美性上，而是很早就开始探讨实际计算中的挑战。例如，关于函数空间上的算子是有界性的论证，书中不仅给出了清晰的证明，还非常贴心地讨论了参数 $p$ 和维度 $n$ 对这些界限的影响，这直接关系到数值算法的稳定性和收敛速度。我发现自己以前在处理某些奇异性问题时感到困惑，但通过书中对“迹空间”（Trace Spaces）的深入剖析，我茅塞顿开，明白了为什么在某些离散化方案中，边界条件的正确施加至关重要。这种从抽象理论直接映射到工程或计算实际的清晰路径，是许多纯理论书籍所欠缺的，使得《索伯列夫空间论》更像是一本“工具箱”而非仅仅是“字典”。

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这本《索伯列夫空间论》真是一部让人眼前一亮的著作，尤其是对于那些深耕于数学分析和泛函分析领域的读者而言，它简直就是一座知识的宝库。作者在开篇就以一种极其严谨且富有洞察力的笔触，构建起整个索伯列夫空间理论的基石。我印象最深的是它对弱导数概念的引入，那是一种近乎艺术性的数学抽象，将传统微积分的直观性与更广泛函数空间的完备性巧妙地结合起来。书中对Sobolev不等式及其等价性的详尽论述，不仅仅是公式的堆砌，更像是对函数光滑性和局部行为之间深刻联系的哲学探讨。阅读过程中，我时常停下来，反复揣摩那些看似简单的定义背后蕴含的巨大能量，特别是关于边界值问题的适定性分析部分，作者的处理方式简洁却有力，完美展现了偏微分方程理论的内在美感。对于希望从基础概念过渡到高级应用，比如变分法或者非线性椭圆方程研究的同仁来说，这本书无疑提供了一个坚实、无可挑剔的起点和参照。

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