概率论与数理统计 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:机械工业出版社

作者:姚孟臣

出品人:

页数:276

译者:

出版时间:2002-4-1

价格:26.00

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787111100560

丛书系列:

图书标签:

• 概率论
• 数理统计
• 高等数学
• 统计学
• 数学
• 教材
• 大学教材
• 概率
• 统计
• 随机过程

《现代应用数学方法论》 图书简介 本书旨在为理工科、经济学、管理学等领域的研究者和高年级本科生提供一套全面、深入且具有极强应用导向的现代数学方法论工具箱。我们深知，在当今交叉学科研究日益深化的背景下，掌握扎实的数学基础并能熟练运用前沿的分析工具，是推动学术创新和解决复杂工程问题的关键。因此，本书的编写严格遵循“理论基础与实际应用并重”的原则，力求在概念的严谨性与方法的直观性之间达到完美的平衡。 本书共分为六大部分，涵盖了从基础拓扑结构到高级优化算法的广泛内容，每一章节都力求深入浅出，并配有大量的实例分析和计算代码参考（侧重于Python和MATLAB环境下的实现）。 --- 第一部分：实分析与泛函基础 (Foundations of Real Analysis and Functional Analysis) 本部分是全书的理论基石，侧重于构建严谨的数学分析框架，为后续的高级建模和算法推导奠定坚实的分析基础。 第一章：测度论与Lebesgue积分 传统微积分中的Riemann积分在处理不规则函数和无穷级数收敛性时存在局限。本章详细阐述了$sigma$-代数、测度空间的概念，重点剖析了$sigma$-有限测度和完备测度。Lebesgue积分的定义被严格推导，并系统地展示了其与Riemann积分的关系，以及其在处理极限交换（如单调收敛定理、优控收敛定理）中的优越性。特别地，我们将引入$L^p$空间的概念，这是泛函分析的核心载体。 第二章：赋范线性空间与Hilbert空间 本章将分析的概念从欧几里得空间扩展到更一般的拓扑向量空间。我们详细讨论了Banach空间（赋范完备线性空间）的定义、性质及其构造方法。核心内容集中在Hilbert空间——一个内积诱导出范数的完备空间。我们将深入探讨正交性理论、Riesz表示定理，以及Schmidt正交化过程，这些是傅里叶分析和偏微分方程求解的理论基础。 第三章：算子理论初步 在泛函空间上，我们引入线性算子和有界线性算子。本章重点研究自伴算子（Self-Adjoint Operators）的谱理论。通过谱定理，我们将抽象的算子运算转化为在对角化空间中的乘法运算，这在量子力学、随机过程的演化分析中具有不可替代的作用。 --- 第二部分：现代优化理论与凸分析 (Modern Optimization Theory and Convex Analysis) 本部分聚焦于如何在高维空间中寻找最优解，这是工程控制、机器学习和经济决策的核心技术。 第四章：凸集与凸函数 本书对凸性进行了更深入的探讨，不仅仅停留在几何直观层面。我们引入Farkas引理、分离超平面定理等关键的凸性判据。通过对共轭函数和次梯度（Subgradient）的分析，我们将优化问题从光滑函数推广到非光滑函数领域。 第五章：无约束优化算法 详细阐述经典的一阶和二阶优化方法。对于一阶方法，除了梯度下降法外，我们重点分析了动量法（Momentum）、Nesterov加速梯度法（NAG）以及自适应学习率方法（如Adagrad, RMSProp, Adam）的收敛性分析和实际性能差异。对于二阶方法，牛顿法及其变种（如拟牛顿法BFGS, DFP）的收敛速度和计算复杂度进行了详尽对比。 第六章：约束优化与对偶理论 约束优化是实际应用中的常态。本章的重点是KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件。我们对凸约束下的KKT条件进行了严格的证明，并深入探讨了Lagrange对偶函数和对偶问题的构造。通过对对偶间隙的分析，读者将理解如何利用对偶方法求解原本难以处理的原始问题，特别是线性规划和二次规划问题。 --- 第三部分：随机过程与时间序列分析 (Stochastic Processes and Time Series Analysis) 本部分侧重于对随时间演变的随机现象进行建模和分析，是金融工程、信号处理和可靠性工程的必备工具。 第七章：马尔可夫过程与鞅论 本书将马尔可夫链的讨论提升到嵌入空间分析的层面。我们重点分析了平稳分布的存在性与唯一性，以及遍历性定理的应用。随后，鞅（Martingale）理论被引入，作为刻画“公平”随机过程的强大工具。鞅的收敛定理及其在分析随机博弈和金融定价中的应用被作为重点案例进行讲解。 第八章：布朗运动与随机微积分 从Wiener过程的构造出发，本章系统地介绍了Itô积分的定义及其性质。核心是Itô公式的推导和应用，它将传统的微积分链式法则扩展到随机微分方程（SDEs）。我们探讨了SDEs的解的存在性与唯一性，并给出了对数正态分布、几何布朗运动等经典模型的应用实例。 第九章：时间序列的平稳性与预测 本章关注离散时间序列。我们区分了严��平稳与弱平稳过程，并引入了自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来识别序列结构。重点讲解了Box-Jenkins ARIMA模型的建立流程，包括差分、模型识别、参数估计和诊断检验。对于长期依赖性，Hurst指数和分数布朗运动的概念被引入。 --- 第四部分：偏微分方程的数值方法 (Numerical Methods for Partial Differential Equations) 面对复杂的物理和工程问题，解析解往往难以获得。本部分提供求解偏微分方程（PDEs）的实用数值框架。 第十章：有限差分法 (FDM) 本章主要针对经典的一维和二维PDE，如热传导方程、波动方程和泊松方程。我们详细讨论了前向差分、后向差分和中心差分的精度与稳定性分析（例如，使用Von Neumann稳定性分析判断CFL条件）。对隐式方法（如Crank-Nicolson格式）的线性系统求解被放在突出的位置。 第十一章：有限元法基础 (FEM) 有限元法是处理不规则几何域和复杂边界条件的利器。本章以变分原理为核心，解释了弱解的概念。我们详细构建了基本单元（如三角形单元）上的形函数（Shape Functions），并展示了如何通过将PDE转化为能量最小化问题，从而离散化并求解椭圆型方程。 --- 第五部分：信息论与编码理论 (Information Theory and Coding Theory) 本部分跨越数学与信息科学的边界，关注信息的量化、传输和压缩的数学原理。 第十二章：信息量的度量 熵（Entropy）作为不确定性的度量被严格定义，并阐述了其基本性质（如最大熵原理）。我们深入分析了互信息（Mutual Information）和条件熵，探讨它们在特征选择和依赖性度量中的作用。KL散度（相对熵）被引入，作为衡量两个概率分布差异的非对称指标。 第十三章：信源编码与信道容量 本章阐述了香农的信源编码定理，重点分析了Huffman编码的构造过程及其最优性。随后，本书转向信道编码，详细解释了信道容量的概念。对于有噪信道，我们分析了信道编码定理，并对线性分组码（如汉明码）和卷积码的基本编码与解码流程进行了实例说明。 --- 第六部分：应用数学中的矩阵计算 (Matrix Computation in Applied Mathematics) 本部分专注于高效、稳定地处理大规模矩阵运算，这是所有现代计算科学的底层需求。 第十四章：矩阵分解与特征值问题 除了基础的LU分解外，本书重点讨论了具有数值稳定性的分解方法，如QR分解和Cholesky分解。特征值问题的求解被细致剖析，包括Power迭代法、反幂法（用于求近特征值）以及QR算法的原理。这些方法在模态分析和稳定性判断中至关重要。 第十五章：稀疏矩阵与迭代求解器 在处理大规模科学计算问题时，矩阵往往是稀疏的。本章侧重于迭代求解器，而非直接求解器。我们详细分析了雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代的收敛条件，并重点介绍 Krylov 子空间方法，如 Lanczos 算法 和 Arnoldi 算法 及其在求解大型对称/非对称特征值问题中的高效性。 --- 本书特色总结： 1. 理论的深度与广度兼备： 不满足于基础概念的介绍，深入到收敛性证明和核心定理的推导。 2. 计算方法的实战性强： 每种主要方法都伴随着实现该方法所需的数学结构（如矩阵形式、迭代公式），便于读者转化为实际代码。 3. 前沿交叉性显著： 覆盖了从经典分析到现代优化、随机过程和数值分析等多个关键领域，体现了现代应用数学的综合性。 本书不仅是深化数学理解的专业教材，更是面向复杂系统建模和数据驱动决策的强大工具书。

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