具体描述
本书是以大学理工科的《高等数学》的教学大纲为依据，结合大学教学大纲并参考最主流教材编写而成。内容简练明确，解决问题透彻明了，易学易用。本书的结构特点是，在每章的开头，首先列出本章的知识要点，然后扼要论述知识分析和学习要求，随后通过丰富的典型例题，详细讲述解析方法和答案，最后附有极具针对性的习题与自测。
本丛书具有三导合一的特点：集中知识要点导学，典型例题与习题导讲，知识点学习和自测紧密导练。
本书适合学习《高等数学》的大学理工科学生使用。
深入理解与实践：经典力学与电磁学前沿探索 导言 本教材旨在为理工科专业学生构建坚实的理论基础，并引导其进入现代物理学的核心领域。内容涵盖经典力学（牛顿力学、拉格朗日力学与哈密顿力学）的精深解析，以及电磁场理论（麦克斯韦方程组及其应用）的系统阐述。全书结构严谨，注重从基本原理出发，逐步深入到复杂的物理模型与前沿研究方法，力求在培养学生扎实的数学工具应用能力的同时，激发其对物理世界深层规律的探索兴趣。 --- 第一部分：经典力学的高级理论体系 经典力学是理解宏观世界运动规律的基石。本部分超越了牛顿力学的初步描述，重点聚焦于分析力学和理论力学的深刻体系，为处理复杂系统的运动提供强有力的数学框架。 第一章：变分原理与最小作用量 本章首先回顾了牛顿第二定律的局限性，引出物理学中普遍存在的变分原理。重点讲解欧拉-拉格朗日方程的推导过程及其物理意义，明确了“最小作用量”在决定系统演化路径中的核心地位。随后，详细探讨了泛函导数、约束条件的引入（拉格朗日乘子法）在经典力学中的实际应用，例如有固定约束的质点运动分析。本章强调了变分法作为一种优化的、更具对称性的力学描述方式。 第二章：拉格朗日力学：广义坐标下的动力学 拉格朗日力学以能量为核心，极大地简化了约束系统的分析。本章系统地介绍了拉格朗日函数 $L(q_i, dot{q}_i, t)$ 的构造方法，并详细分析了保守系统与非保守系统的拉格朗日方程。我们将通过大量实例，如双摆、弹簧振子组、滚体运动等，展示如何利用广义坐标 $q_i$ 巧妙地规避复杂的约束力计算。深入探讨了拉格朗日力学的守恒量（诺特定理的前驱概念），包括动量、能量的守恒性及其在解析运动轨迹中的作用。 第三章：哈密顿力学：相空间与正则变换 哈密顿力学是连接经典力学与量子力学的桥梁。本章从拉格朗日力学出发，定义了正则共轭动量 $p_i = partial L / partial dot{q}_i$，并构建了哈密顿函数 $H(q_i, p_i, t)$。我们深入分析了哈密顿方程组（一组一阶微分方程）相对于拉格朗日方程组（一组二阶微分方程）的优越性。重点讲解了泊松括号的定义、性质及其在描述物理量演化中的作用。最后，详述了正则变换的条件、生成函数及其对系统求解的指导意义，为理解相空间结构奠定基础。 第四章：刚体动力学进阶 本章将经典力学的工具应用于具有复杂内部结构的研究对象——刚体。首先，复习了刚体的运动描述（欧拉角和旋转矩阵），并推导出刚体运动的总角动量定理。核心内容是转动惯量张量 $I_{ij}$ 的定义、对角化、主轴的确定。在此基础上，推导并应用了欧拉方程，用于分析绕固定点转动和自由转动的刚体（如陀螺）。本章还会涉及稳定性和进动问题，加深对角动量在三维空间中作用的理解。 --- 第二部分：经典电磁场理论的严谨建构 电磁学是描述电荷和电流相互作用的物理学分支。本部分严格遵循麦克斯韦的理论框架，从场论的角度对电、磁现象进行统一描述和深入分析。 第五章：静电场与静磁场的数学描述 本章从库仑定律和毕奥-萨伐尔定律出发，引入电场强度 $mathbf{E}$ 和磁感应强度 $mathbf{B}$ 的概念。重点讲解高斯定理和安培环路定理在计算对称性电磁场中的应用。随后，深入探讨势函数的概念，推导出电势 $V$ 和磁标量势 $phi_m$ 的泊松方程和拉普拉斯方程，并掌握分离变量法等数学工具在求解边界值问题（如静电学中的 Dirichlet 和 Neumann 问题）中的应用。 第六章：麦克斯韦方程组：场的统一性 本章是电磁学理论的核心。我们将四大基本方程（高斯电场定律、高斯磁场定律、法拉第电磁感应定律、安培-麦克斯韦定律）系统地整合起来，展示电场与磁场如何相互激发、共同演化。详细分析了位移电流的物理意义，解释了为什么只有麦克斯韦方程组才能预言电磁波的存在。本章强调了旋度和散度在描述场线特性上的直观物理意义。 第七章：电磁波的传播与性质 基于麦克斯韦方程组，本章推导出自由空间中均匀平面电磁波的波动方程。深入分析了电磁波的相速度、群速度、能量（坡印廷矢量 $mathbf{S}$ 及其平均值）。讨论了电磁波在有损耗介质（如导体）中的衰减特性（趋肤深度），并详细解析了电磁波的反射和折射问题，包括菲涅尔公式的推导与应用，涵盖了全反射和布儒斯特角现象。 第八章：电磁场的能量、动量与规范选择 本章提升到更抽象的场论层面。首先，从能量守恒的角度推导坡印廷定理，明确电磁场携带的能量密度和动量密度。随后，讨论电磁势 $mathbf{A}$ 和 $phi$ 的物理意义，并引入规范变换（洛伦兹规范与库仑规范）的概念。本章强调了规范选择对于简化特定问题的计算具有决定性作用，并展示了磁矢势 $mathbf{A}$ 在计算电磁场运动学中的关键地位。 --- 结语 本教材内容涵盖了理论物理学的两大支柱——高级经典力学和完整的经典电磁场理论。通过对变分原理的深刻理解和对麦克斯韦方程组的系统掌握，学生将能够有效地分析和解决工程与科学研究中的复杂动态问题，为进一步学习狭义相对论、量子力学及场论打下坚实的基础。每章后附有难度适中的习题，旨在巩固理论知识，训练严谨的物理思维与精确的数学表达能力。
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