具体描述
本书是以大学理工科的《高等数学》的教学大纲为依据，结合大学数学教学大纲并参考最主流教材编写而成。内容简练明确，解决问题透彻明了，易学易用。本书的结构特点是，在每章的开头，首先列出本章的知识要点，然后扼要论述知识要点分析和学习要求，随后通过丰富的典型例题，详细讲述解析方法和答案，最后附有极具针对性的习题和自测。
本丛书具有三“导”合一的特点：集中知识要点“导”学，典型例题与习题“导”讲，知识点学习和自测紧密“导”练。
本书适合学习《高等数学》的大学理工科学生使用。
数学分析名师导学（下）：深入探究微积分的精妙与应用 本书简介 《数学分析名师导学（下）》是一本旨在引领读者，特别是高等院校数学专业学生和对数学分析有深入兴趣的自学者，系统、深入地掌握数学分析下册核心内容的权威著作。本书延续了“名师导学”系列一贯的严谨治学态度和清晰的教学理念，聚焦于分析学的下半部分——多元微积分、级数理论、微分方程基础以及泛函初步。它不仅仅是一本知识的罗列，更是一部思维的引导手册，旨在帮助读者构建起完整的、富有洞察力的数学分析知识体系。 第一部分：多元函数的微积分——从直观到严谨的飞跃 本部分是全书的基石之一，旨在将一元分析中的极限、连续性、导数和积分概念推广到多维空间。 1. 空间几何与向量场基础 首先，本书对欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 进行了详尽的复习与深化，着重讨论了拓扑性质，如开集、闭集、紧集和完备性的概念在多维空间中的体现。紧接着，引入了向量场和张量的基本概念，为后续的梯度、散度和旋度的运算奠定基础。 2. 多元函数的微分学 核心内容集中在偏导数、方向导数、梯度向量的精确定义与几何意义。本书花费大量篇幅讲解多元函数的链式法则，尤其是在复合函数结构复杂时的应用，并通过大量的实例阐明了雅可比矩阵在局部线性近似中的关键作用。 泰勒公式在多维空间中的推广是本章的难点与亮点。我们不仅展示了二阶偏导数与二次型之间的联系，还深入剖析了海森矩阵的性质，用以判断函数的局部极值，如鞍点、局部最大值和最小值。极值问题的求解，特别是带约束条件的极值问题（拉格朗日乘数法），被系统地拆解，并结合实际的物理或经济模型进行应用示范。 3. 多元函数的积分学 本部分是构建多维几何测度的关键。 重积分： 从二重积分到三重积分，本书详尽阐述了黎曼可积性的定义，以及积分的几何意义（体积和质量）。重点讨论了直角坐标系、极坐标系、柱坐标系和球坐标系下的积分计算技巧，强调坐标变换（雅可比行列式）在简化积分过程中的核心地位。 线积分与曲面积分： 这是连接微积分与物理学的桥梁。线积分（第一类和第二类）被引入，用于计算曲线上的质量、功或通量。曲面积分的定义和计算，特别是流量（通量）的概念，为格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理的引入铺平了道路。 4. 微分形式与向量分析的统一 本书的高级部分引入了微分形式（外微分）的视角，用以统一格林、斯托克斯和高斯定理。这种更抽象但更本质的表述方式，帮助读者理解这些看似不同的定理之间存在深刻的结构联系，即边界上的积分等于区域内的“微分”的积分。 第二部分：无穷级数与函数逼近 本部分关注函数的无穷求和与函数空间的逼近问题。 1. 幂级数与函数展开 幂级数的收敛半径与收敛域的确定是基础技能。本书着重于函数项级数的一致收敛性理论，区别于点态收敛。一致收敛性保证了在极限运算中可以安全地进行积分和求导的交换。 2. 傅里叶级数与周期函数分析 傅里叶级数被系统介绍，不仅作为一种特殊的三角函数级数展开工具，更重要的是，它揭示了将任意周期（或平方可积）函数分解为正交基函数（正弦和余弦函数）的方法。本书详细讨论了傅里叶系数的计算、级数的收敛性（狄利克雷条件）以及其在求解偏微分方程中的应用。 3. 傅里叶变换与Lp空间初步 为了处理非周期函数，本书简要介绍了傅里叶积分（傅里叶变换）的概念，将其视为傅里叶级数在周期趋于无穷时的极限。同时，简要引入了 $L^p$ 空间的初步概念，强调了这些空间作为函数构成向量空间的重要性。 第三部分：微分方程与泛函初步 本部分将分析工具应用于动力学和更广阔的空间结构。 1. 常微分方程（ODE）的分析解法 虽然不是专门的 ODE 教材，但本章提供了必要的背景知识。重点在于利用数学分析的工具来研究 ODE 的解的存在性与唯一性。拉格朗日方法、待定系数法和常数变易法被用于求解线性常微分方程。对一阶非线性 ODE，则侧重于相平面分析和定性理论的初步探讨。 2. 泛函分析的萌芽 本章是衔接高等数学与泛函分析的过渡。主要内容包括： 度量空间： 推广了 $mathbb{R}^n$ 中的距离概念，引入了开球、闭球和紧致性的抽象定义。 等距映射与连续性： 在抽象空间中重新审视连续性的概念。 巴拿赫空间与希尔伯特空间概述： 简要介绍了完备的赋范线性空间和内积空间，强调了正交性在无限维空间中的重要性，为理解傅里叶级数的完备性提供了理论依据。 本书特色与学习目标 本书的编写风格力求“高屋建瓴，兼顾细节”。每章节后都附有精心设计的习题，这些习题不仅检验对计算技巧的掌握，更重要的是引导读者思考定理背后的逻辑结构。通过对多元微积分中 Jacobian 的几何意义、高斯散度定理的物理内涵以及一致收敛性对交换极限运算的约束力等关键点的深入剖析，本书旨在帮助读者实现从“会做题”到“理解数学分析的本质”的转变，为未来深入学习复变函数、实分析或泛函分析打下坚实、不可动摇的基础。
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