具體描述
本書是以大學理工科的《高等數學》的教學大綱為依據，結閤大學數學教學大綱並參考最主流教材編寫而成。內容簡練明確，解決問題透徹明瞭，易學易用。本書的結構特點是，在每章的開頭，首先列齣本章的知識要點，然後扼要論述知識要點分析和學習要求，隨後通過豐富的典型例題，詳細講述解析方法和答案，最後附有極具針對性的習題和自測。
本叢書具有三“導”閤一的特點：集中知識要點“導”學，典型例題與習題“導”講，知識點學習和自測緊密“導”練。
本書適閤學習《高等數學》的大學理工科學生使用。
數學分析名師導學（下）：深入探究微積分的精妙與應用 本書簡介 《數學分析名師導學（下）》是一本旨在引領讀者，特彆是高等院校數學專業學生和對數學分析有深入興趣的自學者，係統、深入地掌握數學分析下冊核心內容的權威著作。本書延續瞭“名師導學”係列一貫的嚴謹治學態度和清晰的教學理念，聚焦於分析學的下半部分——多元微積分、級數理論、微分方程基礎以及泛函初步。它不僅僅是一本知識的羅列，更是一部思維的引導手冊，旨在幫助讀者構建起完整的、富有洞察力的數學分析知識體係。 第一部分：多元函數的微積分——從直觀到嚴謹的飛躍 本部分是全書的基石之一，旨在將一元分析中的極限、連續性、導數和積分概念推廣到多維空間。 1. 空間幾何與嚮量場基礎 首先，本書對歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 進行瞭詳盡的復習與深化，著重討論瞭拓撲性質，如開集、閉集、緊集和完備性的概念在多維空間中的體現。緊接著，引入瞭嚮量場和張量的基本概念，為後續的梯度、散度和鏇度的運算奠定基礎。 2. 多元函數的微分學 核心內容集中在偏導數、方嚮導數、梯度嚮量的精確定義與幾何意義。本書花費大量篇幅講解多元函數的鏈式法則，尤其是在復閤函數結構復雜時的應用，並通過大量的實例闡明瞭雅可比矩陣在局部綫性近似中的關鍵作用。 泰勒公式在多維空間中的推廣是本章的難點與亮點。我們不僅展示瞭二階偏導數與二次型之間的聯係，還深入剖析瞭海森矩陣的性質，用以判斷函數的局部極值，如鞍點、局部最大值和最小值。極值問題的求解，特彆是帶約束條件的極值問題（拉格朗日乘數法），被係統地拆解，並結閤實際的物理或經濟模型進行應用示範。 3. 多元函數的積分學 本部分是構建多維幾何測度的關鍵。 重積分： 從二重積分到三重積分，本書詳盡闡述瞭黎曼可積性的定義，以及積分的幾何意義（體積和質量）。重點討論瞭直角坐標係、極坐標係、柱坐標係和球坐標係下的積分計算技巧，強調坐標變換（雅可比行列式）在簡化積分過程中的核心地位。 綫積分與麯麵積分： 這是連接微積分與物理學的橋梁。綫積分（第一類和第二類）被引入，用於計算麯綫上的質量、功或通量。麯麵積分的定義和計算，特彆是流量（通量）的概念，為格林公式、斯托剋斯公式和高斯散度定理的引入鋪平瞭道路。 4. 微分形式與嚮量分析的統一 本書的高級部分引入瞭微分形式（外微分）的視角，用以統一格林、斯托剋斯和高斯定理。這種更抽象但更本質的錶述方式，幫助讀者理解這些看似不同的定理之間存在深刻的結構聯係，即邊界上的積分等於區域內的“微分”的積分。 第二部分：無窮級數與函數逼近 本部分關注函數的無窮求和與函數空間的逼近問題。 1. 冪級數與函數展開 冪級數的收斂半徑與收斂域的確定是基礎技能。本書著重於函數項級數的一緻收斂性理論，區彆於點態收斂。一緻收斂性保證瞭在極限運算中可以安全地進行積分和求導的交換。 2. 傅裏葉級數與周期函數分析 傅裏葉級數被係統介紹，不僅作為一種特殊的三角函數級數展開工具，更重要的是，它揭示瞭將任意周期（或平方可積）函數分解為正交基函數（正弦和餘弦函數）的方法。本書詳細討論瞭傅裏葉係數的計算、級數的收斂性（狄利剋雷條件）以及其在求解偏微分方程中的應用。 3. 傅裏葉變換與Lp空間初步 為瞭處理非周期函數，本書簡要介紹瞭傅裏葉積分（傅裏葉變換）的概念，將其視為傅裏葉級數在周期趨於無窮時的極限。同時，簡要引入瞭 $L^p$ 空間的初步概念，強調瞭這些空間作為函數構成嚮量空間的重要性。 第三部分：微分方程與泛函初步 本部分將分析工具應用於動力學和更廣闊的空間結構。 1. 常微分方程（ODE）的分析解法 雖然不是專門的 ODE 教材，但本章提供瞭必要的背景知識。重點在於利用數學分析的工具來研究 ODE 的解的存在性與唯一性。拉格朗日方法、待定係數法和常數變易法被用於求解綫性常微分方程。對一階非綫性 ODE，則側重於相平麵分析和定性理論的初步探討。 2. 泛函分析的萌芽 本章是銜接高等數學與泛函分析的過渡。主要內容包括： 度量空間： 推廣瞭 $mathbb{R}^n$ 中的距離概念，引入瞭開球、閉球和緊緻性的抽象定義。 等距映射與連續性： 在抽象空間中重新審視連續性的概念。 巴拿赫空間與希爾伯特空間概述： 簡要介紹瞭完備的賦範綫性空間和內積空間，強調瞭正交性在無限維空間中的重要性，為理解傅裏葉級數的完備性提供瞭理論依據。 本書特色與學習目標 本書的編寫風格力求“高屋建瓴，兼顧細節”。每章節後都附有精心設計的習題，這些習題不僅檢驗對計算技巧的掌握，更重要的是引導讀者思考定理背後的邏輯結構。通過對多元微積分中 Jacobian 的幾何意義、高斯散度定理的物理內涵以及一緻收斂性對交換極限運算的約束力等關鍵點的深入剖析，本書旨在幫助讀者實現從“會做題”到“理解數學分析的本質”的轉變，為未來深入學習復變函數、實分析或泛函分析打下堅實、不可動搖的基礎。
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