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出版者:高等教育出版社

作者:刘玉琏编

出品人:

页数:221

译者:

出版时间:1994-10

价格:9.4

装帧:平装

isbn号码:9787040049756

丛书系列:

图书标签:

• 数学分析
• 高等数学
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• 大学教材
• 数学学习
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分

《高等代数精要与应用》 内容提要 本书旨在为学习高等代数的读者提供一本全面、深入且富有启发性的参考资料。它不仅系统地梳理了高等代数的核心概念与基本理论，更着重于展示代数思想在现代科学与工程领域中的广泛应用。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在帮助读者建立坚实的代数基础，并培养其解决复杂问题的能力。 第一部分：线性代数基础 第一章：数域与向量空间 本章从基础的数域（如实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$）的性质出发，引出代数结构的基本概念。随后，我们严格定义了线性空间（或称向量空间）的公理体系，包括向量的加法运算和数乘运算的封闭性与性质。详细讨论了子空间的定义、判定及其运算（如交集与和空间），并引入了子空间的直和概念。线性组合、线性相关性与线性无关性的判定是本章的核心内容，通过引入基（Basis）和维数（Dimension）的概念，确立了有限维线性空间的结构框架。本章末尾通过实例展示了多项式空间、函数空间等抽象向量空间的构造。 第二章：线性映射与矩阵 本章将代数概念提升到函数层面，引入线性映射（Linear Transformation）的定义、性质及其在不同基下的表示——矩阵。我们深入探讨了矩阵的加法、数乘、乘法运算及其满足的代数律（如结合律但不满足交换律）。重点分析了矩阵乘法的几何意义和代数意义。接着，讨论了矩阵的秩（Rank）与零空间（Kernel）、像空间（Image）之间的关系，详述了秩-零化度定理。本章还涵盖了矩阵的转置、初等行变换与初等矩阵，并以此为基础，讲解了如何通过初等行变换求解线性方程组（包括高斯消元法及矩阵的逆）。 第三章：行列式 本章专门探讨行列式的性质与计算方法。从二阶、三阶行列式开始，逐步推广到 $n$ 阶行列式的定义，基于置换的定义方式保证了其理论的严谨性。详细分析了行列式的值如何依赖于行（列）的交换、倍加等初等行（列）变换。着重讲解了拉普拉斯展开定理，并利用行列式研究线性方程组的解的存在性与唯一性，特别是克莱姆法则的应用及其局限性。 第二部分：特征值与对角化 第四章：特征值与特征向量 本章是理解线性变换结构的关键。我们定义了特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector），并阐述了它们在描述线性系统稳定性或系统行为中的重要作用。讨论了特征多项式的计算，以及特征值与矩阵迹（Trace）和行列式之间的关系。深入探讨了特征子空间的概念，区分了代数重数与几何重数，并给出了可对角化的充分必要条件——即特征向量的完备性。 第五章：相似理论与矩阵对角化 本章聚焦于如何利用基的变换来简化矩阵表示。详细讨论了相似矩阵的性质，并以此为工具研究矩阵的对角化问题。讲解了实对称矩阵的谱定理，证明了实对称矩阵一定可以正交对角化。此外，本章还引入了 Jordan 标准形的概念，作为处理不可对角化矩阵的通用工具，这是连接初等代数与高级结构理论的重要桥梁。 第六章：线性函数的应用 本章将理论应用于动力系统和微分方程。讨论了如何利用特征值分解来求解常系数线性微分方程组的解，特别是对于稳定性和渐近行为的分析。通过矩阵的指数函数 $e^A$ 的定义，探讨了在连续时间系统中的应用。 第三部分：双线性型与欧几里得空间 第七章：内积空间与正交性 本章引入了内积（Inner Product）的概念，将线性代数从抽象的向量空间扩展到具有长度和角度概念的欧几里得空间（或称为内积空间）。详细讨论了正交性、正交基和正交补的概念。重点讲解了施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，它提供了一种构造正交基的有效算法。 第八章：二次型与正定性 本章专门研究双线性型（Bilinear Form）及其特殊形式——二次型（Quadratic Form）。二次型可以通过对称矩阵来表示。本章的核心在于二次型的合同变换和正交变换，以及如何通过配方法或合同定理将其化为标准型。深入讨论了正定性（Positive Definiteness）的判定，包括通过主子式（首领子式）和特征值来判断二次型的性质，这在优化理论和几何学中具有基础性意义。 第四部分：进阶主题 第九章：多项式环与特征多项式 本章回归到代数结构本身，探讨了在域上定义的单变量多项式环 $F[x]$ 的性质。讨论了多项式的带余除法、最大公因式（GCD）的求解（欧几里得算法）。引入了多项式的有理根定理、因式分解理论，以及模（Quotient Ring）的概念，为更高阶的抽象代数学习打下基础。 第十章：行列式函数的推广与张量初步 本章简要介绍行列式定义的推广思想，如符号函数 $ ext{sgn}(sigma)$ 的代数意义。初步引入张量（Tensor）的概念，将其视为多线性函数的推广，展示了张量在物理学和计算机科学中的初步应用背景，作为连接线性代数与现代数学工具的过渡。 本书特色 1. 理论深度与广度兼顾： 既保证了基本定理的严谨证明，又覆盖了线性代数的重要分支，如特征值理论、正交化和二次型。 2. 应用驱动： 每一理论部分都紧密结合了其在微分方程、几何变换、优化控制等领域的实际应用案例，增强学习的动机。 3. 习题设计： 章节后附有大量不同层次的习题，包括计算题、证明题和应用探究题，以巩固和深化对概念的理解。 本书适用于接受过初等代数（群、环、域的初步概念）训练的理工科本科生、研究生，以及需要系统回顾和深入理解高等代数理论的研究人员。

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这本书的排版和印刷质量简直是灾难，拿到手的时候就感觉很不舒服。纸张的质感粗糙得让人怀疑是不是用了回收纸，而且油墨的晕染现象非常严重，很多公式和图表都显得模糊不清，甚至有些地方的文字都重叠了，简直是无法阅读。我尝试在光线好的地方仔细辨认，但效果依然不佳，很多关键的符号都看走了眼，这对于需要精确理解的数学分析学习来说是致命的。更别提封面设计，那种老旧的配色和呆板的字体组合，让人一看就提不起学习的兴趣。翻开内页，目录的结构也显得混乱，章节划分很不合理，感觉编辑在制作时完全没有从读者的角度去思考如何组织学习路径。我甚至怀疑这本书是否经过了专业的校对，里面错别字和印刷错误多得令人发指，这严重影响了学习的连贯性和准确性。

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这本书的理论阐述部分，与其说是“指导”，不如说是“故弄玄虚”。作者似乎沉浸在自己晦涩的数学语言中，完全没有考虑到初学者或自学者会遇到的困难。每一个定理的引入都缺乏必要的背景铺垫和直观解释，仿佛读者已经掌握了所有前置知识。举个例子，涉及到$varepsilon-delta$定义的部分，作者只是机械地罗列了定义和几个简单的例子，对于其背后的思想精髓和几何意义几乎没有深入挖掘。我翻阅了其他几本经典的分析教材进行对比，它们在引入新概念时都会用生动的语言和类比来帮助理解，而这本《数学分析学习指导书》却像一本冷冰冰的说明书，读起来枯燥乏味，完全无法建立起对数学分析的热情。真正好的指导书应该像一位耐心的老师，引导学生一步步走过难关，而不是简单地把知识点堆砌起来。

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作为一本声称是“学习指导书”的材料，其对经典例题的解析深度也远未达到期望值。那些被视为分析学习中里程碑式的例题，比如柯西序列的构造、傅里叶级数的收敛性证明等等，在这本书里被处理得草草了事。作者似乎默认读者已经能够轻松理解这些高难度的证明，只是简单地复述了书本上的标准证明流程，没有加入任何批判性的思考或者对证明思路的深度剖析。我期待看到的是对不同证明方法的比较，或者指出证明中的“陷阱”和容易混淆的地方，但这本指导书完全没有提供这些额外的价值。它只是提供了一个知识的“索引”，而不是真正意义上的“指南针”，让人在面对复杂问题时，依然找不到方向。

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令人费解的是，这本书的习题设计与正文内容脱节得非常严重。理论部分讲得云里雾里，但习题却突然跳跃到了非常高深的层次，很多题目需要的技巧和思路在前面的讲解中根本没有体现。这使得我做题时感到极其迷茫，不知道该从何处入手。更令人气恼的是，配套的解答部分极度精简，很多关键的推导步骤都被省略了，只给出了一个最终结果。例如，对于一个积分计算题，书中直接写出了最终的积分结果，中间那些复杂的分部积分和变量替换过程完全跳过了，这对于希望通过习题巩固和理解方法的学习者来说，简直是徒劳。这本“指导书”的价值，似乎仅仅在于提供了一堆无法被有效利用的习题，而不是帮助读者真正掌握分析的技能。

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整体而言，这本书给我的感觉就是一本未经打磨的、粗糙的讲义汇编。它的结构松散，逻辑跳跃性强，并且在细节处理上显得极其敷衍。我购买这本书的初衷是希望找到一本能系统梳理和强化数学分析基础的辅助材料，但事实证明，它不仅没有起到积极的辅助作用，反而因为其低劣的质量和浅薄的解析，增加了我的学习负担和挫败感。市面上优秀、成熟的分析教材和指导资料比比皆是，这本《数学分析学习指导书》在任何一个维度上，无论是排版、内容深度、习题关联性还是辅助性，都显得相形见绌，实在不值得推荐给任何认真对待数学学习的读者。

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