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出版者:高等教育出版社

作者:刘玉琏编

出品人:

页数:221

译者:

出版时间:1994-10

价格:9.4

装帧:平装

isbn号码:9787040049756

丛书系列:

图书标签:

• 数学分析
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• 积分

《高等代数精要与应用》 内容提要 本书旨在为学习高等代数的读者提供一本全面、深入且富有启发性的参考资料。它不仅系统地梳理了高等代数的核心概念与基本理论，更着重于展示代数思想在现代科学与工程领域中的广泛应用。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在帮助读者建立坚实的代数基础，并培养其解决复杂问题的能力。 第一部分：线性代数基础 第一章：数域与向量空间 本章从基础的数域（如实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$）的性质出发，引出代数结构的基本概念。随后，我们严格定义了线性空间（或称向量空间）的公理体系，包括向量的加法运算和数乘运算的封闭性与性质。详细讨论了子空间的定义、判定及其运算（如交集与和空间），并引入了子空间的直和概念。线性组合、线性相关性与线性无关性的判定是本章的核心内容，通过引入基（Basis）和维数（Dimension）的概念，确立了有限维线性空间的结构框架。本章末尾通过实例展示了多项式空间、函数空间等抽象向量空间的构造。 第二章：线性映射与矩阵 本章将代数概念提升到函数层面，引入线性映射（Linear Transformation）的定义、性质及其在不同基下的表示——矩阵。我们深入探讨了矩阵的加法、数乘、乘法运算及其满足的代数律（如结合律但不满足交换律）。重点分析了矩阵乘法的几何意义和代数意义。接着，讨论了矩阵的秩（Rank）与零空间（Kernel）、像空间（Image）之间的关系，详述了秩-零化度定理。本章还涵盖了矩阵的转置、初等行变换与初等矩阵，并以此为基础，讲解了如何通过初等行变换求解线性方程组（包括高斯消元法及矩阵的逆）。 第三章：行列式 本章专门探讨行列式的性质与计算方法。从二阶、三阶行列式开始，逐步推广到 $n$ 阶行列式的定义，基于置换的定义方式保证了其理论的严谨性。详细分析了行列式的值如何依赖于行（列）的交换、倍加等初等行（列）变换。着重讲解了拉普拉斯展开定理，并利用行列式研究线性方程组的解的存在性与唯一性，特别是克莱姆法则的应用及其局限性。 第二部分：特征值与对角化 第四章：特征值与特征向量 本章是理解线性变换结构的关键。我们定义了特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector），并阐述了它们在描述线性系统稳定性或系统行为中的重要作用。讨论了特征多项式的计算，以及特征值与矩阵迹（Trace）和行列式之间的关系。深入探讨了特征子空间的概念，区分了代数重数与几何重数，并给出了可对角化的充分必要条件——即特征向量的完备性。 第五章：相似理论与矩阵对角化 本章聚焦于如何利用基的变换来简化矩阵表示。详细讨论了相似矩阵的性质，并以此为工具研究矩阵的对角化问题。讲解了实对称矩阵的谱定理，证明了实对称矩阵一定可以正交对角化。此外，本章还引入了 Jordan 标准形的概念，作为处理不可对角化矩阵的通用工具，这是连接初等代数与高级结构理论的重要桥梁。 第六章：线性函数的应用 本章将理论应用于动力系统和微分方程。讨论了如何利用特征值分解来求解常系数线性微分方程组的解，特别是对于稳定性和渐近行为的分析。通过矩阵的指数函数 $e^A$ 的定义，探讨了在连续时间系统中的应用。 第三部分：双线性型与欧几里得空间 第七章：内积空间与正交性 本章引入了内积（Inner Product）的概念，将线性代数从抽象的向量空间扩展到具有长度和角度概念的欧几里得空间（或称为内积空间）。详细讨论了正交性、正交基和正交补的概念。重点讲解了施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，它提供了一种构造正交基的有效算法。 第八章：二次型与正定性 本章专门研究双线性型（Bilinear Form）及其特殊形式——二次型（Quadratic Form）。二次型可以通过对称矩阵来表示。本章的核心在于二次型的合同变换和正交变换，以及如何通过配方法或合同定理将其化为标准型。深入讨论了正定性（Positive Definiteness）的判定，包括通过主子式（首领子式）和特征值来判断二次型的性质，这在优化理论和几何学中具有基础性意义。 第四部分：进阶主题 第九章：多项式环与特征多项式 本章回归到代数结构本身，探讨了在域上定义的单变量多项式环 $F[x]$ 的性质。讨论了多项式的带余除法、最大公因式（GCD）的求解（欧几里得算法）。引入了多项式的有理根定理、因式分解理论，以及模（Quotient Ring）的概念，为更高阶的抽象代数学习打下基础。 第十章：行列式函数的推广与张量初步 本章简要介绍行列式定义的推广思想，如符号函数 $ ext{sgn}(sigma)$ 的代数意义。初步引入张量（Tensor）的概念，将其视为多线性函数的推广，展示了张量在物理学和计算机科学中的初步应用背景，作为连接线性代数与现代数学工具的过渡。 本书特色 1. 理论深度与广度兼顾： 既保证了基本定理的严谨证明，又覆盖了线性代数的重要分支，如特征值理论、正交化和二次型。 2. 应用驱动： 每一理论部分都紧密结合了其在微分方程、几何变换、优化控制等领域的实际应用案例，增强学习的动机。 3. 习题设计： 章节后附有大量不同层次的习题，包括计算题、证明题和应用探究题，以巩固和深化对概念的理解。 本书适用于接受过初等代数（群、环、域的初步概念）训练的理工科本科生、研究生，以及需要系统回顾和深入理解高等代数理论的研究人员。

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