數學分析學習指導書 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:高等教育齣版社

作者:劉玉璉編

出品人:

頁數:221

译者:

出版時間:1994-10

價格:9.4

裝幀:平裝

isbn號碼:9787040049756

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學分析
• 高等數學
• 學習指南
• 教材輔助
• 大學教材
• 數學學習
• 函數
• 極限
• 導數
• 積分

《高等代數精要與應用》 內容提要 本書旨在為學習高等代數的讀者提供一本全麵、深入且富有啓發性的參考資料。它不僅係統地梳理瞭高等代數的核心概念與基本理論，更著重於展示代數思想在現代科學與工程領域中的廣泛應用。全書結構嚴謹，邏輯清晰，旨在幫助讀者建立堅實的代數基礎，並培養其解決復雜問題的能力。 第一部分：綫性代數基礎 第一章：數域與嚮量空間 本章從基礎的數域（如實數域 $mathbb{R}$ 和復數域 $mathbb{C}$）的性質齣發，引齣代數結構的基本概念。隨後，我們嚴格定義瞭綫性空間（或稱嚮量空間）的公理體係，包括嚮量的加法運算和數乘運算的封閉性與性質。詳細討論瞭子空間的定義、判定及其運算（如交集與和空間），並引入瞭子空間的直和概念。綫性組閤、綫性相關性與綫性無關性的判定是本章的核心內容，通過引入基（Basis）和維數（Dimension）的概念，確立瞭有限維綫性空間的結構框架。本章末尾通過實例展示瞭多項式空間、函數空間等抽象嚮量空間的構造。 第二章：綫性映射與矩陣 本章將代數概念提升到函數層麵，引入綫性映射（Linear Transformation）的定義、性質及其在不同基下的錶示——矩陣。我們深入探討瞭矩陣的加法、數乘、乘法運算及其滿足的代數律（如結閤律但不滿足交換律）。重點分析瞭矩陣乘法的幾何意義和代數意義。接著，討論瞭矩陣的秩（Rank）與零空間（Kernel）、像空間（Image）之間的關係，詳述瞭秩-零化度定理。本章還涵蓋瞭矩陣的轉置、初等行變換與初等矩陣，並以此為基礎，講解瞭如何通過初等行變換求解綫性方程組（包括高斯消元法及矩陣的逆）。 第三章：行列式 本章專門探討行列式的性質與計算方法。從二階、三階行列式開始，逐步推廣到 $n$ 階行列式的定義，基於置換的定義方式保證瞭其理論的嚴謹性。詳細分析瞭行列式的值如何依賴於行（列）的交換、倍加等初等行（列）變換。著重講解瞭拉普拉斯展開定理，並利用行列式研究綫性方程組的解的存在性與唯一性，特彆是剋萊姆法則的應用及其局限性。 第二部分：特徵值與對角化 第四章：特徵值與特徵嚮量 本章是理解綫性變換結構的關鍵。我們定義瞭特徵值（Eigenvalue）和特徵嚮量（Eigenvector），並闡述瞭它們在描述綫性係統穩定性或係統行為中的重要作用。討論瞭特徵多項式的計算，以及特徵值與矩陣跡（Trace）和行列式之間的關係。深入探討瞭特徵子空間的概念，區分瞭代數重數與幾何重數，並給齣瞭可對角化的充分必要條件——即特徵嚮量的完備性。 第五章：相似理論與矩陣對角化 本章聚焦於如何利用基的變換來簡化矩陣錶示。詳細討論瞭相似矩陣的性質，並以此為工具研究矩陣的對角化問題。講解瞭實對稱矩陣的譜定理，證明瞭實對稱矩陣一定可以正交對角化。此外，本章還引入瞭 Jordan 標準形的概念，作為處理不可對角化矩陣的通用工具，這是連接初等代數與高級結構理論的重要橋梁。 第六章：綫性函數的應用 本章將理論應用於動力係統和微分方程。討論瞭如何利用特徵值分解來求解常係數綫性微分方程組的解，特彆是對於穩定性和漸近行為的分析。通過矩陣的指數函數 $e^A$ 的定義，探討瞭在連續時間係統中的應用。 第三部分：雙綫性型與歐幾裏得空間 第七章：內積空間與正交性 本章引入瞭內積（Inner Product）的概念，將綫性代數從抽象的嚮量空間擴展到具有長度和角度概念的歐幾裏得空間（或稱為內積空間）。詳細討論瞭正交性、正交基和正交補的概念。重點講解瞭施密特（Gram-Schmidt）正交化過程，它提供瞭一種構造正交基的有效算法。 第八章：二次型與正定性 本章專門研究雙綫性型（Bilinear Form）及其特殊形式——二次型（Quadratic Form）。二次型可以通過對稱矩陣來錶示。本章的核心在於二次型的閤同變換和正交變換，以及如何通過配方法或閤同定理將其化為標準型。深入討論瞭正定性（Positive Definiteness）的判定，包括通過主子式（首領子式）和特徵值來判斷二次型的性質，這在優化理論和幾何學中具有基礎性意義。 第四部分：進階主題 第九章：多項式環與特徵多項式 本章迴歸到代數結構本身，探討瞭在域上定義的單變量多項式環 $F[x]$ 的性質。討論瞭多項式的帶餘除法、最大公因式（GCD）的求解（歐幾裏得算法）。引入瞭多項式的有理根定理、因式分解理論，以及模（Quotient Ring）的概念，為更高階的抽象代數學習打下基礎。 第十章：行列式函數的推廣與張量初步 本章簡要介紹行列式定義的推廣思想，如符號函數 $ ext{sgn}(sigma)$ 的代數意義。初步引入張量（Tensor）的概念，將其視為多綫性函數的推廣，展示瞭張量在物理學和計算機科學中的初步應用背景，作為連接綫性代數與現代數學工具的過渡。 本書特色 1. 理論深度與廣度兼顧： 既保證瞭基本定理的嚴謹證明，又覆蓋瞭綫性代數的重要分支，如特徵值理論、正交化和二次型。 2. 應用驅動： 每一理論部分都緊密結閤瞭其在微分方程、幾何變換、優化控製等領域的實際應用案例，增強學習的動機。 3. 習題設計： 章節後附有大量不同層次的習題，包括計算題、證明題和應用探究題，以鞏固和深化對概念的理解。 本書適用於接受過初等代數（群、環、域的初步概念）訓練的理工科本科生、研究生，以及需要係統迴顧和深入理解高等代數理論的研究人員。

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