具体描述
Long ago （or so it seems today）, Chung wrote on page 196 of his book [1]:'One wonders if the present theory of stochastic processes is not still too difficult for applications.' Advances in the theory since that time have been phenomenal,but these have been accompanied by an increase in the technical difficulty of the subject so bewildering as to give a quaint charm to Chung's use of the word 'still'. Meyer writes in the preface to his definitive account of stochastic integral theory: '… il faut…un cours de six mois sur les definitions. Que peut on y faire?'
I have thought up as intuitive a picture of the subject as I can, written it down at speed, and refused to be lured back by piety （or even by wit!） to cancel half a line. 'First' intuition, which is what you need when you are learning the subject, is raw, rough and ready; and, as you have guessed, I make the excuse that it demands a compatible style and lack of polish.
Note that I wrote 'first intuition'. Consider an example. Meyer's concept of a right process is exactly right for Markov process theory, but the concept is the result of a long evolution. To understand it properly, you need a highly developed intuition, and that takes time to acquire. The difficulty with the best advanced literature is that its authors have too much intuition; never make the mistake of thinking otherwise.
此书为英文版！
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用户评价
我之前对概率论和随机过程的一些概念，尤其是与时间演化相关的部分，一直有些模糊的认识，但又缺乏一个系统性的深入理解。最近偶然翻阅了这本《扩散 马尔可夫过程和鞅 第1卷》，可以说是一次令人振奋的发现。从拿到这本书的那一刻起，我就被它厚重而又不失优雅的装帧所吸引，封面上“扩散”、“马尔可夫过程”和“鞅”这些词语，就像是通往更深层次数学世界的大门钥匙，激起了我强烈的求知欲。这本书的结构设计得非常合理，循序渐进地引导读者进入复杂的概念之中，并没有一开始就抛出过于抽象的定义，而是从一些基本的例子和直观的解释入手，这对于我这样的普通读者来说至关重要。例如，书中对马尔可夫过程的引入，不仅仅是给出了数学定义，还穿插了许多现实世界的例子，比如粒子在空间中的随机游走，或者股票价格的短期变动，这些生动的例子帮助我迅速建立了对这一概念的初步印象，并理解了其核心思想——“无记忆性”。
评分书中对“扩散”概念的深入探讨，让我对随机过程的动态演化有了更深刻的认识。我之前对扩散的理解主要局限于物理学中的简单扩散模型，但这本书却扩展了我对这一概念的认知边界。从热力学中的布朗运动，到更广义的随机微分方程所描述的扩散过程，书中都给出了详尽的数学描述和分析。我尤其被书中对扩散过程的路径性质的讨论所吸引，这些性质对于理解随机系统的长期行为至关重要。例如，路径的连续性、可微性以及一些奇特的几何性质，都为我打开了新的思考维度。
评分这本书的另一个亮点在于其严谨的数学表达和丰富的练习题。作者在定义每一个概念时，都力求精确，并在定理的证明过程中，展现了深刻的洞察力。尽管某些证明过程需要一定的耐心和细致，但最终的理解所带来的满足感是无与伦比的。我尤其欣赏书中提供的例题，它们不仅巩固了章节所讲的知识点，更重要的是，引导我思考如何将理论应用于实际问题。其中一些题目非常有挑战性，需要我反复推敲、查阅资料，甚至与其他同学讨论，但每一次成功解决问题，都让我对书中的概念有了更深入的理解和更强的掌握。这种通过实践来巩固理论的学习方式，对我来说是非常有效的。
评分我曾尝试过阅读一些介绍随机过程的书籍，但往往因为过于抽象或者缺乏实际应用背景而难以坚持。然而，《扩散 马尔可夫过程和鞅 第1卷》却完全不同。它以一种非常“接地气”的方式，将抽象的数学概念与生动的现实世界联系起来。无论是金融建模中的期权定价，还是生物学中的基因传播模型，书中都给出了相应的实例分析，让我能够直观地感受到这些数学工具的强大之处。这种理论与实践相结合的教学方式，极大地增强了我学习的动力和信心，也让我看到了数学在解决实际问题中的巨大潜力。
评分我对书中关于“鞅”的部分尤其感到着迷。在接触这本书之前，我对鞅的理解仅仅停留在“期望不变的随机过程”这个非常表面的层面。然而，《扩散 马尔可夫过程和鞅 第1卷》却深入浅出地剖析了鞅的本质，它在概率论中的核心地位，以及在不同数学分支中的广泛应用。书中通过对鞅的性质，如鞅性质的保持、停止时间、以及Doob分解定理的讲解，让我领略到了鞅的强大威力。特别是停止时间的概念，对于理解随机过程中的“决策”和“到达”等问题至关重要。我发现，很多复杂的随机现象，在用鞅的理论来描述时，都会变得更加简洁和优雅。这本书不仅仅是关于数学理论的介绍，它更像是一本数学思想的启蒙书，让我对概率论和随机过程的理解上升到了一个新的高度。
评分我一直对统计物理和信息论领域中的随机性问题很感兴趣，而这本书恰好填补了我在这方面的知识空白。马尔可夫过程和鞅作为描述随机系统演化的基础工具，在这些领域有着广泛的应用。书中对马尔可夫链的详细分析，包括状态空间、转移概率、平稳分布等概念，让我能够更好地理解粒子在不同状态之间的迁移规律。而扩散过程的引入，则为我理解热力学中的熵增过程、信息论中的信道编码提供了新的思路。这本书就像是一座桥梁，连接了我之前零散的知识点，并为我搭建了一个更宏大的理论框架，让我能够更系统地思考这些复杂的问题。
评分我一直认为，一本优秀的数学书籍，不仅要传授知识，更重要的是能够激发读者的思考和探索欲。而《扩散 马尔可夫过程和鞅 第1卷》正是这样一本书。它不仅仅提供了关于马尔可夫过程、扩散过程和鞅的知识，更重要的是，它引导我以一种全新的视角去审视随机性。书中对这些概念的深入剖析，以及它们之间相互联系的展现，让我对概率论和随机过程有了更深刻的理解，也激发了我进一步学习和研究的兴趣。我相信，这本书将成为我学术道路上的一位重要伙伴。
评分在阅读的过程中，我深刻体会到作者在构建知识体系上的用心良苦。他并没有将马尔可夫过程、扩散过程和鞅割裂开来讲解，而是巧妙地将它们联系起来，展现了它们之间深刻的内在联系。尤其是对扩散过程的探讨，从布朗运动的初步介绍，到更复杂的随机微分方程的应用，每一步的推导都显得严谨而清晰。我特别喜欢书中对布朗运动的几何性质的分析，那些关于路径的光滑性、二次变差的讨论，虽然在数学上需要一定的功底，但作者通过引入一些类比和形象化的语言，让这些抽象的概念变得相对易于理解。这本书对于我理解金融市场中的随机波动模型，以及物理学中粒子扩散现象的建模，提供了非常宝贵的视角。每当我读完一个章节，都会有一种豁然开朗的感觉，仿佛之前朦胧的知识点都被一一点亮，思路也更加开阔了。
评分《扩散 马尔可夫过程和鞅 第1卷》的魅力还在于其对概念的细致打磨。作者在介绍每一个新的概念时，都会先给出其直观的解释，然后再逐步引入数学定义和性质。这种“由浅入深”的学习方式，让我能够更好地理解每一个知识点。我尤其欣赏书中对“鞅”的定义和性质的阐述，它不仅仅是关于期望的保持，更重要的是它在停止时间下的特性，以及与公平博弈的深刻联系。通过书中丰富的例子，我开始真正理解鞅在概率论中的核心地位，以及它在解决各种随机问题中的强大作用。
评分这本书的语言风格非常独特，作者在讲解复杂数学概念的同时，也融入了许多引人入胜的数学哲学思考。他并没有把数学仅仅看作是一套符号和规则，而是将其视为一种理解世界的方式。例如，在讨论马尔可夫过程的“记忆性”时，他会引导读者思考“因果关系”在随机系统中的体现。在讲解鞅的“期望不变性”时，他会联系到经济学中的“公平游戏”概念。这种将数学与哲学、生活紧密联系起来的写作方式，让我在阅读过程中感到既充实又愉悦，不仅仅是学习了知识，更重要的是，激发了我对数学本身的兴趣和热爱。
评分情人1
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评分我老婆的课本, 我拿来蹭着看. 写得不错, 证明很简洁, 当然也有一些太简洁点了.
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