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图书简介：现代概率论与数理统计基础 书名： 现代概率论与数理统计基础 作者： 张志明 著 出版社： 科技教育出版社 出版时间： 2023年10月 页数： 480页 定价： 89.00元 --- 内容概述： 本书旨在系统、深入浅出地介绍现代概率论与数理统计的核心概念、基本理论及其在实际工程与科学研究中的应用。全书共分为三大部分：概率论基础、随机变量与随机过程、数理统计基础。内容覆盖了从集合论基础到复杂随机模型构建的全过程，强调理论的严谨性与计算技能的培养相结合，特别注重与现代数据科学、机器学习等前沿领域的衔接。 --- 第一部分：概率论基础（第1章至第4章） 本部分为全书的基石，详细阐述了随机现象的数学描述框架。 第1章：随机事件与概率（约50页） 本章从描述日常生活中遇到的不确定现象入手，引入概率论的研究范畴。 集合论回顾与概率空间构建： 对样本空间、事件、$sigma$代数进行严谨的定义，这是后续所有概率计算的数学基础。着重讲解可测集的概念及其重要性。 概率的公理化定义与性质： 阐述柯尔莫哥洛夫三公理，并推导出一系列基本概率性质，如互补事件、事件的并集和交集的概率计算规则。 古典概型、几何概型与信息熵初步： 结合实际例子（如排列组合、投针实验）讲解不同概率模型的应用。首次引入信息熵的概念，为后续随机变量的刻画做铺垫。 第2章：条件概率与独立性（约60页） 本章聚焦于事件间相互影响的度量——条件概率。 条件概率的精确定义与计算： 深入探讨在给定信息下事件发生概率的变化，并通过贝叶斯公式解决逆概率问题。 全概率公式与贝叶斯公式的广泛应用： 详细分析这两个核心公式在诊断测试、系统可靠性分析中的实际案例。 随机事件的独立性： 定义事件的独立性，区分独立性与互斥性的差异。讲解多个事件的独立性判断，并强调独立性假设在模型简化中的关键作用。 第3章：随机变量及其分布（约80页） 本章将概率的概念从事件扩展到数值化的随机变量。 随机变量的分类与函数： 区分离散型和连续型随机变量，引入累积分布函数（CDF）作为描述随机变量的统一工具。 离散型随机变量的概率质量函数（PMF）： 重点分析二项分布、泊松分布、几何分布和负二项分布的特征、矩和应用场景。 连续型随机变量的概率密度函数（PDF）： 详细介绍均匀分布、指数分布、正态分布（高斯分布）的性质，特别强调正态分布在中心极限定理中的中心地位。 多维随机变量： 介绍联合分布、边缘分布，以及多维随机变量的独立性概念。 第4章：随机变量的数字特征（约70页） 本章致力于用少数几个数字来刻画随机变量的集中趋势、离散程度和形状。 期望（均值）： 对离散和连续随机变量的期望计算方法进行区分讲解，探讨期望的线性性质，以及期望在经济学和工程中的解释。 方差与标准差： 衡量随机变量偏离均值的程度，介绍方差的性质和计算技巧，如方差的无偏性估计初步概念。 协方差与相关系数： 量化两个随机变量之间线性关系的强度和方向，重点区分相关性和因果性。 矩、偏度和峰度： 进一步从高阶矩的角度描述分布的形状特征。 --- 第二部分：随机过程基础（第5章至第6章） 本部分将概率论的视角从静态的随机变量推广到随时间演化的随机现象。 第5章：随机向量与联合分布（约50页） 联合概率密度函数（Joint PDF）： 连续多维随机变量的描述。 条件期望（Conditional Expectation）： 讲解随机变量的条件期望作为一种“最佳预测”的含义，区别于条件概率。 矩估计初步： 基于样本矩对总体特征的初步估计概念。 第6章：经典随机过程模型（约60页） 马尔可夫链（Markov Chains）： 介绍有限状态空间马尔可夫链的转移概率矩阵和状态转移图。讲解平稳分布的存在性与计算（如平稳分布的平衡方程）。 泊松过程（Poisson Process）： 作为事件发生率模型的代表，详细分析其无后效性（独立增量）的性质，并介绍其与指数分布的关系。 --- 第三部分：数理统计基础（第7章至第10章） 本部分关注如何从观测到的数据中推断或估计未知系统的概率规律和参数。 第7章：大数定律与中心极限定理（约40页） 这是连接概率论与数理统计的桥梁。 大数定律： 弱大数定律和强大数定律的表述及其意义——样本均值收敛于总体均值。 中心极限定理（CLT）： 详细阐述CLT在不同分布下的普适性，解释为何正态分布在统计推断中占据核心地位。 第8章：统计推断的原理与估计（约70页） 统计量与抽样分布： 定义统计量，重点讨论样本均值和样本方差的抽样分布（如$chi^2$分布、t分布、F分布的引入）。 点估计方法： 详细介绍矩估计法（Method of Moments, MoM）和最大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）。分析两者的优缺点和渐近性质（无偏性、一致性、有效性）。 第9章：区间估计（置信区间）（约50页） 置信区间的构造原理： 基于抽样分布构造参数的置信区间。 均值与方差的置信区间： 针对正态总体的均值和方差，分别在已知和未知方差情况下的置信区间计算与解释。 比例参数的置信区间： 利用正态近似法构造二项分布参数的置信区间。 第10章：假设检验基础（约60页） 假设检验的基本框架： 零假设 ($H_0$)、备择假设 ($H_1$)、显著性水平 ($alpha$)、两类错误（I类错误与II类错误）。 常用检验： 单样本和双样本t检验（检验均值），$chi^2$检验（检验分布拟合优度与独立性）。详细讲解检验统计量的选择、P值的解释与决策过程。 --- 本书特色： 1. 理论与应用并重： 每章末尾均设有“工程应用与案例分析”模块，结合金融建模、质量控制、信号处理等领域的实例，展示理论如何解决实际问题。 2. 计算工具集成： 适度引入Python (NumPy, SciPy) 或 R 语言的编程片段，指导读者使用现代计算工具进行模拟验证和复杂数据分析。 3. 习题设计： 包含大量的计算题、证明题和开放性思考题，难度梯度合理，有效巩固概念理解和技能掌握。 4. 清晰的逻辑结构： 严格遵循从一般到特殊、从一维到多维、从静态到动态的逻辑顺序，确保学习过程的连贯性。 本书适合作为高等院校理工科、经济管理类专业本科生概率论与数理统计课程的教材或参考书，也可供相关领域的研究人员和工程技术人员参考使用。