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出版者:北京大学出版社

作者:王俊邦,罗振声

出品人:

页数:238

译者:

出版时间:1998-1

价格:10.00元

装帧:

isbn号码:9787301038017

丛书系列:

图书标签:

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趣味离散数学 图书简介 导言：数字世界的基石与思维的魔术 欢迎走进离散数学的奇妙世界。在这本书中，我们将共同探索那些构成现代计算机科学、人工智能、密码学乃至日常逻辑推理的深层结构与精妙规则。离散数学，顾名思义，研究的是可数的、不连续的对象，它不像微积分那样处理“连续的变化”，而是关注“离散的结构”。正是这些结构，支撑起了我们数字化的全部生活。 本书并非一本枯燥的教科书，而是一次充满趣味和挑战的思维探险。我们力求以最生动、最贴近实际应用的方式，剖析那些看似抽象的数学概念，揭示其在现实世界中的强大威力。通过大量的实例、谜题和思考题，我们将引导读者建立起坚实的离散数学思维框架，领略逻辑的严谨之美与组合的无限可能。 --- 第一部分：逻辑与证明——思维的骨架 任何严谨的学科都建立在清晰的逻辑之上。本部分将作为我们探索离散数学大厦的基石，重点关注如何构建有效论证、辨别谬误，并用精确的语言表达复杂的思想。 第一章：命题逻辑与谓词逻辑 我们将从最基础的逻辑连接词（与、或、非、蕴含、当且仅当）开始，学习如何将自然语言转化为符号化的逻辑公式。 真值表的构建与分析： 深入理解复合命题的真值条件，掌握如何通过真值表判断逻辑等价性和重言式。 推理规则的应用： 学习如何运用肯定前件（Modus Ponens）、否定后件（Modus Tollens）等基本推理规则，进行演绎推理。 谓词逻辑的威力： 引入量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$），将我们的逻辑表达能力从简单的句子扩展到对整个集合的陈述，这是理解算法复杂度和数据库查询的基础。 第二章：证明的艺术与技巧 数学的严谨性体现在证明之中。我们不会只停留在理论层面，而是手把手地教你如何像数学家一样思考和写作证明。 直接证明与间接证明： 掌握最常用的直接证明法，以及如何利用反证法（Reductio ad Absurdum）攻克看似无解的问题。 数学归纳法（The King of Proofs）： 详尽阐述数学归纳法的基本步骤和应用场景，从证明数列求和公式到验证算法的正确性。我们将展示归纳法在解决递归关系中的强大作用。 构造性证明与非构造性证明： 理解两者之间的哲学差异，并学习如何给出明确的例子（构造法）与仅证明“存在性”的论断。 --- 第二部分：集合、函数与关系——结构化的世界 离散数学的核心任务之一就是对事物进行分类、关联和结构化。本部分聚焦于集合论的基础，它是建立所有现代数学结构和数据结构的通用语言。 第三章：集合论基础与运算 从朴素集合论出发，我们将严格定义什么是集合、元素、子集，并深入探讨集合的运算，如并集、交集、差集和笛卡尔积。 幂集与集合的基数： 理解一个集合的所有子集构成的集合（幂集）的特性，并为后续的无限集比较做铺垫。 证明中的集合恒等式： 如何利用代数方法（类似于布尔代数）来证明复杂的集合等式。 第四章：函数与关系：连接的艺术 函数和关系是描述对象间联系的强大工具。 函数的性质： 深入研究单射（一对一）、满射（映到）和双射（一一对应）函数的特性，以及它们在编码和变换中的重要性。 二元关系详解： 探讨反射、对称、传递等关键性质。特别强调等价关系（Equivalence Relations）如何将集合自然地划分成互不相交的子集（划分），以及偏序关系（Partial Order）在排序和依赖性中的应用。 --- 第三部分：组合学——计数的魔力 组合数学是离散数学中最具“趣味性”的部分之一，它关乎“有多少种方式”来做某件事情。这里的每一种计数方法都可能对应着一个重要的算法效率或概率模型。 第五章：基本计数原理与排列组合 我们将通过生动的情景设计，让读者掌握乘法原理和加法原理。 排列（Permutations）： 研究元素顺序重要的计数问题，例如密码的生成和路线的安排。 组合（Combinations）： 研究元素顺序不重要的选择问题，例如抽奖和委员会的组成。 二项式定理与帕斯卡三角： 揭示帕斯卡三角内在的对称性和递推关系，并利用二项式系数解决复杂的分配问题。 第六章：高级计数技术 本章将挑战更复杂的计数场景，引入更强大的工具。 鸽巢原理（Pigeonhole Principle）： 一个极其简单却威力无穷的原理，用于证明“必然存在”的现象，广泛应用于计算机科学中的散列函数分析。 容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）： 学习如何处理有重叠情况的计数问题，例如计算不满足特定条件的组合数。 生成函数入门： 将复杂的计数问题转化为对形式幂级数的分析，这是解决线性递归关系的关键桥梁。 --- 第四部分：图论——网络与连接的几何 图论是离散数学中最活跃、应用最广泛的分支之一，它提供了一种研究网络、连接和路径的通用语言。 第七章：图的基本概念与表示 我们将把抽象的“点”和“边”带入现实世界，从社交网络到电路图。 图的类型： 区分有向图、无向图、加权图、完全图、二分图等。 图的表示法： 学习使用邻接矩阵和邻接表来高效地在计算机中存储图结构，理解它们在空间和时间复杂度上的权衡。 图的遍历： 掌握广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）这两种最基本的图搜索算法，它们是解决迷宫、网络连通性检查的基础。 第八章：连通性、路径与特殊图 本章将探索图的内在属性及其在优化问题中的应用。 欧拉路径与哈密顿回路： 探讨著名的“七桥问题”，理解可遍历性的充要条件，这些概念直接关联到物流路径规划和芯片设计。 最小生成树（MST）： 介绍普里姆算法（Prim's）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal's），它们是网络构建中最小化成本的核心技术。 平面图与对偶图： 讨论图形能否在平面上绘制而不交叉的问题，以及四色定理的历史背景和意义。 --- 第五部分：代数结构与数论——现代密码学的根基 最后一部分将带领读者进入更抽象的代数结构，这些结构是现代信息安全和数据编码的理论支柱。 第九章：整数性质与基础数论 我们回到整数的世界，探索它们之间的深层关系。 整除性与素数： 复习素数的分布与唯一分解定理，这是所有密码学的基础。 模运算（Modular Arithmetic）： 深入理解“时钟算术”，这是理解RSA加密和椭圆曲线密码学的关键。 欧几里得算法与扩展欧几里得算法： 学习如何高效求出最大公约数，以及如何利用扩展算法求解模逆元，这是安全通信的必要步骤。 第十章：抽象代数的初探 本章提供了一个简要的视角，展示数学抽象的深度。 代数系统： 介绍群（Groups）、环（Rings）和域（Fields）的基本概念，特别是群论在对称性分析中的应用。 代数结构与编码理论： 简要介绍如何利用有限域（Galois Fields）来构造纠错码，确保数据在传输过程中的可靠性。 --- 结语：持续的思考 《趣味离散数学》旨在教会你“如何思考”，而非仅仅“记住公式”。离散数学是连接纯粹数学与计算机科学、工程技术、逻辑推理的桥梁。掌握了这些工具，你将能够以更清晰、更系统的方式分析复杂问题，为更高阶的算法设计和理论研究打下坚实的基础。每一次证明、每一次计数、每一次对网络的抽象，都是对你逻辑思维的一次磨砺与提升。拿起这本书，开始你的思维探险吧！

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这本书的封面设计简直是艺术品，色彩搭配得恰到好处，让人一眼就被吸引住。打开书页，首先映入眼帘的是那排版，清晰、简洁，没有一丝多余的装饰，却充满了逻辑美感。作者在讲解复杂概念时，总能找到最直观的比喻，比如用我们日常生活中常见的场景来解释抽象的集合论，一下子就豁然开朗了。我特别喜欢它在每章末尾设置的“思考题”，这些题目可不是那种死板的套路题，它们更像是一种智力挑战，引导我们去探索更多的可能性。读完之后，我感觉自己不仅仅是学会了知识点，更重要的是培养了一种严谨的思维方式，看待问题不再是凭感觉，而是习惯性地去寻找底层逻辑和结构。这本书的深度和广度都拿捏得非常到位，既能满足初学者的入门需求，也能让有一定基础的读者找到新的启发。它就像一位耐心又睿智的老师，陪着你一步步攀登知识的高峰，感觉非常踏实。

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我是在准备某个专业考试的过渡期偶然发现这本书的，当时时间紧任务重，急需一本能快速抓住核心要点又不至于太浅薄的参考书。这本书的结构安排简直是教科书级别的范本。它将离散数学拆分成了几个清晰可辨的模块，每个模块内部的知识点衔接得天衣无缝，就像精密的齿轮一样咬合在一起，你不会感觉任何知识点是孤立存在的。章节之间的过渡也非常平滑，上一章的结论自然而然地为下一章的引入做了铺垫。我特别欣赏它对证明过程的详尽阐述，作者没有直接跳到结论，而是把每一步逻辑推导的“拐点”都用粗体标出，辅以简洁的解释，极大地降低了理解难度。对于我这种需要高效吸收知识的人来说，这本书的这种结构化处理，简直是效率神器，让我在有限的时间内获得了最大的学习回报。

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这本书的装帧和印刷质量也值得一提。纸张的触感非常舒服，那种略带米黄色的纸张，长时间阅读下来眼睛一点都不容易疲劳。墨水的着色均匀，即便是复杂的公式和图表，线条也锐利清晰，没有出现任何模糊重影的情况，这对于需要仔细辨认细节的数学书籍来说至关重要。我习惯在书页空白处做大量的批注和推导，这本书的纸张吸墨性恰到好处，无论是用钢笔还是铅笔书写，都不会洇墨，这极大地提升了我的阅读体验。一本好的工具书，光内容好是不够的，硬件上的精良制作才能让它成为你案头常备的良品。这本书明显是在制作环节投入了心思，体现了对读者的尊重，让人爱不释手，更愿意反复翻阅。

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说实话，我本来对这类数学书籍有点望而却步，总觉得会充斥着枯燥的符号和公式堆砌。但《趣味离散数学》完全颠覆了我的认知。它真正的“趣味”之处，在于作者把那些看似高冷的数学分支，用一种近乎讲故事的方式娓娓道来。比如在讲图论的时候，那些关于网络、路径规划的案例分析，读起来就像在玩一场精妙的解谜游戏，每解开一个谜团，成就感都爆棚。作者的文笔非常生动，毫不矫揉造作，时常会蹦出一些让人会心一笑的幽默点评，让漫长的阅读过程变得轻松愉快。更让我惊喜的是，书中对理论的引用和历史背景的介绍非常考究，它不仅仅是教你“怎么做”，更重要的是让你理解“为什么是这样”，这种深层次的理解，才是真正构建起知识体系的关键。这本书让我明白了，数学的本质并非冰冷，而是充满了创造性的美感。

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拿到这本书后，我首先尝试去阅读了其中一个我认为最难掌握的章节——逻辑与证明。通常情况下，这个部分是所有离散数学教材的“劝退点”。然而，这本书的处理方式非常独特，它没有急于引入复杂的命题演算，而是先从日常生活中不严谨的推理谬误入手，用大量的反例来展现“逻辑不严谨”的后果。这种“先破后立”的教学法，极大地激发了我探究严谨逻辑的欲望。作者随后引入的归纳法和反证法，也都配上了生动的故事背景，使得抽象的证明技巧变得具体可感，不再是空中楼阁。这本书真正做到了“寓教于乐”，它不是在强迫你接受规则，而是在引导你爱上构建规则的过程。读完这几章，我对数学的敬畏感少了一些，取而代之的是一种探索未知领域的兴奋感。

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错误还挺多的，我怎么总遇见偏门电子书拥有者。。。

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