黎曼几何和几何分析 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:J.Jost

出品人:

页数:532

译者:

出版时间:2005-6

价格:78.00元

装帧:

isbn号码:9787506266277

丛书系列:Universitext

图书标签:

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宇宙的织网：张量、流形与时空结构 ——一本关于现代物理与数学前沿的深度探索 本书旨在为对现代物理学基础、特别是广义相对论和微分几何核心概念感兴趣的读者，提供一个全面而深入的导论。我们不满足于对物理现象的现象学描述，而是致力于揭示其背后的数学结构——那些支配物质、能量和时空演化的基本规律。这是一次穿越抽象概念的旅程，一次对宇宙基本“织网”的细致描摹。 第一部分：欧几里得空间的回响与向量的崛起 我们的探索始于最熟悉的环境：欧几里得三维空间。然而，即使在这里，我们也会迅速发现经典向量代数的局限性。本书首先建立了坚实的线性代数基础，但重点在于如何从几何直觉过渡到更普适的框架。 1. 坐标变换与协变性： 我们将深入探讨如何定义一个既不依赖于特定观测者，也不依赖于所选坐标系的物理量。这是几何思维的核心——独立于描述的内在性质。通过对坐标变换的仔细分析，我们引入了协变向量（下指标）和反变向量（上指标）的概念，为后续张量分析奠定基础。这不仅仅是指标的上下移动，更是对物理实在的深刻理解。 2. 外积与线性泛函： 在引入双线性形式和内积之后，我们转向线性泛函的空间，即对向量空间进行“测量”的工具。通过对偶空间的概念，我们展示了如何自然地构造出微分形式的雏形——那些在曲线积分和面积分中起关键作用的量。 3. 基础的拓扑结构： 在进入连续性世界之前，我们需要定义“接近”和“邻域”。本书对拓扑空间进行了必要的概述，重点关注度量空间的概念，为后续定义微分流形上的光滑性和连续性做好准备。 第二部分：迈向非欧几何的基石——流形的直觉 当我们试图描述弯曲的时空，或高维的相空间时，欧几里得空间不再适用。微分流形是连接局部平坦性与整体非平凡拓扑的关键桥梁。 1. 局部坐标图集： 流形的本质在于其“局部像”欧几里得空间，但整体结构可能非常复杂。我们详细考察了图册（Atlas）和坐标卡（Chart）的概念，理解过渡函数（Transition Maps）的平滑性如何保证了在不同坐标系描述下的物理定律的一致性。这种局部光滑性的要求，是整个微分几何的驱动力。 2. 切空间与切丛： 在流形上的每一点，我们都可以想象一个“切平面”，它包含了所有可能的瞬时运动方向。这就是切空间（Tangent Space）。本书详细阐述了如何通过极限过程精确定义切向量，并将其推广到整个流形，形成切丛。切空间是应用微积分和力学原理的场所。 3. 向量场与积分曲线： 向量场是对流形上每一点赋予一个切向量的构造，它代表了物理场（如电场、速度场）的分布。我们分析了向量场的积分曲线——那些沿着向量场方向前进的轨迹，这在解决微分方程（例如粒子运动方程）中至关重要。 第三部分：张量的力量——描述几何与物理的语言 张量是本书的核心工具，它们是描述物理量，如应力、曲率、电磁场强度等，独立于坐标系的数学对象。 1. 张量的定义与运算： 我们严格定义了张量作为多重线性函数，并区分了类型 $(k, l)$ 的张量。重点阐述了指标的升降（通过度规张量实现）、张量的收缩和张量的外积运算。这些运算是构建更复杂物理定律的基础。 2. 度规张量与几何的嵌入： 度规张量 $g_{mu u}$ 是赋予流形内在“长度”和“角度”概念的关键。它定义了黎曼几何的结构。我们探讨了如何利用度规计算流形上的距离、体积元素，以及导出的共变导数（Covariant Derivative）。 3. 测地线：两点之间“最短”的路径： 在弯曲空间中，直线被测地线（Geodesics）取代。我们利用变分法和共变导数，推导出测地线方程，并阐明了测地线是描述自由落体运动的几何本质。 第四部分：曲率的深刻内涵——时空几何的印记 如果说度规定义了长度，那么曲率则描述了空间如何偏离平直。曲率是理解引力效应的关键。 1. 黎曼曲率张量： 我们深入剖析了黎曼曲率张量 $R^{ ho}_{sigmamu u}$ 的定义，它衡量了平行移动一个向量绕闭合回路一周后向量指向的变化。这是描述空间弯曲程度的最基本对象。 2. 李奇和里奇张量： 通过对黎曼曲率张量的收缩，我们得到了更简洁的描述性量：李奇曲率（Ricci Curvature）。李奇张量揭示了流形体积元素（或时空体积）的局部膨胀或收缩趋势。 3. 标量曲率与等距变换： 最后，我们引入标量曲率（Scalar Curvature），它是李奇张量的进一步收缩，是描述空间整体几何性质的一个单一数值。此外，我们简要讨论了等距变换（Isometries）的概念，即保持流形上所有距离不变的变换，这在物理学中对应于守恒量。 结语：从抽象到实在 本书的结构旨在引导读者从基础的向量概念出发，逐步构建起描述弯曲时空的微分几何框架。我们着重于数学工具的几何意义，而非纯粹的代数推导。掌握这些概念，将为理解广义相对论中的爱因斯坦场方程——一个将物质能量（通过李奇张量体现）与时空几何（通过黎曼张量体现）联系起来的方程——提供无可替代的视角。本书的目标是让读者能够“看到”那些看不见的张量，理解时空是如何被物质塑造的。

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我曾尝试寻找一些更“平易近人”的辅助读物来搭配理解，但很快就发现，这本原著的自洽性和内容的完整性，使得任何外部解释都显得有些多余和肤浅。它的论证过程如同精密的钟表机构，每一个齿轮——无论是张量场的微分方程，还是外微分的运算规则——都必须精确地咬合在一起。特别值得称赞的是，作者在处理那些涉及无穷小量的极限过程时，所展现出的那种近乎宗教般的虔诚和细致，保证了每一步推导都站得住脚。这书的价值不在于它“教会”了你什么现成的结论，而在于它“训练”了你的思维，让你掌握了一种处理复杂空间结构的专业方法论。读完后，你不再是知识的接收者，而是潜在的发现者。

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这本书的结构安排，堪称教科书级别的典范，但其内容的深度远超普通教材所能企及的范畴。它以一种近乎建筑学的严密性，从最基本的流形结构开始搭建，逐步引入爱因斯坦-罗森桥理论的数学基础，以及与之相关的奇点解析。其中关于辛几何在经典力学与现代几何中的融合讨论，更是令人拍案叫绝。作者没有回避那些最前沿、最困难的问题，反而将它们作为引导读者深入研究的灯塔。在我看来，这本书更像是一份高度浓缩的研究笔记，充满了作者多年研究的精华。它不是用来快速翻阅的读物，而是需要被“啃食”的硬骨头，每一次咀嚼，都能从中获取到实实在在的养分。对那些希望从事理论物理或纯数学研究的后学者来说，这本书是绕不开的必经之路。

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这本数学专著，深邃得如同宇宙的边界，初次翻开，我仿佛置身于一个由曲率和张量构筑的抽象迷宫。作者的笔触精妙绝伦，在严谨的符号推导背后，蕴藏着对几何直觉的深刻洞察力。它不仅仅是公式的堆砌，更像是一场思想的漫游，带领读者从欧几里得的平坦世界，一步步迈向黎曼流形的奇妙景观。那种“豁然开朗”的感觉，只有真正沉浸其中才能体会到——从基础的微分形式到复杂的联络和曲率张量，每一步的衔接都如同天作之合，逻辑链条坚不可摧。不过，对于初学者而言，这无疑是一座难以逾越的高山，需要极大的耐心和毅力才能攀登。我花了大量时间反复咀嚼那些关于测地线和截面曲率的定义，每一次重读都有新的领悟，足见其内容之丰富和密度之高。它强迫你跳出舒适区，用全新的视角审视空间本身的面貌。

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这本书的阅读体验是复杂而令人振奋的，它要求你完全沉浸于作者所构建的数学世界观中，几乎不允许你有任何思想上的懈怠。书中涉及到的计算量巨大，而且对符号的敏感度要求极高，一个下标的错误或者一个符号的误读，都可能导致整个逻辑链条的崩溃。我花费了数周时间，对照着不同的坐标系和度规张量进行反复演算，以确保对曲率的几何意义有着最直观的把握。这种深度的互动，让学习过程充满了挑战，但成功解开一个复杂定理的证明后，那种知识被真正内化的满足感是无与伦比的。它提供了一个坚实的理论基础，去审视那些关于宇宙结构、时空弯曲的终极命题，是真正意义上的智力探险指南。

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与那些教科书式的冷峻叙述不同，这部作品的行文风格带着一种古典的优雅和哲学的思辨。阅读它，仿佛在聆听一位智者对自然界最基本构造的低语。它没有刻意去迎合读者的理解难度，而是自信地将复杂的概念铺陈开来，鼓励读者主动去构建自己的知识框架。书中对拓扑学和代数几何的交叉点的探讨尤为精彩，它展示了纯粹的数学结构如何能精确地描述物理世界中的某些极端现象。我特别欣赏作者在阐述“如何想象”高维空间时的那种旁征博引，虽然最终还是要回归到严格的数学证明，但那种试图用具象语言去捕捉抽象实体的努力，极大地激发了我的想象力。合上书卷时，我感到思维被彻底重塑，对“距离”和“平坦”的理解不再是固守成见，而是变得更加灵活和开放。

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jost是德国什么研究所所长吧

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