线性算子的谱分析 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:孙炯

出品人:

页数:292

译者:

出版时间:2005-9

价格:42.0

装帧:平装

isbn号码:9787030159441

丛书系列:

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《调和分析中的现代方法论：从傅里叶到小波》 内容提要 本书旨在全面、深入地探讨调和分析领域中一系列核心概念、经典理论及其在现代数学和物理学中的应用。全书结构严谨，逻辑清晰，从基础的傅里叶级数和傅里叶变换出发，逐步过渡到更复杂的泛函分析工具，最终聚焦于小波分析及其在信号处理、图像压缩和偏微分方程求解中的实际效用。全书力求在保持数学严谨性的同时，兼顾读者的直观理解，通过丰富的实例和习题，引导读者掌握分析问题的关键技术。 第一部分：傅里叶分析的基础与扩展 第一章：周期函数的三角表示 本章系统地介绍了傅里叶级数理论。首先从欧拉公式和复指数形式入手，奠定分析的复变函数基础。深入探讨了傅里叶级数收敛性的充要条件，包括狄利克雷条件。对傅里叶系数的性质进行了详尽分析，如奇偶性、周期性对系数结构的影响。随后，引入了帕塞瓦尔等式，这是连接函数空间内积与系数序列范数的核心桥梁，为后续的$L^2$空间分析打下基础。本章详细剖析了傅里叶级数在逼近函数、求解常微分方程（如热传导方程的稳态解）中的经典应用。 第二章：傅里叶变换及其在非周期函数中的推广 本章将傅里叶级数的概念推广到整个实轴上的非周期函数。通过极限过程，严格推导出傅里叶变换的定义及其主要性质，包括线性性、时移性、频移性、尺度变换以及最核心的卷积定理。卷积定理的深度解析是理解傅里叶变换应用的关键，它揭示了时间和频率域操作的相互转化规律。本章还详细讨论了狄拉克$delta$函数作为广义函数的傅里叶变换，并将其应用于求解脉冲响应问题。对傅里叶变换在$L^1(mathbb{R})$和$L^2(mathbb{R})$空间中的有界性进行了初步探讨。 第三章：$L^p$空间与傅里叶变换的约束 本章深入泛函分析的范畴，重点考察傅里叶变换作用于不同$L^p$空间上的性质。详细阐述了Minkowski 不等式和Hölder 不等式在证明傅里叶变换连续性时的应用。核心内容包括Plancherel 定理的证明及其意义，它保证了傅里叶变换在$L^2$空间上的酉等距性，从而巩固了调和分析的几何直观。同时，本章也讨论了勒贝格积分的必要性，并介绍了局部可积函数和 Schwartz 分布的初步概念，为处理更广泛的函数类做准备。 第二部分：泛函分析工具与分析核心 第四章：测度论与积分基础回顾 本章提供对勒贝格测度论和积分理论的必要回顾，特别是针对调和分析中频繁出现的结构。内容涵盖可测集、$sigma$-代数、勒贝格积分的构造及其与黎曼积分的关系。特别强调了单调收敛定理和支配收敛定理在傅里叶分析中证明收敛性的重要性。此外，对$L^p$ 空间的完备性进行了回顾，并介绍了Banach 空间的基本概念。 第五章：函数的近似与最佳逼近 本章探讨了在函数空间中寻找“最佳”近似的问题。讨论了正交函数系（如 Legendre 多项式、Chebyshev 多项式）作为基函数的构建和性质。核心内容是最小二乘意义下的函数逼近，即在给定误差度量下（如$L^2$范数）找到一个有限维子空间中的元素，使其与目标函数距离最近。本章还引入了最佳一致逼近的概念，并简要提及Weierstrass 逼近定理的现代证明思路。 第六章：算子理论的初步视角 本章简要介绍分析学中算子的基本概念，作为未来深入研究的基础。定义了线性算子、有界线性算子以及紧算子。重点阐述了卷积算子 $C_g(f) = g f$ 在函数空间上的性质，分析其有界性和连续性。本章通过对积分算子（如泊松核）的分析，初步揭示了算子谱理论的几何意图，即算子如何作用于函数空间并改变其结构。 第三部分：小波分析的兴起与应用 第七章：从傅里叶到时频局部化 本章阐述了傅里叶分析在处理非平稳信号时的局限性——缺乏时间定位能力。由此引出对时频分析的需求。本章首先介绍了短时傅里叶变换 (STFT)，分析了其窗口选择对分辨率的制约（不确定性原理的直观体现）。随后，引入了小波分析的动机：需要一种能够同时在时间和频率上提供良好局部分析的工具。 第八章：连续小波变换 (CWT) 本章详细定义了连续小波变换 (CWT)，并着重分析了母小波的选择标准，如容许性条件。CWT 的尺度参数和平移参数的几何意义被详尽解释。本章探讨了 CWT 的逆变换公式，并分析了小波系数的重构过程。通过 CWT，读者将能够“放大”信号的不同频率成分，观察其在特定时间点上的行为。 第九章：离散小波变换 (DWT) 与多分辨分析 本章将焦点转向计算效率更高的离散小波变换 (DWT)。本章的核心是多分辨分析 (MRA) 的框架，它通过一系列尺度函数和小波函数来分解函数空间。详细介绍了Mallat 上/下采样算法（或称投影和细节分解），该算法是 DWT 计算的基础。本章分析了 DWT 的正交性和紧框架的条件，并展示了如何利用这些框架实现信号和图像的多分辨率分解与重构。 第十章：小波的应用实例 本章集中展示 DWT 在实际问题中的强大能力。首先，详细介绍了小波在信号去噪中的应用，包括阈值处理方法及其统计基础。其次，深入探讨了小波在图像压缩（如 JPEG 2000 标准的理论基础）中的优势，特别是其对稀疏性的捕捉能力。最后，本章将小波基应用于求解具有奇异解的偏微分方程，展示了其在处理不连续性问题上的优越性。 结论 本书通过对经典傅里叶分析的深刻理解，自然过渡到现代的小波理论。全书强调分析工具的选择应与其要解决的问题（如平稳性、局部性、尺度变化）相匹配。读者在完成本书的学习后，将能够熟练运用傅里叶和小波分析的技术，解决从信号处理到偏微分方程等多个领域的复杂分析问题。

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坦白讲，这本书的阅读体验是需要投入精力的，它绝非那种可以轻松翻阅的休闲读物，但所有投入的时间都会获得丰厚的回报。我尝试将书中的一些关键定理（比如贝尔-波斯特纳定理的某种推广形式）应用于我正在处理的非线性边界值问题，结果发现，理解了算子在特定函数空间下的谱结构后，原本看似无解的迭代过程突然变得有序起来。书中关于非自伴算子谱分解的讨论，尤其是对“缺陷子空间”和“剩余谱”的精确刻画，为理解非厄米物理系统提供了坚实的数学支撑。对我而言，这本书的价值在于它提供了一种看待线性算子行为的全新“透镜”——通过观察算子如何作用于空间中的基向量及其特征值，我们就能洞察其在整个空间上的全局行为。这种从局部到全局的深刻洞察力，正是衡量一本优秀数学教材或专著的最高标准，而《线性算子的谱分析》无疑做到了这一点，并且做得非常出色。

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这是一部内容广博、结构精巧的专著，它超越了传统泛函分析教材的范畴，直接触及了现代数学物理的核心议题。我的研究方向涉及到量子场论中的正则化问题，而该书对无穷维李群表示中的无穷小生成元（即哈密顿算子）谱的分析方法，提供了直接的启发。特别是书中关于“不可约表示”与算子谱的对应关系，虽然篇幅不多，但其深度足以让人回味良久。更令人称道的是，作者没有回避那些“反直觉”的结果，比如在某些病态的函数空间中，紧算子谱可能不那么“友好”。对于这种复杂情形，作者给出了清晰的边界条件和处理框架，这对于从事前沿理论探索的人来说，是极其宝贵的“防坑指南”。这本书的语言风格是沉稳而内敛的，不追求花哨的修辞，而是用最精确的数学符号和最简洁的陈述来表达最深刻的思想，阅读它就像是在欣赏一场由最顶尖的数学家精心编排的逻辑舞蹈。

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这本《线性算子的谱分析》简直是数学系学生和研究人员的福音，尤其是那些致力于泛函分析和算子理论领域的同仁。我刚入手这本书的时候，就被它严谨的逻辑结构和清晰的数学推导深深吸引住了。作者并没有仅仅停留在理论的陈述上，而是通过大量的经典例子和现代应用实例，将抽象的谱理论与具体的数学问题紧密地联系起来。比如，对于那些初次接触自伴算子谱分解的读者，书中对紧算子、希尔伯特空间上的有界线性算子的谱性质的探讨，简直是教科书级别的梳理。它不仅解释了“为什么”某些性质成立，更重要的是展示了“如何”利用谱理论去解决那些看似棘手的实际问题。我特别欣赏作者在处理勒贝格测度和勒贝格积分在谱理论中的应用时的细腻之处，这部分内容往往是其他教材中一笔带过，而这本书却给予了足够的篇幅和深度，使得读者能够真正领悟到测度论如何为无穷维空间上的算子分析奠定坚实的基础。读完前几章，我对谱的几何意义和代数性质之间的桥梁构建有了全新的认识，这对于我后续进行拓扑动力学研究时，处理那些具有谱性质的演化算子，提供了无可替代的理论武器。

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说实话，我是一个偏爱几何直觉而非纯粹代数推导的读者，但这本书成功地让我看到了代数形式背后的几何美感。它在引入希尔伯特空间的基本概念时，并没有采用过于冰冷的定义堆砌，而是巧妙地穿插了对“距离”、“角度”和“投影”这些几何概念在无穷维空间中如何推广的讨论。例如，当讲解谱半径公式时，作者用一种近乎诗意的方式描绘了算子在不同方向上的“最大伸缩因子”，这极大地激发了我深入探究的兴趣。书中对于紧算子的谱具有可列特征值的叙述，配上清晰的图示（虽然是文字描述的图示，但想象空间十足），使得抽象的线性代数概念在无限维度下依然保持了直观性。我尤其喜欢它对冯·诺依曼代数中谱测度（Spectral Measures）的介绍部分，那简直是一场关于测度论与算子代数完美结合的盛宴。它不仅仅是知识的传递，更像是一种思维方式的重塑，让我学会如何用更“几何化”的眼光去看待那些复杂的算子不等式。对于那些希望从具体案例提升到抽象理论高度的读者，这本书的侧重点无疑是恰到好处的。

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对于那些希望在高等数学领域建立起坚实、不可动摇基础的理工科研究生来说，这本书无疑是黄金标准。它的难度曲线设置得非常合理，从基础的巴拿赫空间过渡到希尔伯特空间，再到最终的自伴算子，每一步的铺垫都极其扎实，几乎没有逻辑上的跳跃。我个人对它在算子半群理论中对科希-希罗塔斯定理（Hille-Yosida Theorem）的阐述印象深刻。作者不仅详细推导了充分必要条件，还特别强调了平滑性假设在保证解的唯一性和连续性中的关键作用，这对于研究偏微分方程的时间演化问题至关重要。此外，书中对范数收敛和强收敛在谱逼近中的差异对比分析，逻辑清晰到令人叹服，直接解决了我在学习早期经常混淆的几个关键点。我感觉作者在编写此书时，是站在一个“过来人”的角度，预想到了学生可能在哪里绊倒，并在那些关键节点设置了精巧的提示和拓展阅读。这使得本书的教学实用价值远超一般的纯理论著作。

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