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出版者:Springer

作者:Jacek Bochnak

出品人:

页数:440

译者:

出版时间:2010-12-1

价格:USD 199.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783642084294

丛书系列:

图书标签:

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《实代数几何》 内容简介 《实代数几何》是一部深入探索实代数几何这一迷人数学领域的学术专著。本书旨在为读者提供对实代数簇、实多项式方程组、实代数集以及它们在几何、拓扑和数论等领域应用的全面而深刻的理解。本书结构严谨，内容翔实，逻辑清晰，既适合具有一定代数几何基础的研究生和研究人员，也对那些希望拓展数学视野、探索实数域上几何对象独特性质的数学爱好者具有极高的参考价值。 全书围绕实代数几何的核心概念展开，逐步深入，力求在理论的严谨性和几何的直观性之间取得平衡。我们首先从基础概念入手，回顾必要的代数预备知识，包括交换代数中的一些关键定理和构造，为后续的实代数几何理论奠定坚实基础。 第一部分：基础理论与构造 本书的第一部分详细阐述了实代数几何的基本概念和核心工具。 实代数集与实代数簇： 我们将从定义实代数集开始，即实数域上多项式方程组的零点集。在此基础上，进一步引入实代数簇的概念，强调其作为代数结构的几何实现。我们将探讨不同类型的实代数簇，如仿射簇和射影簇，并详细讨论它们的性质，例如维数、不可约性以及光滑性。读者将学习如何利用代数工具来刻画和分类这些几何对象。 理想与坐标环： 理想在代数几何中扮演着至关重要的角色。本书将详细讲解实多项式环的理想，并阐述理想与实代数集之间的深刻联系，即希尔伯特零点定理的实数域版本。我们还将介绍坐标环的概念，它作为描述代数簇几何信息的代数对象，是理解簇性质的关键。 实多项式函数与映射： 探讨实多项式函数在代数簇上的行为，以及由多项式函数诱导的态射（代数映射）的性质。我们将分析态射的连续性、可导性以及在几何结构上的影响，例如它们如何保持维数、连接性等重要属性。 实的局部化： 局部化是代数几何中一个强大的工具，本书将介绍实数域上的局部化技术，以及它在理解代数簇的局部性质方面的作用。 第二部分：实数域的独特之处 实数域相较于代数闭域（如复数域）具有其独特的性质，这些性质深刻地影响了实代数几何的面貌。本部分将专门探讨这些差异以及由此带来的新挑战和新机遇。 实数域的非代数闭性： 深入分析实数域非代数闭性的后果，例如奇数次多项式在实数域上必有实数根，而偶数次多项式则不一定。这将直接影响到实代数集的可描述性和代数簇的几何形态。 实数多项式的分解： 探讨实数多项式在实数域上的分解，特别是如何将其分解为线性因子和二次因子。这将有助于我们理解实代数集的分块结构以及其几何特征。 实代数簇的拓扑结构： 尽管是代数簇，实代数簇天然地继承了实数域的拓扑结构，即具有度量空间的性质。我们将研究实代数簇在实拓扑下的连通性、紧性、度量性质等，以及代数结构如何与拓扑结构相互作用。 实代数集的分区（Partition of Real Algebraic Sets）： 这是一个在实代数几何中尤为重要的概念。我们将介绍如何将一个实代数集分解为若干个真代数集（semi-algebraic sets）的并集，以及真代数集的性质。这将是理解实代数簇的几何形状和拓扑特征的关键。 第三部分：核心理论与定理 本部分将深入探讨实代数几何中的一系列核心理论和里程碑式定理，它们构成了该领域的理论基石。 Tarski-Seidenberg 定理： 该定理是实代数几何中最基本也最重要的结果之一，它断言了实代数集在投影下的象仍然是实代数集。我们将详细阐述该定理的证明思路和深远意义，以及它在判定代数问题上的应用。 实代数几何的模论（Moduli Theory in Real Algebraic Geometry）： 探讨实代数簇的模空间，即描述一类具有相同代数和几何性质的实代数簇的“空间”。我们将关注实代数簇的同构类、形变以及它们的分类问题。 实代数簇的同调与上同调： 借鉴代数拓扑的工具，我们将研究实代数簇的同调群和上同调群，理解它们如何反映簇的拓扑和几何特征。特别地，我们将关注实数域上的贝蒂数（Betti numbers）和霍普夫定理（Hopf theorem）等概念。 实代数簇的几何分析： 探讨在实代数簇上进行微分几何和分析的理论，包括光滑函数的性质、微分形式、曲率等概念在代数几何框架下的表现。 第四部分：应用与前沿 《实代数几何》的价值不仅在于其深厚的理论体系，更在于其广泛而深刻的应用。《本书的第四部分将展现实代数几何在多个领域的强大生命力。 计算机代数系统（CAS）中的应用： 介绍实代数几何在计算机代数系统中的实际应用，例如多项式方程组的求解、几何模型的表示与操作、以及符号计算等。 真实性判定问题： 探讨如何利用实代数几何的工具来判定一个多项式方程组在实数域上是否存在解，或者一个代数条件是否总是成立。这将涉及到判定理论和计算复杂性。 模型理论与实闭域： 介绍实代数几何与模型理论的深刻联系，特别是实闭域（real closed fields）的概念，以及如何利用模型论的工具研究实数域上的代数对象。 机器人学与计算机视觉： 探讨实代数几何在机器人学中的运动规划、逆运动学求解，以及在计算机视觉中的三维重建、姿态估计等问题上的应用。 优化理论与控制理论： 介绍实代数几何在多项式优化、凸优化、以及动力系统稳定性分析等问题上的应用。 拓扑学与微分几何中的应用： 阐述实代数几何如何为拓扑学中的不动点理论、度量空间理论，以及微分几何中的流形理论等提供新的视角和工具。 数论中的交叉： 简要提及实代数几何与数论的交叉，例如在丢番图方程研究中的潜在联系。 结论 《实代数几何》不仅是一部关于抽象数学理论的著作，更是一扇通往理解我们所处世界几何结构的窗口。本书致力于以严谨的数学语言，清晰的逻辑推理，以及丰富的几何直觉，带领读者走进这个既抽象又具象的迷人领域。通过对实代数集、实代数簇以及它们在不同领域应用的探索，本书希望能激发读者对数学更深层次的思考，并为其在相关研究领域的发展提供有力的支持。本书的编排力求循序渐进，从基础到高阶，从理论到应用，确保读者在阅读过程中能够逐步掌握实代数几何的核心思想和技术，并能够独立地进行进一步的研究和探索。

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这本书简直是数学的瑰宝，它以一种近乎诗意的方式展现了代数几何的精髓。阅读的过程就像是在探索一个全新的世界，每一个定理的证明都像是在揭开层层迷雾，露出背后隐藏的精妙结构。作者的笔触细腻而有力，他不仅仅是在阐述概念，更是在引导读者去思考数学的本质。我特别欣赏书中对拓扑学和代数结构的深刻洞察，这些知识点被巧妙地编织在一起，构成了一幅完整的图景。那些看似抽象的概念，在作者的阐述下，变得生动起来，仿佛触手可及。对于那些已经有一定基础，渴望更深层次理解的读者来说，这本书无疑是一次精神的洗礼。它要求你投入时间与精力，但回报是巨大的——你会发现自己对整个数学体系的认识得到了升华。书中对经典案例的剖析尤其精彩，既有历史的深度，又有现代研究的前沿视角，让人在敬佩之余，更添一分对数学家们智慧的景仰。

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这本书的行文风格充满了古典数学的严谨美感，每一个句子都经过了深思熟虑，信息密度极高。我最欣赏的是它对于抽象结构的处理方式，作者似乎对形式语言有着天生的亲和力，能够用最简洁的符号语言表达最复杂的几何直觉。然而，正是这种高度的抽象性，要求读者必须具备高度的专注力。我发现自己经常需要对照参考书中的定义，来确保对某个术语的理解没有产生偏差。它更像是为已经浸润在这个领域多年的专家准备的参考手册，而不是为初学者设计的入门向导。书中的例子往往只给出了框架，而将大量的细节和中间步骤留给了读者自己去填充和验证。这无疑是对读者独立研究能力的一种锻炼和考验。对于希望将理论应用于更高级领域（比如数论或拓扑学）的研究者而言，这本书提供的基础是坚实而无可替代的基石。

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说实话，我原本以为会是一本枯燥乏味的教科书，但这本书完全超出了我的预期。它的叙述风格非常务实，直击问题的核心，没有过多冗余的修饰，但又不失严谨性。对于自学成才的数学爱好者来说，这本书简直是量身定做。作者似乎总能预料到读者在哪个环节可能会产生困惑，并在随后的章节中以一种极其自然的方式加以解答。我尤其喜欢它在介绍新概念时，总是会先提供一个非常直观的例子，帮助我们建立起感性认识，然后再过渡到形式化的定义和证明。这种循序渐进的教学方法，极大地降低了学习曲线的陡峭程度。书中的插图和图表也设计得非常巧妙，很多复杂的空间关系通过简单的图形就能得到很好的解释，这对于我们这些视觉学习者来说，简直是福音。读完一章，总有一种豁然开朗的感觉，成就感满满。

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这是一部需要反复研读的经典之作。它的深度和广度令人震撼，内容组织逻辑严密到近乎冷酷，每一个论证都像是精密咬合的齿轮，环环相扣，不留一丝空隙。我不得不承认，初次阅读时感到有些吃力，很多地方需要停下来，查阅大量的背景知识才能勉强跟上作者的思路。但正是这种挑战性，才使得这本书的价值愈发凸显。它不是那种让你轻松愉悦地读完的“快餐读物”，而是需要你带着锤子和凿子，去开采深埋的矿藏。书中对于特定范畴理论的运用达到了炉火纯青的地步，将原本分散的概念统一在一个宏大的框架之下，体现了现代数学研究的强大整合能力。如果你只是想了解表面概念，这本书可能过于深奥；但如果你立志要在该领域做出一番事业，那么掌握这本书中的思想和技术是必经之路。它像一个严厉但公正的导师，逼迫你不断突破自己的认知边界。

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我是在一个非常偶然的机会下接触到这本书的，当时我正在寻找一本能够连接“经典”与“现代”代数几何的桥梁。这本书完美地扮演了这个角色。作者在梳理发展脉络时，展现出了非凡的历史洞察力，他没有简单地罗列定理，而是将它们置于具体的数学发展背景中进行考察。阅读时，我仿佛能感受到不同时代数学家们思想的碰撞与演进。书中对某些关键定理的“动机”阐述得极为精彩，让我们明白，这些复杂的工具是如何应运而生，是为了解决什么样的根本性问题。这种对“为什么”的深入探讨，远比单纯的“如何做”更具启发性。此外，这本书的排版和印刷质量也值得称赞，长时间阅读下来，眼睛的疲劳感相对较轻，这在厚重的学术著作中是难能可贵的细节优化。

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