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出版者:科学出版社

作者:庄瓦金

出品人:

页数:306

译者:

出版时间:2006-6

价格:39.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030169792

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 矩阵理论
• 线性代数
• 数值分析
• 高等数学
• 数学教材
• 理工科
• 大学教材
• 矩阵分析
• 数学建模
• 科学计算

《数值分析基础与应用》 内容简介 本书旨在为读者提供扎实的数值分析理论基础，并着重介绍其在科学计算、工程实践及数据分析等领域的广泛应用。全书共分为十章，内容涵盖了数值计算的误差分析、方程求解、插值与逼近、数值积分与微分、常微分方程初值问题、线性方程组的解法、矩阵特征值问题的求解、以及一些高级的数值方法与优化技术。 第一章 绪论与误差分析 本章首先介绍数值计算的背景、重要性及其与解析方法的关系。我们将探讨数值计算中不可避免的误差来源，包括模型误差、截断误差和舍入误差。通过引入相对误差、绝对误差、机器精度等概念，帮助读者理解误差的度量与传播规律。随后，将介绍一些基本的误差分析技巧，例如误差界限的确定与传播，以及如何通过选择合适的算法来减小误差。本章将为后续章节的学习打下坚实的基础，使读者能够对计算结果的可靠性有初步的认识。 第二章 方程求根 本章将深入探讨求解方程 $f(x) = 0$ 的各种数值方法。我们将从最基本的二分法开始，分析其收敛性与局限性。接着，介绍更高效的迭代法，如不动点迭代法、牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson method）及其变种（如割线法）。对于每种方法，我们都将详细阐述其迭代公式、收敛条件、收敛速度以及实际应用中的注意事项。同时，本章还将讨论多项式方程求根的一些特殊方法，例如霍纳法则（Horner's method）及其在求根中的应用，以及Graeffe法等。 第三章 插值与逼近 本章聚焦于如何用简单的函数（如多项式）来逼近复杂函数或离散数据点。我们将详细介绍多项式插值的基本概念，包括拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式及其差商的计算。我们将分析这些插值方法的优缺点，并讨论Runge现象等插值多项式在某些情况下出现的振荡问题。在此基础上，我们将引入样条插值（Spline Interpolation），特别是三次样条插值，并解释其如何在保证连续性的同时，提供更平滑的逼近。此外，本章还将触及最佳逼近理论，例如最小二乘法在函数逼近中的应用。 第四章 数值积分 本章讲解如何计算定积分的近似值。我们将从最简单的矩形法、梯形法和抛物线法（辛普森法）开始，推导其积分公式，并分析它们的截断误差。接着，我们将介绍更高阶的复合求积公式，以及如何通过增加划分区间数量来提高精度。此外，还将讨论高斯-求积公式（Gauss Quadrature），解释其如何通过选择最优的节点和权重来达到更高的精度。本章还会涉及多重积分的数值计算方法。 第五章 数值微分 与数值积分相对应，本章将讨论如何数值计算函数的导数。我们将从基于泰勒展开的有限差分方法出发，推导向前差分、向后差分和中心差分格式，并分析它们的精度。本章还将探讨如何利用高阶差分格式来获得更高的精度，以及如何处理数据中的噪声对数值微分结果的影响。 第六章 常微分方程初值问题 本章是关于如何数值求解一阶常微分方程初值问题 $y'(x) = f(x, y), y(x_0) = y_0$。我们将介绍欧拉法（Euler method）作为最基础的方法，并分析其收敛性和局限性。随后，我们将详细讲解更高级的方法，如改进欧拉法、龙格-库塔法（Runge-Kutta methods）的各类阶数（如二阶、四阶），并解释其如何通过在步长内部采样函数值来提高精度。本章还将讨论多步法（Multistep methods），例如Adams-Bashforth法和Adams-Moulton法，并介绍它们如何利用先前步长的信息来预测当前步的值。 第七章 线性方程组的解法 本章将重点介绍求解线性方程组 $Ax=b$ 的数值方法。我们将首先讨论直接法，包括高斯消元法（Gaussian Elimination）及其改进的Doolittle和Crout分解方法，以及Cholesky分解方法（适用于对称正定矩阵）。接着，我们将深入探讨迭代法，例如雅可比迭代法（Jacobi method）和高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel method），分析它们的收敛条件和收敛速度。本章还将介绍收敛性更佳的超松弛迭代法（SOR）。 第八章 矩阵特征值问题的求解 本章研究如何数值求解矩阵的特征值与特征向量。我们将介绍幂法（Power method）及其改进的逆幂法（Inverse Power method），用于求解最大模的特征值和对应的特征向量。然后，我们将讨论Hessenberg变换和QR分解在求解所有特征值和特征向量中的应用。对于对称矩阵，我们将介绍Jacobi方法。本章还将简要提及一些更高级的算法，如Lanczos算法。 第九章 散乱数据插值与拟合 在实际应用中，我们经常会遇到散乱分布的数据点，需要对其进行插值或拟合。本章将介绍一些处理散乱数据的方法，例如克里金插值（Kriging interpolation）在地理学和地球科学中的应用，以及径向基函数插值（Radial Basis Function interpolation）。同时，我们还将讨论如何将曲线拟合（curve fitting）和曲面拟合（surface fitting）的思想应用于散乱数据，以获得平滑的近似模型。 第十章 数值优化与一些高级主题 本章将介绍一些基本的数值优化技术，用于求解目标函数的最优值。我们将讨论梯度下降法（Gradient Descent）及其变种，以及牛顿法在优化问题中的应用。此外，本章还将涉及一些更高级的主题，例如蒙特卡罗方法（Monte Carlo methods）在积分和模拟中的应用，以及一些非线性方程组的求解方法，如Newton-Raphson法在多维情况下的推广。 总结 《数值分析基础与应用》一书通过理论讲解与实例分析相结合的方式，力求使读者能够掌握数值分析的核心概念与算法，并具备将其应用于解决实际问题的能力。本书适合高等院校数学、计算机科学、物理、工程等专业的学生，以及从事科学计算、数据分析和工程研究的专业人士阅读。通过学习本书，读者将能够更加深刻地理解计算过程中的数学原理，并能够有效地利用计算工具解决复杂的科学与工程难题。

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这本书的难度曲线把握得非常精准，它既能满足一个有一定数学基础的本科生进行系统学习的需求，也能为研究生提供一个坚实的理论回顾基础。让我印象深刻的是它对矩阵的“运算”和“几何表示”之间关系的强调。很多教材往往偏重其中之一，导致读者在应用时感到脱节。但这本书始终在两者之间架起坚实的桥梁。例如，在讲解矩阵的秩时，它不仅给出了行秩等于列秩的代数证明，还清晰地阐述了秩是像空间的维数，是线性变换“不丢失信息”程度的度量。这种多维度的解析，使得理论不再是冰冷的符号，而是具备了生动的物理或几何含义。此外，书中对那些容易混淆的概念，如可对角化与Jordan标准型的区别，作者采用了对比分析法，列举了大量反例和特殊情况，确保读者不会产生理解上的偏差。这种细致入微的处理，体现了作者极高的教学功力。

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这本书的排版和印刷质量也值得称赞，这在学术书籍中并不常见。大量的公式和符号都清晰锐利，页边距处理得当，留白恰到好处，让人在长时间阅读时眼睛不会感到疲劳。更重要的是，作者在章节的过渡处理上非常自然，常常在上一个章节的结尾留下一个悬念或者提出一个开放性的问题，自然而然地将读者的注意力引向下一个主题。例如，在讨论正交矩阵时，他巧妙地联系到了欧几里迪空间中的旋转操作，为后面介绍正交分解埋下了伏笔。我尤其喜欢书末的“拓展阅读”建议，那些推荐的书目和论文都具有很高的价值，显示出作者深厚的学术积累和为读者着想的心态。这不仅仅是一本自学教材，更像是一个研究者构建自己知识体系的蓝图。每当遇到难点，回头翻阅前几章的内容时，总能发现先前忽略的细节，这说明全书的知识点是高度耦合、互为支撑的，绝非简单的知识点堆砌。

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说实话，这本书的阅读体验相当流畅，尽管主题是抽象的“矩阵理论”，但作者的叙述笔触却带着一种近乎散文的韵味。我特别欣赏作者在关键概念引入时所采用的历史背景介绍。他会穿插讲述某个理论是如何在数学史中被提出和发展的，这使得枯燥的数学定理仿佛拥有了生命和故事。比如，当讲到特征值与特征向量时，书中不仅展示了如何计算，还深入探讨了它们在振动分析、稳定性理论等实际工程问题中的巨大作用，这极大地激发了我继续深入研究的兴趣。它不仅仅是一本教科书，更像是一位经验丰富的导师在耳边细语，引导你探索知识的边界。书中对矩阵分解（如奇异值分解SVD）的讲解，更是达到了教科书级别的典范。他没有满足于给出算法步骤，而是深入剖析了SVD的几何意义——如何将任意线性映射分解为旋转、缩放和平移的复合操作。这种深挖本质的做法，让原本复杂的操作变得清晰易懂，让我对数据降维和信息压缩有了更直观的认识。

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阅读这本书的过程中，我发现它最大的价值在于其强大的“内在一致性”。作者似乎在用一套统一的语言和视角来审视所有矩阵相关的概念，从最基础的行列式到更高级的张量分析的边缘，都保持着高度的和谐。我记得有一处讲解矩阵的指数函数，书中没有止步于泰勒展开式的计算，而是着重阐述了它在求解常微分方程组中的核心地位，将纯数学的工具与微分方程的动力学思想紧密结合起来。这种跨学科的视野，让读者感受到数学工具的普适性和强大威力。书中对矩阵范数的介绍也十分到位，不仅给出了各种范数的定义和计算方法，更关键的是解释了它们在数值稳定性分析中的实际意义，比如衡量误差传播的幅度。这种从理论到实践的无缝衔接，使得这本书不仅仅停留在“知道是什么”的层面，更达到了“理解为什么及如何用”的深度。总而言之，这是一部结构严谨、视野开阔、教学方法创新的优秀著作。

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这本书的封面设计实在太引人注目了，那种深邃的蓝色和金色的字体搭配，一看就知道不是那种可以随便翻翻的入门读物。我之前对这个领域了解不多，抱着试一试的心态拿起来，结果完全被里面的内容吸引住了。首先，作者在构建理论体系时，那种严谨的逻辑链条让人叹服。他没有直接抛出那些让人望而生畏的公式，而是先从最基础的概念讲起，一步步推导出更复杂的结构。特别是对某些核心定理的阐述，往往会先给出直观的几何解释，然后再进行代数证明，这种“先感性认识，后理性把握”的叙述方式，极大地降低了学习的门槛。我记得有一章节专门讨论了向量空间的线性变换，书中对不同基底变换下的矩阵表示的联系解释得特别透彻，让我这种初学者都能感受到其中蕴含的美感。书中的例题设计也非常巧妙，它们不仅仅是用来验证公式的工具，更像是导向新知识的桥梁，每一个例题背后似乎都隐藏着一个更深层次的数学思想。读完这一部分，我感觉自己对线性代数的理解上升到了一个新的高度，不再是简单的运算规则的堆砌，而是真正领悟了其内在的结构和力量。

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